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Theorem resgcom 25454
Description: Rearrangement of four terms in a commutative, associative magma. (Contributed by FL, 14-Sep-2010.)
Hypothesis
Ref Expression
resgcom.1  |-  X  =  dom  dom  G
Assertion
Ref Expression
resgcom  |-  ( ( G  e.  ( SemiGrp  i^i 
Com1 )  /\  (
( A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( C  e.  X  /\  D  e.  X ) ) )  ->  ( ( A G B ) G ( C G D ) )  =  ( ( A G C ) G ( B G D ) ) )

Proof of Theorem resgcom
StepHypRef Expression
1 inss1 3402 . . . . 5  |-  ( SemiGrp  i^i 
Com1 )  C_  SemiGrp
21sseli 3189 . . . 4  |-  ( G  e.  ( SemiGrp  i^i  Com1 )  ->  G  e.  SemiGrp )
32adantr 451 . . 3  |-  ( ( G  e.  ( SemiGrp  i^i 
Com1 )  /\  (
( A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( C  e.  X  /\  D  e.  X ) ) )  ->  G  e.  SemiGrp )
4 simprll 738 . . 3  |-  ( ( G  e.  ( SemiGrp  i^i 
Com1 )  /\  (
( A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( C  e.  X  /\  D  e.  X ) ) )  ->  A  e.  X
)
5 simprlr 739 . . 3  |-  ( ( G  e.  ( SemiGrp  i^i 
Com1 )  /\  (
( A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( C  e.  X  /\  D  e.  X ) ) )  ->  B  e.  X
)
6 smgrpismgm 21015 . . . . 5  |-  ( G  e.  SemiGrp  ->  G  e.  Magma )
72, 6syl 15 . . . 4  |-  ( G  e.  ( SemiGrp  i^i  Com1 )  ->  G  e.  Magma )
8 resgcom.1 . . . . . . . . 9  |-  X  =  dom  dom  G
98clmgm 21004 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Magma  /\  C  e.  X  /\  D  e.  X )  ->  ( C G D )  e.  X )
1093exp 1150 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  Magma  ->  ( C  e.  X  ->  ( D  e.  X  ->  ( C G D )  e.  X ) ) )
1110com3l 75 . . . . . 6  |-  ( C  e.  X  ->  ( D  e.  X  ->  ( G  e.  Magma  ->  ( C G D )  e.  X ) ) )
1211imp 418 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  X  /\  D  e.  X )  ->  ( G  e.  Magma  -> 
( C G D )  e.  X ) )
1312adantl 452 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( C  e.  X  /\  D  e.  X ) )  -> 
( G  e.  Magma  -> 
( C G D )  e.  X ) )
147, 13mpan9 455 . . 3  |-  ( ( G  e.  ( SemiGrp  i^i 
Com1 )  /\  (
( A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( C  e.  X  /\  D  e.  X ) ) )  ->  ( C G D )  e.  X
)
158smgrpass2 25444 . . 3  |-  ( ( G  e.  SemiGrp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  ( C G D )  e.  X ) )  ->  ( ( A G B ) G ( C G D ) )  =  ( A G ( B G ( C G D ) ) ) )
163, 4, 5, 14, 15syl13anc 1184 . 2  |-  ( ( G  e.  ( SemiGrp  i^i 
Com1 )  /\  (
( A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( C  e.  X  /\  D  e.  X ) ) )  ->  ( ( A G B ) G ( C G D ) )  =  ( A G ( B G ( C G D ) ) ) )
17 simplr 731 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( C  e.  X  /\  D  e.  X ) )  ->  B  e.  X )
18 simprl 732 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( C  e.  X  /\  D  e.  X ) )  ->  C  e.  X )
19 simprr 733 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( C  e.  X  /\  D  e.  X ) )  ->  D  e.  X )
2017, 18, 193jca 1132 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( C  e.  X  /\  D  e.  X ) )  -> 
( B  e.  X  /\  C  e.  X  /\  D  e.  X
) )
218reacomsmgrp1 25446 . . . 4  |-  ( ( G  e.  ( SemiGrp  i^i 
Com1 )  /\  ( B  e.  X  /\  C  e.  X  /\  D  e.  X )
)  ->  ( B G ( C G D ) )  =  ( C G ( B G D ) ) )
2220, 21sylan2 460 . . 3  |-  ( ( G  e.  ( SemiGrp  i^i 
Com1 )  /\  (
( A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( C  e.  X  /\  D  e.  X ) ) )  ->  ( B G ( C G D ) )  =  ( C G ( B G D ) ) )
2322oveq2d 5890 . 2  |-  ( ( G  e.  ( SemiGrp  i^i 
Com1 )  /\  (
( A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( C  e.  X  /\  D  e.  X ) ) )  ->  ( A G ( B G ( C G D ) ) )  =  ( A G ( C G ( B G D ) ) ) )
24 simprrl 740 . . 3  |-  ( ( G  e.  ( SemiGrp  i^i 
Com1 )  /\  (
( A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( C  e.  X  /\  D  e.  X ) ) )  ->  C  e.  X
)
258clmgm 21004 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Magma  /\  B  e.  X  /\  D  e.  X )  ->  ( B G D )  e.  X )
26253exp 1150 . . . . . . . . 9  |-  ( G  e.  Magma  ->  ( B  e.  X  ->  ( D  e.  X  ->  ( B G D )  e.  X ) ) )
2726com13 74 . . . . . . . 8  |-  ( D  e.  X  ->  ( B  e.  X  ->  ( G  e.  Magma  ->  ( B G D )  e.  X ) ) )
2827adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  X  /\  D  e.  X )  ->  ( B  e.  X  ->  ( G  e.  Magma  -> 
( B G D )  e.  X ) ) )
2928com12 27 . . . . . 6  |-  ( B  e.  X  ->  (
( C  e.  X  /\  D  e.  X
)  ->  ( G  e.  Magma  ->  ( B G D )  e.  X
) ) )
3029adantl 452 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( ( C  e.  X  /\  D  e.  X )  ->  ( G  e.  Magma  ->  ( B G D )  e.  X ) ) )
3130imp 418 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( C  e.  X  /\  D  e.  X ) )  -> 
( G  e.  Magma  -> 
( B G D )  e.  X ) )
327, 31mpan9 455 . . 3  |-  ( ( G  e.  ( SemiGrp  i^i 
Com1 )  /\  (
( A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( C  e.  X  /\  D  e.  X ) ) )  ->  ( B G D )  e.  X
)
338smgrpass2 25444 . . . 4  |-  ( ( G  e.  SemiGrp  /\  ( A  e.  X  /\  C  e.  X  /\  ( B G D )  e.  X ) )  ->  ( ( A G C ) G ( B G D ) )  =  ( A G ( C G ( B G D ) ) ) )
3433eqcomd 2301 . . 3  |-  ( ( G  e.  SemiGrp  /\  ( A  e.  X  /\  C  e.  X  /\  ( B G D )  e.  X ) )  ->  ( A G ( C G ( B G D ) ) )  =  ( ( A G C ) G ( B G D ) ) )
353, 4, 24, 32, 34syl13anc 1184 . 2  |-  ( ( G  e.  ( SemiGrp  i^i 
Com1 )  /\  (
( A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( C  e.  X  /\  D  e.  X ) ) )  ->  ( A G ( C G ( B G D ) ) )  =  ( ( A G C ) G ( B G D ) ) )
3616, 23, 353eqtrd 2332 1  |-  ( ( G  e.  ( SemiGrp  i^i 
Com1 )  /\  (
( A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( C  e.  X  /\  D  e.  X ) ) )  ->  ( ( A G B ) G ( C G D ) )  =  ( ( A G C ) G ( B G D ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    i^i cin 3164   dom cdm 4705  (class class class)co 5874   Magmacmagm 21001   SemiGrpcsem 21013   Com1ccm1 25434
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-fv 5279  df-ov 5877  df-ass 20996  df-mgm 21002  df-sgr 21014  df-com1 25435
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