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Theorem resgcom 25351
Description: Rearrangement of four terms in a commutative, associative magma. (Contributed by FL, 14-Sep-2010.)
Hypothesis
Ref Expression
resgcom.1  |-  X  =  dom  dom  G
Assertion
Ref Expression
resgcom  |-  ( ( G  e.  ( SemiGrp  i^i 
Com1 )  /\  (
( A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( C  e.  X  /\  D  e.  X ) ) )  ->  ( ( A G B ) G ( C G D ) )  =  ( ( A G C ) G ( B G D ) ) )

Proof of Theorem resgcom
StepHypRef Expression
1 inss1 3389 . . . . 5  |-  ( SemiGrp  i^i 
Com1 )  C_  SemiGrp
21sseli 3176 . . . 4  |-  ( G  e.  ( SemiGrp  i^i  Com1 )  ->  G  e.  SemiGrp )
32adantr 451 . . 3  |-  ( ( G  e.  ( SemiGrp  i^i 
Com1 )  /\  (
( A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( C  e.  X  /\  D  e.  X ) ) )  ->  G  e.  SemiGrp )
4 simprll 738 . . 3  |-  ( ( G  e.  ( SemiGrp  i^i 
Com1 )  /\  (
( A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( C  e.  X  /\  D  e.  X ) ) )  ->  A  e.  X
)
5 simprlr 739 . . 3  |-  ( ( G  e.  ( SemiGrp  i^i 
Com1 )  /\  (
( A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( C  e.  X  /\  D  e.  X ) ) )  ->  B  e.  X
)
6 smgrpismgm 20999 . . . . 5  |-  ( G  e.  SemiGrp  ->  G  e.  Magma )
72, 6syl 15 . . . 4  |-  ( G  e.  ( SemiGrp  i^i  Com1 )  ->  G  e.  Magma )
8 resgcom.1 . . . . . . . . 9  |-  X  =  dom  dom  G
98clmgm 20988 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Magma  /\  C  e.  X  /\  D  e.  X )  ->  ( C G D )  e.  X )
1093exp 1150 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  Magma  ->  ( C  e.  X  ->  ( D  e.  X  ->  ( C G D )  e.  X ) ) )
1110com3l 75 . . . . . 6  |-  ( C  e.  X  ->  ( D  e.  X  ->  ( G  e.  Magma  ->  ( C G D )  e.  X ) ) )
1211imp 418 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  X  /\  D  e.  X )  ->  ( G  e.  Magma  -> 
( C G D )  e.  X ) )
1312adantl 452 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( C  e.  X  /\  D  e.  X ) )  -> 
( G  e.  Magma  -> 
( C G D )  e.  X ) )
147, 13mpan9 455 . . 3  |-  ( ( G  e.  ( SemiGrp  i^i 
Com1 )  /\  (
( A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( C  e.  X  /\  D  e.  X ) ) )  ->  ( C G D )  e.  X
)
158smgrpass2 25341 . . 3  |-  ( ( G  e.  SemiGrp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  ( C G D )  e.  X ) )  ->  ( ( A G B ) G ( C G D ) )  =  ( A G ( B G ( C G D ) ) ) )
163, 4, 5, 14, 15syl13anc 1184 . 2  |-  ( ( G  e.  ( SemiGrp  i^i 
Com1 )  /\  (
( A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( C  e.  X  /\  D  e.  X ) ) )  ->  ( ( A G B ) G ( C G D ) )  =  ( A G ( B G ( C G D ) ) ) )
17 simplr 731 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( C  e.  X  /\  D  e.  X ) )  ->  B  e.  X )
18 simprl 732 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( C  e.  X  /\  D  e.  X ) )  ->  C  e.  X )
19 simprr 733 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( C  e.  X  /\  D  e.  X ) )  ->  D  e.  X )
2017, 18, 193jca 1132 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( C  e.  X  /\  D  e.  X ) )  -> 
( B  e.  X  /\  C  e.  X  /\  D  e.  X
) )
218reacomsmgrp1 25343 . . . 4  |-  ( ( G  e.  ( SemiGrp  i^i 
Com1 )  /\  ( B  e.  X  /\  C  e.  X  /\  D  e.  X )
)  ->  ( B G ( C G D ) )  =  ( C G ( B G D ) ) )
2220, 21sylan2 460 . . 3  |-  ( ( G  e.  ( SemiGrp  i^i 
Com1 )  /\  (
( A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( C  e.  X  /\  D  e.  X ) ) )  ->  ( B G ( C G D ) )  =  ( C G ( B G D ) ) )
2322oveq2d 5874 . 2  |-  ( ( G  e.  ( SemiGrp  i^i 
Com1 )  /\  (
( A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( C  e.  X  /\  D  e.  X ) ) )  ->  ( A G ( B G ( C G D ) ) )  =  ( A G ( C G ( B G D ) ) ) )
24 simprrl 740 . . 3  |-  ( ( G  e.  ( SemiGrp  i^i 
Com1 )  /\  (
( A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( C  e.  X  /\  D  e.  X ) ) )  ->  C  e.  X
)
258clmgm 20988 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Magma  /\  B  e.  X  /\  D  e.  X )  ->  ( B G D )  e.  X )
26253exp 1150 . . . . . . . . 9  |-  ( G  e.  Magma  ->  ( B  e.  X  ->  ( D  e.  X  ->  ( B G D )  e.  X ) ) )
2726com13 74 . . . . . . . 8  |-  ( D  e.  X  ->  ( B  e.  X  ->  ( G  e.  Magma  ->  ( B G D )  e.  X ) ) )
2827adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  X  /\  D  e.  X )  ->  ( B  e.  X  ->  ( G  e.  Magma  -> 
( B G D )  e.  X ) ) )
2928com12 27 . . . . . 6  |-  ( B  e.  X  ->  (
( C  e.  X  /\  D  e.  X
)  ->  ( G  e.  Magma  ->  ( B G D )  e.  X
) ) )
3029adantl 452 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( ( C  e.  X  /\  D  e.  X )  ->  ( G  e.  Magma  ->  ( B G D )  e.  X ) ) )
3130imp 418 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( C  e.  X  /\  D  e.  X ) )  -> 
( G  e.  Magma  -> 
( B G D )  e.  X ) )
327, 31mpan9 455 . . 3  |-  ( ( G  e.  ( SemiGrp  i^i 
Com1 )  /\  (
( A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( C  e.  X  /\  D  e.  X ) ) )  ->  ( B G D )  e.  X
)
338smgrpass2 25341 . . . 4  |-  ( ( G  e.  SemiGrp  /\  ( A  e.  X  /\  C  e.  X  /\  ( B G D )  e.  X ) )  ->  ( ( A G C ) G ( B G D ) )  =  ( A G ( C G ( B G D ) ) ) )
3433eqcomd 2288 . . 3  |-  ( ( G  e.  SemiGrp  /\  ( A  e.  X  /\  C  e.  X  /\  ( B G D )  e.  X ) )  ->  ( A G ( C G ( B G D ) ) )  =  ( ( A G C ) G ( B G D ) ) )
353, 4, 24, 32, 34syl13anc 1184 . 2  |-  ( ( G  e.  ( SemiGrp  i^i 
Com1 )  /\  (
( A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( C  e.  X  /\  D  e.  X ) ) )  ->  ( A G ( C G ( B G D ) ) )  =  ( ( A G C ) G ( B G D ) ) )
3616, 23, 353eqtrd 2319 1  |-  ( ( G  e.  ( SemiGrp  i^i 
Com1 )  /\  (
( A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( C  e.  X  /\  D  e.  X ) ) )  ->  ( ( A G B ) G ( C G D ) )  =  ( ( A G C ) G ( B G D ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    i^i cin 3151   dom cdm 4689  (class class class)co 5858   Magmacmagm 20985   SemiGrpcsem 20997   Com1ccm1 25331
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263  df-ov 5861  df-ass 20980  df-mgm 20986  df-sgr 20998  df-com1 25332
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