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Theorem rescncf 18401
Description: A continuous complex function restricted to a subset is continuous. (Contributed by Paul Chapman, 18-Oct-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
rescncf  |-  ( C 
C_  A  ->  ( F  e.  ( A -cn-> B )  ->  ( F  |`  C )  e.  ( C -cn-> B ) ) )

Proof of Theorem rescncf
Dummy variables  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 447 . . . . . 6  |-  ( ( C  C_  A  /\  F  e.  ( A -cn-> B ) )  ->  F  e.  ( A -cn-> B ) )
2 cncfrss 18395 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  ( A -cn-> B )  ->  A  C_  CC )
32adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( C  C_  A  /\  F  e.  ( A -cn-> B ) )  ->  A  C_  CC )
4 cncfrss2 18396 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  ( A -cn-> B )  ->  B  C_  CC )
54adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( C  C_  A  /\  F  e.  ( A -cn-> B ) )  ->  B  C_  CC )
6 elcncf 18393 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  ->  ( F  e.  ( A -cn-> B )  <->  ( F : A --> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  ( x  -  w
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  ( F `
 w ) ) )  <  y ) ) ) )
73, 5, 6syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( C  C_  A  /\  F  e.  ( A -cn-> B ) )  -> 
( F  e.  ( A -cn-> B )  <->  ( F : A --> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  ( x  -  w
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  ( F `
 w ) ) )  <  y ) ) ) )
81, 7mpbid 201 . . . . 5  |-  ( ( C  C_  A  /\  F  e.  ( A -cn-> B ) )  -> 
( F : A --> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  (
x  -  w ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  x
)  -  ( F `
 w ) ) )  <  y ) ) )
98simpld 445 . . . 4  |-  ( ( C  C_  A  /\  F  e.  ( A -cn-> B ) )  ->  F : A --> B )
10 simpl 443 . . . 4  |-  ( ( C  C_  A  /\  F  e.  ( A -cn-> B ) )  ->  C  C_  A )
11 fssres 5408 . . . 4  |-  ( ( F : A --> B  /\  C  C_  A )  -> 
( F  |`  C ) : C --> B )
129, 10, 11syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( C  C_  A  /\  F  e.  ( A -cn-> B ) )  -> 
( F  |`  C ) : C --> B )
138simprd 449 . . . 4  |-  ( ( C  C_  A  /\  F  e.  ( A -cn-> B ) )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  ( x  -  w
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  ( F `
 w ) ) )  <  y ) )
14 ssralv 3237 . . . . 5  |-  ( C 
C_  A  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  ( x  -  w
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  ( F `
 w ) ) )  <  y )  ->  A. x  e.  C  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  ( x  -  w
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  ( F `
 w ) ) )  <  y ) ) )
15 ssralv 3237 . . . . . . . . 9  |-  ( C 
C_  A  ->  ( A. w  e.  A  ( ( abs `  (
x  -  w ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  x
)  -  ( F `
 w ) ) )  <  y )  ->  A. w  e.  C  ( ( abs `  (
x  -  w ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  x
)  -  ( F `
 w ) ) )  <  y ) ) )
16 fvres 5542 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  C  ->  (
( F  |`  C ) `
 x )  =  ( F `  x
) )
17 fvres 5542 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  e.  C  ->  (
( F  |`  C ) `
 w )  =  ( F `  w
) )
1816, 17oveqan12d 5877 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  C  /\  w  e.  C )  ->  ( ( ( F  |`  C ) `  x
)  -  ( ( F  |`  C ) `  w ) )  =  ( ( F `  x )  -  ( F `  w )
) )
1918fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  C  /\  w  e.  C )  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  C ) `  x
)  -  ( ( F  |`  C ) `  w ) ) )  =  ( abs `  (
( F `  x
)  -  ( F `
 w ) ) ) )
2019breq1d 4033 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  C  /\  w  e.  C )  ->  ( ( abs `  (
( ( F  |`  C ) `  x
)  -  ( ( F  |`  C ) `  w ) ) )  <  y  <->  ( abs `  ( ( F `  x )  -  ( F `  w )
) )  <  y
) )
2120imbi2d 307 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  C  /\  w  e.  C )  ->  ( ( ( abs `  ( x  -  w
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  C ) `  x
)  -  ( ( F  |`  C ) `  w ) ) )  <  y )  <->  ( ( abs `  ( x  -  w ) )  < 
z  ->  ( abs `  ( ( F `  x )  -  ( F `  w )
) )  <  y
) ) )
2221biimprd 214 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  C  /\  w  e.  C )  ->  ( ( ( abs `  ( x  -  w
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  ( F `
 w ) ) )  <  y )  ->  ( ( abs `  ( x  -  w
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  C ) `  x
)  -  ( ( F  |`  C ) `  w ) ) )  <  y ) ) )
2322ralimdva 2621 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  C  ->  ( A. w  e.  C  ( ( abs `  (
x  -  w ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  x
)  -  ( F `
 w ) ) )  <  y )  ->  A. w  e.  C  ( ( abs `  (
x  -  w ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( ( F  |`  C ) `  x
)  -  ( ( F  |`  C ) `  w ) ) )  <  y ) ) )
2415, 23sylan9 638 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  C_  A  /\  x  e.  C )  ->  ( A. w  e.  A  ( ( abs `  ( x  -  w
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  ( F `
 w ) ) )  <  y )  ->  A. w  e.  C  ( ( abs `  (
x  -  w ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( ( F  |`  C ) `  x
)  -  ( ( F  |`  C ) `  w ) ) )  <  y ) ) )
2524reximdv 2654 . . . . . . 7  |-  ( ( C  C_  A  /\  x  e.  C )  ->  ( E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  (
x  -  w ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  x
)  -  ( F `
 w ) ) )  <  y )  ->  E. z  e.  RR+  A. w  e.  C  ( ( abs `  (
x  -  w ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( ( F  |`  C ) `  x
)  -  ( ( F  |`  C ) `  w ) ) )  <  y ) ) )
2625ralimdv 2622 . . . . . 6  |-  ( ( C  C_  A  /\  x  e.  C )  ->  ( A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  (
x  -  w ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  x
)  -  ( F `
 w ) ) )  <  y )  ->  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  C  ( ( abs `  ( x  -  w ) )  < 
z  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  C ) `  x
)  -  ( ( F  |`  C ) `  w ) ) )  <  y ) ) )
2726ralimdva 2621 . . . . 5  |-  ( C 
C_  A  ->  ( A. x  e.  C  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  ( x  -  w
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  ( F `
 w ) ) )  <  y )  ->  A. x  e.  C  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  C  ( ( abs `  ( x  -  w
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  C ) `  x
)  -  ( ( F  |`  C ) `  w ) ) )  <  y ) ) )
2814, 27syld 40 . . . 4  |-  ( C 
C_  A  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  ( x  -  w
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  ( F `
 w ) ) )  <  y )  ->  A. x  e.  C  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  C  ( ( abs `  ( x  -  w
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  C ) `  x
)  -  ( ( F  |`  C ) `  w ) ) )  <  y ) ) )
2910, 13, 28sylc 56 . . 3  |-  ( ( C  C_  A  /\  F  e.  ( A -cn-> B ) )  ->  A. x  e.  C  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  C  ( ( abs `  ( x  -  w
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  C ) `  x
)  -  ( ( F  |`  C ) `  w ) ) )  <  y ) )
3010, 3sstrd 3189 . . . 4  |-  ( ( C  C_  A  /\  F  e.  ( A -cn-> B ) )  ->  C  C_  CC )
31 elcncf 18393 . . . 4  |-  ( ( C  C_  CC  /\  B  C_  CC )  ->  (
( F  |`  C )  e.  ( C -cn-> B )  <->  ( ( F  |`  C ) : C --> B  /\  A. x  e.  C  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  C  ( ( abs `  (
x  -  w ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( ( F  |`  C ) `  x
)  -  ( ( F  |`  C ) `  w ) ) )  <  y ) ) ) )
3230, 5, 31syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( C  C_  A  /\  F  e.  ( A -cn-> B ) )  -> 
( ( F  |`  C )  e.  ( C -cn-> B )  <->  ( ( F  |`  C ) : C --> B  /\  A. x  e.  C  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  C  ( ( abs `  ( x  -  w
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  C ) `  x
)  -  ( ( F  |`  C ) `  w ) ) )  <  y ) ) ) )
3312, 29, 32mpbir2and 888 . 2  |-  ( ( C  C_  A  /\  F  e.  ( A -cn-> B ) )  -> 
( F  |`  C )  e.  ( C -cn-> B ) )
3433ex 423 1  |-  ( C 
C_  A  ->  ( F  e.  ( A -cn-> B )  ->  ( F  |`  C )  e.  ( C -cn-> B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544    C_ wss 3152   class class class wbr 4023    |` cres 4691   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735    < clt 8867    - cmin 9037   RR+crp 10354   abscabs 11719   -cn->ccncf 18380
This theorem is referenced by:  cpnres  19286  dvlip  19340  dvlip2  19342  c1liplem1  19343  c1lip2  19345  dvgt0lem1  19349  dvivthlem1  19355  dvne0  19358  lhop1lem  19360  dvcnvrelem1  19364  dvcnvrelem2  19365  dvcvx  19367  dvfsumle  19368  dvfsumabs  19370  dvfsumlem2  19374  ftc2ditglem  19392  itgparts  19394  itgsubstlem  19395  psercn2  19799  abelth  19817  abelth2  19818  efcvx  19825  pige3  19885  dvrelog  19984  logcn  19994  logccv  20010  loglesqr  20098  cncfres  25897  lhe4.4ex1a  26958  cncfmptss  27129
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-map 6774  df-cncf 18382
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