MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rescabs2 Structured version   Unicode version

Theorem rescabs2 14035
Description: Restriction absorption law. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
rescabs2.c  |-  ( ph  ->  C  e.  V )
rescabs2.j  |-  ( ph  ->  J  Fn  ( T  X.  T ) )
rescabs2.s  |-  ( ph  ->  S  e.  W )
rescabs2.t  |-  ( ph  ->  T  C_  S )
Assertion
Ref Expression
rescabs2  |-  ( ph  ->  ( ( Cs  S )  |`cat 
J )  =  ( C  |`cat  J ) )

Proof of Theorem rescabs2
StepHypRef Expression
1 rescabs2.s . . . 4  |-  ( ph  ->  S  e.  W )
2 rescabs2.t . . . 4  |-  ( ph  ->  T  C_  S )
3 ressabs 13528 . . . 4  |-  ( ( S  e.  W  /\  T  C_  S )  -> 
( ( Cs  S )s  T )  =  ( Cs  T ) )
41, 2, 3syl2anc 644 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( Cs  S )s  T )  =  ( Cs  T ) )
54oveq1d 6097 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( Cs  S )s  T ) sSet  <. (  Hom  `  ndx ) ,  J >. )  =  ( ( Cs  T ) sSet  <. (  Hom  `  ndx ) ,  J >. ) )
6 eqid 2437 . . 3  |-  ( ( Cs  S )  |`cat  J )  =  ( ( Cs  S )  |`cat  J )
7 ovex 6107 . . . 4  |-  ( Cs  S )  e.  _V
87a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Cs  S )  e.  _V )
91, 2ssexd 4351 . . 3  |-  ( ph  ->  T  e.  _V )
10 rescabs2.j . . 3  |-  ( ph  ->  J  Fn  ( T  X.  T ) )
116, 8, 9, 10rescval2 14029 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( Cs  S )  |`cat 
J )  =  ( ( ( Cs  S )s  T ) sSet  <. (  Hom  `  ndx ) ,  J >. ) )
12 eqid 2437 . . 3  |-  ( C  |`cat 
J )  =  ( C  |`cat  J )
13 rescabs2.c . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  V )
1412, 13, 9, 10rescval2 14029 . 2  |-  ( ph  ->  ( C  |`cat  J )  =  ( ( Cs  T ) sSet  <. (  Hom  `  ndx ) ,  J >. ) )
155, 11, 143eqtr4d 2479 1  |-  ( ph  ->  ( ( Cs  S )  |`cat 
J )  =  ( C  |`cat  J ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1653    e. wcel 1726   _Vcvv 2957    C_ wss 3321   <.cop 3818    X. cxp 4877    Fn wfn 5450   ` cfv 5455  (class class class)co 6082   ndxcnx 13467   sSet csts 13468   ↾s cress 13471    Hom chom 13541    |`cat cresc 14009
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-rep 4321  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-cnex 9047  ax-resscn 9048  ax-1cn 9049  ax-icn 9050  ax-addcl 9051  ax-addrcl 9052  ax-mulcl 9053  ax-mulrcl 9054  ax-i2m1 9059  ax-1ne0 9060  ax-rrecex 9063  ax-cnre 9064
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-iun 4096  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-nn 10002  df-ndx 13473  df-slot 13474  df-base 13475  df-sets 13476  df-ress 13477  df-resc 14012
  Copyright terms: Public domain W3C validator