Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  resf2nd Structured version   Unicode version

Theorem resf2nd 14094
 Description: Value of the functor restriction operator on morphisms. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
resf1st.f
resf1st.h
resf1st.s
resf2nd.x
resf2nd.y
Assertion
Ref Expression
resf2nd f

Proof of Theorem resf2nd
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ov 6086 . 2 f f
2 resf1st.f . . . . . 6
3 resf1st.h . . . . . 6
42, 3resfval 14091 . . . . 5 f
54fveq2d 5734 . . . 4 f
6 fvex 5744 . . . . . 6
76resex 5188 . . . . 5
8 dmexg 5132 . . . . . 6
9 mptexg 5967 . . . . . 6
103, 8, 93syl 19 . . . . 5
11 op2ndg 6362 . . . . 5
127, 10, 11sylancr 646 . . . 4
135, 12eqtrd 2470 . . 3 f
14 simpr 449 . . . . . 6
1514fveq2d 5734 . . . . 5
16 df-ov 6086 . . . . 5
1715, 16syl6eqr 2488 . . . 4
1814fveq2d 5734 . . . . 5
19 df-ov 6086 . . . . 5
2018, 19syl6eqr 2488 . . . 4
2117, 20reseq12d 5149 . . 3
22 resf2nd.x . . . . 5
23 resf2nd.y . . . . 5
24 opelxpi 4912 . . . . 5
2522, 23, 24syl2anc 644 . . . 4
26 resf1st.s . . . . 5
27 fndm 5546 . . . . 5
2826, 27syl 16 . . . 4
2925, 28eleqtrrd 2515 . . 3
30 ovex 6108 . . . . 5
3130resex 5188 . . . 4
3231a1i 11 . . 3
3313, 21, 29, 32fvmptd 5812 . 2 f
341, 33syl5eq 2482 1 f
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 360   wceq 1653   wcel 1726  cvv 2958  cop 3819   cmpt 4268   cxp 4878   cdm 4880   cres 4882   wfn 5451  cfv 5456  (class class class)co 6083  c1st 6349  c2nd 6350   f cresf 14056 This theorem is referenced by:  funcres  14095 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-2nd 6352  df-resf 14060
 Copyright terms: Public domain W3C validator