MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rescco Unicode version

Theorem rescco 13919
Description: Composition in the category restriction. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
rescbas.d  |-  D  =  ( C  |`cat  H )
rescbas.b  |-  B  =  ( Base `  C
)
rescbas.c  |-  ( ph  ->  C  e.  V )
rescbas.h  |-  ( ph  ->  H  Fn  ( S  X.  S ) )
rescbas.s  |-  ( ph  ->  S  C_  B )
rescco.o  |-  .x.  =  (comp `  C )
Assertion
Ref Expression
rescco  |-  ( ph  ->  .x.  =  (comp `  D ) )

Proof of Theorem rescco
StepHypRef Expression
1 rescbas.s . . . . 5  |-  ( ph  ->  S  C_  B )
2 rescbas.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  C
)
3 fvex 5646 . . . . . . 7  |-  ( Base `  C )  e.  _V
42, 3eqeltri 2436 . . . . . 6  |-  B  e. 
_V
54ssex 4260 . . . . 5  |-  ( S 
C_  B  ->  S  e.  _V )
61, 5syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  S  e.  _V )
7 eqid 2366 . . . . 5  |-  ( Cs  S )  =  ( Cs  S )
8 rescco.o . . . . 5  |-  .x.  =  (comp `  C )
9 df-cco 13441 . . . . 5  |- comp  = Slot ; 1 5
10 1nn0 10130 . . . . . 6  |-  1  e.  NN0
11 5nn 10029 . . . . . 6  |-  5  e.  NN
1210, 11decnncl 10288 . . . . 5  |- ; 1 5  e.  NN
13 1nn 9904 . . . . . 6  |-  1  e.  NN
14 5nn0 10134 . . . . . 6  |-  5  e.  NN0
15 1lt10 10079 . . . . . 6  |-  1  <  10
1613, 14, 10, 15declti 10300 . . . . 5  |-  1  < ; 1
5
177, 8, 9, 12, 16resslem 13409 . . . 4  |-  ( S  e.  _V  ->  .x.  =  (comp `  ( Cs  S ) ) )
186, 17syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  .x.  =  (comp `  ( Cs  S ) ) )
199, 12ndxid 13377 . . . 4  |- comp  = Slot  (comp ` 
ndx )
20 4nn 10028 . . . . . . . 8  |-  4  e.  NN
2110, 20decnncl 10288 . . . . . . 7  |- ; 1 4  e.  NN
2221nnrei 9902 . . . . . 6  |- ; 1 4  e.  RR
23 4nn0 10133 . . . . . . 7  |-  4  e.  NN0
24 4lt5 10041 . . . . . . 7  |-  4  <  5
2510, 23, 11, 24declt 10296 . . . . . 6  |- ; 1 4  < ; 1 5
2622, 25gtneii 9077 . . . . 5  |- ; 1 5  =/= ; 1 4
279, 12ndxarg 13376 . . . . . 6  |-  (comp `  ndx )  = ; 1 5
28 df-hom 13440 . . . . . . 7  |-  Hom  = Slot ; 1 4
2928, 21ndxarg 13376 . . . . . 6  |-  (  Hom  `  ndx )  = ; 1 4
3027, 29neeq12i 2541 . . . . 5  |-  ( (comp `  ndx )  =/=  (  Hom  `  ndx )  <-> ; 1 5  =/= ; 1 4 )
3126, 30mpbir 200 . . . 4  |-  (comp `  ndx )  =/=  (  Hom  `  ndx )
3219, 31setsnid 13396 . . 3  |-  (comp `  ( Cs  S ) )  =  (comp `  ( ( Cs  S ) sSet  <. (  Hom  `  ndx ) ,  H >. ) )
3318, 32syl6eq 2414 . 2  |-  ( ph  ->  .x.  =  (comp `  ( ( Cs  S ) sSet  <. (  Hom  `  ndx ) ,  H >. ) ) )
34 rescbas.d . . . 4  |-  D  =  ( C  |`cat  H )
35 rescbas.c . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  V )
36 rescbas.h . . . 4  |-  ( ph  ->  H  Fn  ( S  X.  S ) )
3734, 35, 6, 36rescval2 13915 . . 3  |-  ( ph  ->  D  =  ( ( Cs  S ) sSet  <. (  Hom  `  ndx ) ,  H >. ) )
3837fveq2d 5636 . 2  |-  ( ph  ->  (comp `  D )  =  (comp `  ( ( Cs  S ) sSet  <. (  Hom  `  ndx ) ,  H >. ) ) )
3933, 38eqtr4d 2401 1  |-  ( ph  ->  .x.  =  (comp `  D ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1647    e. wcel 1715    =/= wne 2529   _Vcvv 2873    C_ wss 3238   <.cop 3732    X. cxp 4790    Fn wfn 5353   ` cfv 5358  (class class class)co 5981   1c1 8885   4c4 9944   5c5 9945  ;cdc 10275   ndxcnx 13353   sSet csts 13354   Basecbs 13356   ↾s cress 13357    Hom chom 13427  compcco 13428    |`cat cresc 13895
This theorem is referenced by:  subccatid  13930  issubc3  13933  fullresc  13935  funcres  13980  funcres2b  13981
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-rep 4233  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615  ax-cnex 8940  ax-resscn 8941  ax-1cn 8942  ax-icn 8943  ax-addcl 8944  ax-addrcl 8945  ax-mulcl 8946  ax-mulrcl 8947  ax-mulcom 8948  ax-addass 8949  ax-mulass 8950  ax-distr 8951  ax-i2m1 8952  ax-1ne0 8953  ax-1rid 8954  ax-rnegex 8955  ax-rrecex 8956  ax-cnre 8957  ax-pre-lttri 8958  ax-pre-lttrn 8959  ax-pre-ltadd 8960  ax-pre-mulgt0 8961
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 936  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-nel 2532  df-ral 2633  df-rex 2634  df-reu 2635  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-pss 3254  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-tp 3737  df-op 3738  df-uni 3930  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-tr 4216  df-eprel 4408  df-id 4412  df-po 4417  df-so 4418  df-fr 4455  df-we 4457  df-ord 4498  df-on 4499  df-lim 4500  df-suc 4501  df-om 4760  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-ov 5984  df-oprab 5985  df-mpt2 5986  df-riota 6446  df-recs 6530  df-rdg 6565  df-er 6802  df-en 7007  df-dom 7008  df-sdom 7009  df-pnf 9016  df-mnf 9017  df-xr 9018  df-ltxr 9019  df-le 9020  df-sub 9186  df-neg 9187  df-nn 9894  df-2 9951  df-3 9952  df-4 9953  df-5 9954  df-6 9955  df-7 9956  df-8 9957  df-9 9958  df-10 9959  df-n0 10115  df-z 10176  df-dec 10276  df-ndx 13359  df-slot 13360  df-base 13361  df-sets 13362  df-ress 13363  df-hom 13440  df-cco 13441  df-resc 13898
  Copyright terms: Public domain W3C validator