Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rescon Structured version   Unicode version

Theorem rescon 24934
Description: A subset of  RR is simply connected iff it is connected. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
rescon.1  |-  J  =  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A )
Assertion
Ref Expression
rescon  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( J  e. SCon 
<->  J  e.  Con )
)

Proof of Theorem rescon
Dummy variables  t 
s  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sconpcon 24915 . . 3  |-  ( J  e. SCon  ->  J  e. PCon )
2 pconcon 24919 . . 3  |-  ( J  e. PCon  ->  J  e.  Con )
31, 2syl 16 . 2  |-  ( J  e. SCon  ->  J  e.  Con )
4 eqid 2437 . . . . . . 7  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
5 eqid 2437 . . . . . . 7  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  (
topGen `  ran  (,) )
64, 5rerest 18836 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( (
TopOpen ` fld )t  A )  =  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) )
7 rescon.1 . . . . . 6  |-  J  =  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A )
86, 7syl6eqr 2487 . . . . 5  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( (
TopOpen ` fld )t  A )  =  J )
98adantr 453 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  ->  (
( TopOpen ` fld )t  A )  =  J )
10 simpl 445 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  ->  A  C_  RR )
11 ax-resscn 9048 . . . . . 6  |-  RR  C_  CC
1210, 11syl6ss 3361 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  ->  A  C_  CC )
13 df-3an 939 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) )  <-> 
( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1
) ) )
14 oveq2 6090 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  x  ->  (
t  x.  z )  =  ( t  x.  x ) )
15 oveq2 6090 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  y  ->  (
( 1  -  t
)  x.  w )  =  ( ( 1  -  t )  x.  y ) )
1614, 15oveqan12d 6101 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  =  x  /\  w  =  y )  ->  ( ( t  x.  z )  +  ( ( 1  -  t
)  x.  w ) )  =  ( ( t  x.  x )  +  ( ( 1  -  t )  x.  y ) ) )
1716eleq1d 2503 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  =  x  /\  w  =  y )  ->  ( ( ( t  x.  z )  +  ( ( 1  -  t )  x.  w
) )  e.  A  <->  ( ( t  x.  x
)  +  ( ( 1  -  t )  x.  y ) )  e.  A ) )
1817ralbidv 2726 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  =  x  /\  w  =  y )  ->  ( A. t  e.  ( 0 [,] 1
) ( ( t  x.  z )  +  ( ( 1  -  t )  x.  w
) )  e.  A  <->  A. t  e.  ( 0 [,] 1 ) ( ( t  x.  x
)  +  ( ( 1  -  t )  x.  y ) )  e.  A ) )
19 oveq2 6090 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  y  ->  (
t  x.  z )  =  ( t  x.  y ) )
20 oveq2 6090 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  x  ->  (
( 1  -  t
)  x.  w )  =  ( ( 1  -  t )  x.  x ) )
2119, 20oveqan12d 6101 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  =  y  /\  w  =  x )  ->  ( ( t  x.  z )  +  ( ( 1  -  t
)  x.  w ) )  =  ( ( t  x.  y )  +  ( ( 1  -  t )  x.  x ) ) )
2221eleq1d 2503 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  =  y  /\  w  =  x )  ->  ( ( ( t  x.  z )  +  ( ( 1  -  t )  x.  w
) )  e.  A  <->  ( ( t  x.  y
)  +  ( ( 1  -  t )  x.  x ) )  e.  A ) )
2322ralbidv 2726 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  =  y  /\  w  =  x )  ->  ( A. t  e.  ( 0 [,] 1
) ( ( t  x.  z )  +  ( ( 1  -  t )  x.  w
) )  e.  A  <->  A. t  e.  ( 0 [,] 1 ) ( ( t  x.  y
)  +  ( ( 1  -  t )  x.  x ) )  e.  A ) )
24 unitssre 11043 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 0 [,] 1 )  C_  RR
2524, 11sstri 3358 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 0 [,] 1 )  C_  CC
26 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) )  /\  s  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  s  e.  ( 0 [,] 1 ) )
2725, 26sseldi 3347 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) )  /\  s  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  s  e.  CC )
2812adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_  y ) )  ->  A  C_  CC )
29 simpr2 965 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_  y ) )  ->  y  e.  A )
3028, 29sseldd 3350 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_  y ) )  ->  y  e.  CC )
3130adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) )  /\  s  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  y  e.  CC )
3227, 31mulcld 9109 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) )  /\  s  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( s  x.  y )  e.  CC )
33 ax-1cn 9049 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  e.  CC
34 subcl 9306 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  s  e.  CC )  ->  ( 1  -  s
)  e.  CC )
3533, 27, 34sylancr 646 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) )  /\  s  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( 1  -  s )  e.  CC )
36 simpr1 964 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_  y ) )  ->  x  e.  A )
3728, 36sseldd 3350 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_  y ) )  ->  x  e.  CC )
3837adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) )  /\  s  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  x  e.  CC )
3935, 38mulcld 9109 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) )  /\  s  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( ( 1  -  s )  x.  x )  e.  CC )
4032, 39addcomd 9269 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) )  /\  s  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( ( s  x.  y )  +  ( ( 1  -  s )  x.  x
) )  =  ( ( ( 1  -  s )  x.  x
)  +  ( s  x.  y ) ) )
41 nncan 9331 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  s  e.  CC )  ->  ( 1  -  (
1  -  s ) )  =  s )
4233, 27, 41sylancr 646 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) )  /\  s  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( 1  -  ( 1  -  s
) )  =  s )
4342oveq1d 6097 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) )  /\  s  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( ( 1  -  ( 1  -  s ) )  x.  y )  =  ( s  x.  y ) )
4443oveq2d 6098 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) )  /\  s  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( ( ( 1  -  s )  x.  x )  +  ( ( 1  -  ( 1  -  s
) )  x.  y
) )  =  ( ( ( 1  -  s )  x.  x
)  +  ( s  x.  y ) ) )
4540, 44eqtr4d 2472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) )  /\  s  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( ( s  x.  y )  +  ( ( 1  -  s )  x.  x
) )  =  ( ( ( 1  -  s )  x.  x
)  +  ( ( 1  -  ( 1  -  s ) )  x.  y ) ) )
46 iirev 18955 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( s  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  (
1  -  s )  e.  ( 0 [,] 1 ) )
4746adantl 454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) )  /\  s  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( 1  -  s )  e.  ( 0 [,] 1 ) )
487eleq1i 2500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( J  e.  Con  <->  ( ( topGen `
 ran  (,) )t  A
)  e.  Con )
49 reconn 18860 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  e.  Con  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x [,] y )  C_  A
) )
5048, 49syl5bb 250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( J  e.  Con  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x [,] y )  C_  A
) )
5150biimpa 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x [,] y )  C_  A
)
5251r19.21bi 2805 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  x  e.  A
)  ->  A. y  e.  A  ( x [,] y )  C_  A
)
5352r19.21bi 2805 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  x  e.  A
)  /\  y  e.  A )  ->  (
x [,] y ) 
C_  A )
5453anasss 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A
) )  ->  (
x [,] y ) 
C_  A )
55543adantr3 1119 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_  y ) )  ->  ( x [,] y )  C_  A
)
5655adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( x [,] y )  C_  A
)
57 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  t  e.  ( 0 [,] 1 ) )
5824, 57sseldi 3347 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  t  e.  RR )
59 simplll 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  A  C_  RR )
6036adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  x  e.  A
)
6159, 60sseldd 3350 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  x  e.  RR )
6258, 61remulcld 9117 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( t  x.  x )  e.  RR )
63 1re 9091 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  1  e.  RR
64 resubcl 9366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  t  e.  RR )  ->  ( 1  -  t
)  e.  RR )
6563, 58, 64sylancr 646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( 1  -  t )  e.  RR )
6629adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  y  e.  A
)
6759, 66sseldd 3350 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  y  e.  RR )
6865, 67remulcld 9117 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( ( 1  -  t )  x.  y )  e.  RR )
6962, 68readdcld 9116 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( ( t  x.  x )  +  ( ( 1  -  t )  x.  y
) )  e.  RR )
7058recnd 9115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  t  e.  CC )
71 pncan3 9314 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( t  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( t  +  ( 1  -  t ) )  =  1 )
7270, 33, 71sylancl 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( t  +  ( 1  -  t
) )  =  1 )
7372oveq1d 6097 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( ( t  +  ( 1  -  t ) )  x.  x )  =  ( 1  x.  x ) )
7465recnd 9115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( 1  -  t )  e.  CC )
7537adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  x  e.  CC )
7670, 74, 75adddird 9114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( ( t  +  ( 1  -  t ) )  x.  x )  =  ( ( t  x.  x
)  +  ( ( 1  -  t )  x.  x ) ) )
7775mulid2d 9107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( 1  x.  x )  =  x )
7873, 76, 773eqtr3d 2477 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( ( t  x.  x )  +  ( ( 1  -  t )  x.  x
) )  =  x )
7965, 61remulcld 9117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( ( 1  -  t )  x.  x )  e.  RR )
80 0re 9092 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  0  e.  RR
8180, 63elicc2i 10977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( t  e.  ( 0 [,] 1 )  <->  ( t  e.  RR  /\  0  <_ 
t  /\  t  <_  1 ) )
8257, 81sylib 190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( t  e.  RR  /\  0  <_ 
t  /\  t  <_  1 ) )
8382simp3d 972 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  t  <_  1
)
84 subge0 9542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  t  e.  RR )  ->  ( 0  <_  (
1  -  t )  <-> 
t  <_  1 ) )
8563, 58, 84sylancr 646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( 0  <_ 
( 1  -  t
)  <->  t  <_  1
) )
8683, 85mpbird 225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  0  <_  (
1  -  t ) )
87 simplr3 1002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  x  <_  y
)
8861, 67, 65, 86, 87lemul2ad 9952 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( ( 1  -  t )  x.  x )  <_  (
( 1  -  t
)  x.  y ) )
8979, 68, 62, 88leadd2dd 9642 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( ( t  x.  x )  +  ( ( 1  -  t )  x.  x
) )  <_  (
( t  x.  x
)  +  ( ( 1  -  t )  x.  y ) ) )
9078, 89eqbrtrrd 4235 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  x  <_  (
( t  x.  x
)  +  ( ( 1  -  t )  x.  y ) ) )
9158, 67remulcld 9117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( t  x.  y )  e.  RR )
9282simp2d 971 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  0  <_  t
)
9361, 67, 58, 92, 87lemul2ad 9952 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( t  x.  x )  <_  (
t  x.  y ) )
9462, 91, 68, 93leadd1dd 9641 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( ( t  x.  x )  +  ( ( 1  -  t )  x.  y
) )  <_  (
( t  x.  y
)  +  ( ( 1  -  t )  x.  y ) ) )
9572oveq1d 6097 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( ( t  +  ( 1  -  t ) )  x.  y )  =  ( 1  x.  y ) )
9630adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  y  e.  CC )
9770, 74, 96adddird 9114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( ( t  +  ( 1  -  t ) )  x.  y )  =  ( ( t  x.  y
)  +  ( ( 1  -  t )  x.  y ) ) )
9896mulid2d 9107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( 1  x.  y )  =  y )
9995, 97, 983eqtr3d 2477 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( ( t  x.  y )  +  ( ( 1  -  t )  x.  y
) )  =  y )
10094, 99breqtrd 4237 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( ( t  x.  x )  +  ( ( 1  -  t )  x.  y
) )  <_  y
)
101 elicc2 10976 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( ( t  x.  x )  +  ( ( 1  -  t )  x.  y
) )  e.  ( x [,] y )  <-> 
( ( ( t  x.  x )  +  ( ( 1  -  t )  x.  y
) )  e.  RR  /\  x  <_  ( (
t  x.  x )  +  ( ( 1  -  t )  x.  y ) )  /\  ( ( t  x.  x )  +  ( ( 1  -  t
)  x.  y ) )  <_  y )
) )
10261, 67, 101syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( ( ( t  x.  x )  +  ( ( 1  -  t )  x.  y ) )  e.  ( x [,] y
)  <->  ( ( ( t  x.  x )  +  ( ( 1  -  t )  x.  y ) )  e.  RR  /\  x  <_ 
( ( t  x.  x )  +  ( ( 1  -  t
)  x.  y ) )  /\  ( ( t  x.  x )  +  ( ( 1  -  t )  x.  y ) )  <_ 
y ) ) )
10369, 90, 100, 102mpbir3and 1138 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( ( t  x.  x )  +  ( ( 1  -  t )  x.  y
) )  e.  ( x [,] y ) )
10456, 103sseldd 3350 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( ( t  x.  x )  +  ( ( 1  -  t )  x.  y
) )  e.  A
)
105104ralrimiva 2790 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_  y ) )  ->  A. t  e.  ( 0 [,] 1
) ( ( t  x.  x )  +  ( ( 1  -  t )  x.  y
) )  e.  A
)
106105adantr 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) )  /\  s  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  A. t  e.  ( 0 [,] 1 ) ( ( t  x.  x )  +  ( ( 1  -  t
)  x.  y ) )  e.  A )
107 oveq1 6089 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( t  =  ( 1  -  s )  ->  (
t  x.  x )  =  ( ( 1  -  s )  x.  x ) )
108 oveq2 6090 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( t  =  ( 1  -  s )  ->  (
1  -  t )  =  ( 1  -  ( 1  -  s
) ) )
109108oveq1d 6097 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( t  =  ( 1  -  s )  ->  (
( 1  -  t
)  x.  y )  =  ( ( 1  -  ( 1  -  s ) )  x.  y ) )
110107, 109oveq12d 6100 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( t  =  ( 1  -  s )  ->  (
( t  x.  x
)  +  ( ( 1  -  t )  x.  y ) )  =  ( ( ( 1  -  s )  x.  x )  +  ( ( 1  -  ( 1  -  s
) )  x.  y
) ) )
111110eleq1d 2503 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  =  ( 1  -  s )  ->  (
( ( t  x.  x )  +  ( ( 1  -  t
)  x.  y ) )  e.  A  <->  ( (
( 1  -  s
)  x.  x )  +  ( ( 1  -  ( 1  -  s ) )  x.  y ) )  e.  A ) )
112111rspcv 3049 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1  -  s )  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  ( A. t  e.  (
0 [,] 1 ) ( ( t  x.  x )  +  ( ( 1  -  t
)  x.  y ) )  e.  A  -> 
( ( ( 1  -  s )  x.  x )  +  ( ( 1  -  (
1  -  s ) )  x.  y ) )  e.  A ) )
11347, 106, 112sylc 59 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) )  /\  s  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( ( ( 1  -  s )  x.  x )  +  ( ( 1  -  ( 1  -  s
) )  x.  y
) )  e.  A
)
11445, 113eqeltrd 2511 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) )  /\  s  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( ( s  x.  y )  +  ( ( 1  -  s )  x.  x
) )  e.  A
)
115114ralrimiva 2790 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_  y ) )  ->  A. s  e.  ( 0 [,] 1
) ( ( s  x.  y )  +  ( ( 1  -  s )  x.  x
) )  e.  A
)
116 oveq1 6089 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  =  t  ->  (
s  x.  y )  =  ( t  x.  y ) )
117 oveq2 6090 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( s  =  t  ->  (
1  -  s )  =  ( 1  -  t ) )
118117oveq1d 6097 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  =  t  ->  (
( 1  -  s
)  x.  x )  =  ( ( 1  -  t )  x.  x ) )
119116, 118oveq12d 6100 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  =  t  ->  (
( s  x.  y
)  +  ( ( 1  -  s )  x.  x ) )  =  ( ( t  x.  y )  +  ( ( 1  -  t )  x.  x
) ) )
120119eleq1d 2503 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  =  t  ->  (
( ( s  x.  y )  +  ( ( 1  -  s
)  x.  x ) )  e.  A  <->  ( (
t  x.  y )  +  ( ( 1  -  t )  x.  x ) )  e.  A ) )
121120cbvralv 2933 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. s  e.  ( 0 [,] 1 ) ( ( s  x.  y
)  +  ( ( 1  -  s )  x.  x ) )  e.  A  <->  A. t  e.  ( 0 [,] 1
) ( ( t  x.  y )  +  ( ( 1  -  t )  x.  x
) )  e.  A
)
122115, 121sylib 190 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_  y ) )  ->  A. t  e.  ( 0 [,] 1
) ( ( t  x.  y )  +  ( ( 1  -  t )  x.  x
) )  e.  A
)
12318, 23, 10, 122, 105wloglei 9560 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A
) )  ->  A. t  e.  ( 0 [,] 1
) ( ( t  x.  x )  +  ( ( 1  -  t )  x.  y
) )  e.  A
)
124123r19.21bi 2805 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( ( t  x.  x )  +  ( ( 1  -  t )  x.  y
) )  e.  A
)
125124anasss 630 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( ( t  x.  x )  +  ( ( 1  -  t
)  x.  y ) )  e.  A )
12613, 125sylan2b 463 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  t  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  (
( t  x.  x
)  +  ( ( 1  -  t )  x.  y ) )  e.  A )
127 eqid 2437 . . . . 5  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  A )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  A )
12812, 126, 4, 127cvxscon 24931 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  ->  (
( TopOpen ` fld )t  A )  e. SCon )
1299, 128eqeltrrd 2512 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  ->  J  e. SCon )
130129ex 425 . 2  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( J  e.  Con  ->  J  e. SCon ) )
1313, 130impbid2 197 1  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( J  e. SCon 
<->  J  e.  Con )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2706    C_ wss 3321   class class class wbr 4213   ran crn 4880   ` cfv 5455  (class class class)co 6082   CCcc 8989   RRcr 8990   0cc0 8991   1c1 8992    + caddc 8994    x. cmul 8996    <_ cle 9122    - cmin 9292   (,)cioo 10917   [,]cicc 10920   ↾t crest 13649   TopOpenctopn 13650   topGenctg 13666  ℂfldccnfld 16704   Conccon 17475  PConcpcon 24907  SConcscon 24908
This theorem is referenced by:  iooscon  24935  iccscon  24936  iccllyscon  24938
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-rep 4321  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-inf2 7597  ax-cnex 9047  ax-resscn 9048  ax-1cn 9049  ax-icn 9050  ax-addcl 9051  ax-addrcl 9052  ax-mulcl 9053  ax-mulrcl 9054  ax-mulcom 9055  ax-addass 9056  ax-mulass 9057  ax-distr 9058  ax-i2m1 9059  ax-1ne0 9060  ax-1rid 9061  ax-rnegex 9062  ax-rrecex 9063  ax-cnre 9064  ax-pre-lttri 9065  ax-pre-lttrn 9066  ax-pre-ltadd 9067  ax-pre-mulgt0 9068  ax-pre-sup 9069  ax-addf 9070  ax-mulf 9071
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rmo 2714  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-int 4052  df-iun 4096  df-iin 4097  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-se 4543  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-isom 5464  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-of 6306  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-riota 6550  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-1o 6725  df-2o 6726  df-oadd 6729  df-er 6906  df-map 7021  df-ixp 7065  df-en 7111  df-dom 7112  df-sdom 7113  df-fin 7114  df-fi 7417  df-sup 7447  df-oi 7480  df-card 7827  df-cda 8049  df-pnf 9123  df-mnf 9124  df-xr 9125  df-ltxr 9126  df-le 9127  df-sub 9294  df-neg 9295  df-div 9679  df-nn 10002  df-2 10059  df-3 10060  df-4 10061  df-5 10062  df-6 10063  df-7 10064  df-8 10065  df-9 10066  df-10 10067  df-n0 10223  df-z 10284  df-dec 10384  df-uz 10490  df-q 10576  df-rp 10614  df-xneg 10711  df-xadd 10712  df-xmul 10713  df-ioo 10921  df-ico 10923  df-icc 10924  df-fz 11045  df-fzo 11137  df-seq 11325  df-exp 11384  df-hash 11620  df-cj 11905  df-re 11906  df-im 11907  df-sqr 12041  df-abs 12042  df-struct 13472  df-ndx 13473  df-slot 13474  df-base 13475  df-sets 13476  df-ress 13477  df-plusg 13543  df-mulr 13544  df-starv 13545  df-sca 13546  df-vsca 13547  df-tset 13549  df-ple 13550  df-ds 13552  df-unif 13553  df-hom 13554  df-cco 13555  df-rest 13651  df-topn 13652  df-topgen 13668  df-pt 13669  df-prds 13672  df-xrs 13727  df-0g 13728  df-gsum 13729  df-qtop 13734  df-imas 13735  df-xps 13737  df-mre 13812  df-mrc 13813  df-acs 13815  df-mnd 14691  df-submnd 14740  df-mulg 14816  df-cntz 15117  df-cmn 15415  df-psmet 16695  df-xmet 16696  df-met 16697  df-bl 16698  df-mopn 16699  df-cnfld 16705  df-top 16964  df-bases 16966  df-topon 16967  df-topsp 16968  df-cld 17084  df-cn 17292  df-cnp 17293  df-con 17476  df-tx 17595  df-hmeo 17788  df-xms 18351  df-ms 18352  df-tms 18353  df-ii 18908  df-htpy 18996  df-phtpy 18997  df-phtpc 19018  df-pcon 24909  df-scon 24910
  Copyright terms: Public domain W3C validator