MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rescco Unicode version

Theorem rescco 13995
Description: Composition in the category restriction. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
rescbas.d  |-  D  =  ( C  |`cat  H )
rescbas.b  |-  B  =  ( Base `  C
)
rescbas.c  |-  ( ph  ->  C  e.  V )
rescbas.h  |-  ( ph  ->  H  Fn  ( S  X.  S ) )
rescbas.s  |-  ( ph  ->  S  C_  B )
rescco.o  |-  .x.  =  (comp `  C )
Assertion
Ref Expression
rescco  |-  ( ph  ->  .x.  =  (comp `  D ) )

Proof of Theorem rescco
StepHypRef Expression
1 ccoid 13608 . . 3  |- comp  = Slot  (comp ` 
ndx )
2 1nn0 10201 . . . . . . 7  |-  1  e.  NN0
3 4nn 10099 . . . . . . 7  |-  4  e.  NN
42, 3decnncl 10359 . . . . . 6  |- ; 1 4  e.  NN
54nnrei 9973 . . . . 5  |- ; 1 4  e.  RR
6 4nn0 10204 . . . . . 6  |-  4  e.  NN0
7 5nn 10100 . . . . . 6  |-  5  e.  NN
8 4lt5 10112 . . . . . 6  |-  4  <  5
92, 6, 7, 8declt 10367 . . . . 5  |- ; 1 4  < ; 1 5
105, 9gtneii 9149 . . . 4  |- ; 1 5  =/= ; 1 4
11 ccondx 13607 . . . . 5  |-  (comp `  ndx )  = ; 1 5
12 homndx 13605 . . . . 5  |-  (  Hom  `  ndx )  = ; 1 4
1311, 12neeq12i 2587 . . . 4  |-  ( (comp `  ndx )  =/=  (  Hom  `  ndx )  <-> ; 1 5  =/= ; 1 4 )
1410, 13mpbir 201 . . 3  |-  (comp `  ndx )  =/=  (  Hom  `  ndx )
151, 14setsnid 13472 . 2  |-  (comp `  ( Cs  S ) )  =  (comp `  ( ( Cs  S ) sSet  <. (  Hom  `  ndx ) ,  H >. ) )
16 rescbas.s . . . 4  |-  ( ph  ->  S  C_  B )
17 rescbas.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  C
)
18 fvex 5709 . . . . . 6  |-  ( Base `  C )  e.  _V
1917, 18eqeltri 2482 . . . . 5  |-  B  e. 
_V
2019ssex 4315 . . . 4  |-  ( S 
C_  B  ->  S  e.  _V )
2116, 20syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  S  e.  _V )
22 eqid 2412 . . . 4  |-  ( Cs  S )  =  ( Cs  S )
23 rescco.o . . . 4  |-  .x.  =  (comp `  C )
2422, 23ressco 13610 . . 3  |-  ( S  e.  _V  ->  .x.  =  (comp `  ( Cs  S ) ) )
2521, 24syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  .x.  =  (comp `  ( Cs  S ) ) )
26 rescbas.d . . . 4  |-  D  =  ( C  |`cat  H )
27 rescbas.c . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  V )
28 rescbas.h . . . 4  |-  ( ph  ->  H  Fn  ( S  X.  S ) )
2926, 27, 21, 28rescval2 13991 . . 3  |-  ( ph  ->  D  =  ( ( Cs  S ) sSet  <. (  Hom  `  ndx ) ,  H >. ) )
3029fveq2d 5699 . 2  |-  ( ph  ->  (comp `  D )  =  (comp `  ( ( Cs  S ) sSet  <. (  Hom  `  ndx ) ,  H >. ) ) )
3115, 25, 303eqtr4a 2470 1  |-  ( ph  ->  .x.  =  (comp `  D ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2575   _Vcvv 2924    C_ wss 3288   <.cop 3785    X. cxp 4843    Fn wfn 5416   ` cfv 5421  (class class class)co 6048   1c1 8955   4c4 10015   5c5 10016  ;cdc 10346   ndxcnx 13429   sSet csts 13430   Basecbs 13432   ↾s cress 13433    Hom chom 13503  compcco 13504    |`cat cresc 13971
This theorem is referenced by:  subccatid  14006  issubc3  14009  fullresc  14011  funcres  14056  funcres2b  14057
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-er 6872  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-nn 9965  df-2 10022  df-3 10023  df-4 10024  df-5 10025  df-6 10026  df-7 10027  df-8 10028  df-9 10029  df-10 10030  df-n0 10186  df-z 10247  df-dec 10347  df-ndx 13435  df-slot 13436  df-base 13437  df-sets 13438  df-ress 13439  df-hom 13516  df-cco 13517  df-resc 13974
  Copyright terms: Public domain W3C validator