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Theorem resinf1o 19898
Description: The sine function is a bijection when restricted to its principal domain. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
resinf1o  |-  ( sin  |`  ( -u ( pi 
/  2 ) [,] ( pi  /  2
) ) ) : ( -u ( pi 
/  2 ) [,] ( pi  /  2
) ) -1-1-onto-> ( -u 1 [,] 1 )

Proof of Theorem resinf1o
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 recosf1o 19897 . . 3  |-  ( cos  |`  ( 0 [,] pi ) ) : ( 0 [,] pi ) -1-1-onto-> (
-u 1 [,] 1
)
2 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) )  |->  ( ( pi  /  2
)  -  x ) )  =  ( x  e.  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) )  |->  ( ( pi  /  2
)  -  x ) )
3 pire 19832 . . . . . . . . 9  |-  pi  e.  RR
4 rehalfcl 9938 . . . . . . . . 9  |-  ( pi  e.  RR  ->  (
pi  /  2 )  e.  RR )
53, 4ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( pi 
/  2 )  e.  RR
65renegcli 9108 . . . . . . . . . 10  |-  -u (
pi  /  2 )  e.  RR
7 iccssre 10731 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
-u ( pi  / 
2 )  e.  RR  /\  ( pi  /  2
)  e.  RR )  ->  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) )  C_  RR )
86, 5, 7mp2an 653 . . . . . . . . 9  |-  ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) ) 
C_  RR
98sseli 3176 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) )  ->  x  e.  RR )
10 resubcl 9111 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( pi  /  2
)  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( pi  / 
2 )  -  x
)  e.  RR )
115, 9, 10sylancr 644 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) )  -> 
( ( pi  / 
2 )  -  x
)  e.  RR )
126, 5elicc2i 10716 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) )  <->  ( x  e.  RR  /\  -u (
pi  /  2 )  <_  x  /\  x  <_  ( pi  /  2
) ) )
1312simp3bi 972 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) )  ->  x  <_  ( pi  / 
2 ) )
14 subge0 9287 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( pi  /  2
)  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( 0  <_  (
( pi  /  2
)  -  x )  <-> 
x  <_  ( pi  /  2 ) ) )
155, 9, 14sylancr 644 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) )  -> 
( 0  <_  (
( pi  /  2
)  -  x )  <-> 
x  <_  ( pi  /  2 ) ) )
1613, 15mpbird 223 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) )  -> 
0  <_  ( (
pi  /  2 )  -  x ) )
175recni 8849 . . . . . . . . . 10  |-  ( pi 
/  2 )  e.  CC
183recni 8849 . . . . . . . . . 10  |-  pi  e.  CC
1917negcli 9114 . . . . . . . . . 10  |-  -u (
pi  /  2 )  e.  CC
2018, 17negsubi 9124 . . . . . . . . . . 11  |-  ( pi  +  -u ( pi  / 
2 ) )  =  ( pi  -  (
pi  /  2 ) )
21 2halves 9940 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( pi  e.  CC  ->  (
( pi  /  2
)  +  ( pi 
/  2 ) )  =  pi )
2218, 21ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( pi  /  2 )  +  ( pi  / 
2 ) )  =  pi
2318, 17, 17, 22subaddrii 9135 . . . . . . . . . . 11  |-  ( pi 
-  ( pi  / 
2 ) )  =  ( pi  /  2
)
2420, 23eqtri 2303 . . . . . . . . . 10  |-  ( pi  +  -u ( pi  / 
2 ) )  =  ( pi  /  2
)
2517, 18, 19, 24subaddrii 9135 . . . . . . . . 9  |-  ( ( pi  /  2 )  -  pi )  = 
-u ( pi  / 
2 )
2612simp2bi 971 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) )  ->  -u ( pi  /  2
)  <_  x )
2725, 26syl5eqbr 4056 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) )  -> 
( ( pi  / 
2 )  -  pi )  <_  x )
28 suble 9252 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( pi  /  2
)  e.  RR  /\  pi  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  (
( ( pi  / 
2 )  -  pi )  <_  x  <->  ( (
pi  /  2 )  -  x )  <_  pi ) )
295, 3, 28mp3an12 1267 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( ( pi  / 
2 )  -  pi )  <_  x  <->  ( (
pi  /  2 )  -  x )  <_  pi ) )
309, 29syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) )  -> 
( ( ( pi 
/  2 )  -  pi )  <_  x  <->  ( (
pi  /  2 )  -  x )  <_  pi ) )
3127, 30mpbid 201 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) )  -> 
( ( pi  / 
2 )  -  x
)  <_  pi )
32 0re 8838 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
3332, 3elicc2i 10716 . . . . . . 7  |-  ( ( ( pi  /  2
)  -  x )  e.  ( 0 [,] pi )  <->  ( (
( pi  /  2
)  -  x )  e.  RR  /\  0  <_  ( ( pi  / 
2 )  -  x
)  /\  ( (
pi  /  2 )  -  x )  <_  pi ) )
3411, 16, 31, 33syl3anbrc 1136 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) )  -> 
( ( pi  / 
2 )  -  x
)  e.  ( 0 [,] pi ) )
3534adantl 452 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) [,] ( pi  /  2
) ) )  -> 
( ( pi  / 
2 )  -  x
)  e.  ( 0 [,] pi ) )
3632, 3elicc2i 10716 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( 0 [,] pi )  <->  ( y  e.  RR  /\  0  <_ 
y  /\  y  <_  pi ) )
3736simp1bi 970 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( 0 [,] pi )  ->  y  e.  RR )
38 resubcl 9111 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( pi  /  2
)  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( pi  / 
2 )  -  y
)  e.  RR )
395, 37, 38sylancr 644 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( 0 [,] pi )  ->  (
( pi  /  2
)  -  y )  e.  RR )
4036simp3bi 972 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( 0 [,] pi )  ->  y  <_  pi )
4117, 17subnegi 9125 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( pi  /  2 )  -  -u ( pi  / 
2 ) )  =  ( ( pi  / 
2 )  +  ( pi  /  2 ) )
4241, 22eqtri 2303 . . . . . . . . 9  |-  ( ( pi  /  2 )  -  -u ( pi  / 
2 ) )  =  pi
4340, 42syl6breqr 4063 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( 0 [,] pi )  ->  y  <_  ( ( pi  / 
2 )  -  -u (
pi  /  2 ) ) )
44 lesub 9253 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  RR  /\  ( pi  /  2
)  e.  RR  /\  -u ( pi  /  2
)  e.  RR )  ->  ( y  <_ 
( ( pi  / 
2 )  -  -u (
pi  /  2 ) )  <->  -u ( pi  / 
2 )  <_  (
( pi  /  2
)  -  y ) ) )
455, 6, 44mp3an23 1269 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR  ->  (
y  <_  ( (
pi  /  2 )  -  -u ( pi  / 
2 ) )  <->  -u ( pi 
/  2 )  <_ 
( ( pi  / 
2 )  -  y
) ) )
4637, 45syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( 0 [,] pi )  ->  (
y  <_  ( (
pi  /  2 )  -  -u ( pi  / 
2 ) )  <->  -u ( pi 
/  2 )  <_ 
( ( pi  / 
2 )  -  y
) ) )
4743, 46mpbid 201 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( 0 [,] pi )  ->  -u (
pi  /  2 )  <_  ( ( pi 
/  2 )  -  y ) )
4817subidi 9117 . . . . . . . . 9  |-  ( ( pi  /  2 )  -  ( pi  / 
2 ) )  =  0
4936simp2bi 971 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( 0 [,] pi )  ->  0  <_  y )
5048, 49syl5eqbr 4056 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( 0 [,] pi )  ->  (
( pi  /  2
)  -  ( pi 
/  2 ) )  <_  y )
51 suble 9252 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( pi  /  2
)  e.  RR  /\  ( pi  /  2
)  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( ( pi 
/  2 )  -  ( pi  /  2
) )  <_  y  <->  ( ( pi  /  2
)  -  y )  <_  ( pi  / 
2 ) ) )
525, 5, 51mp3an12 1267 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR  ->  (
( ( pi  / 
2 )  -  (
pi  /  2 ) )  <_  y  <->  ( (
pi  /  2 )  -  y )  <_ 
( pi  /  2
) ) )
5337, 52syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( 0 [,] pi )  ->  (
( ( pi  / 
2 )  -  (
pi  /  2 ) )  <_  y  <->  ( (
pi  /  2 )  -  y )  <_ 
( pi  /  2
) ) )
5450, 53mpbid 201 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( 0 [,] pi )  ->  (
( pi  /  2
)  -  y )  <_  ( pi  / 
2 ) )
556, 5elicc2i 10716 . . . . . . 7  |-  ( ( ( pi  /  2
)  -  y )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) )  <->  ( (
( pi  /  2
)  -  y )  e.  RR  /\  -u (
pi  /  2 )  <_  ( ( pi 
/  2 )  -  y )  /\  (
( pi  /  2
)  -  y )  <_  ( pi  / 
2 ) ) )
5639, 47, 54, 55syl3anbrc 1136 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( 0 [,] pi )  ->  (
( pi  /  2
)  -  y )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) ) )
5756adantl 452 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  y  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  (
( pi  /  2
)  -  y )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) ) )
58 iccssre 10731 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  -> 
( 0 [,] pi )  C_  RR )
5932, 3, 58mp2an 653 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0 [,] pi )  C_  RR
60 ax-resscn 8794 . . . . . . . . . 10  |-  RR  C_  CC
6159, 60sstri 3188 . . . . . . . . 9  |-  ( 0 [,] pi )  C_  CC
6261sseli 3176 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( 0 [,] pi )  ->  y  e.  CC )
638, 60sstri 3188 . . . . . . . . 9  |-  ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) ) 
C_  CC
6463sseli 3176 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) )  ->  x  e.  CC )
65 subsub23 9056 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( pi  /  2
)  e.  CC  /\  y  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  (
( ( pi  / 
2 )  -  y
)  =  x  <->  ( (
pi  /  2 )  -  x )  =  y ) )
6617, 65mp3an1 1264 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( ( ( pi 
/  2 )  -  y )  =  x  <-> 
( ( pi  / 
2 )  -  x
)  =  y ) )
6762, 64, 66syl2anr 464 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) )  /\  y  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  ( (
( pi  /  2
)  -  y )  =  x  <->  ( (
pi  /  2 )  -  x )  =  y ) )
6867adantl 452 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) )  /\  y  e.  ( 0 [,] pi ) ) )  ->  ( (
( pi  /  2
)  -  y )  =  x  <->  ( (
pi  /  2 )  -  x )  =  y ) )
69 eqcom 2285 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( ( pi 
/  2 )  -  y )  <->  ( (
pi  /  2 )  -  y )  =  x )
70 eqcom 2285 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( ( pi 
/  2 )  -  x )  <->  ( (
pi  /  2 )  -  x )  =  y )
7168, 69, 703bitr4g 279 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) )  /\  y  e.  ( 0 [,] pi ) ) )  ->  ( x  =  ( ( pi 
/  2 )  -  y )  <->  y  =  ( ( pi  / 
2 )  -  x
) ) )
722, 35, 57, 71f1o2d 6069 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) [,] (
pi  /  2 ) )  |->  ( ( pi 
/  2 )  -  x ) ) : ( -u ( pi 
/  2 ) [,] ( pi  /  2
) ) -1-1-onto-> ( 0 [,] pi ) )
7372trud 1314 . . 3  |-  ( x  e.  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) )  |->  ( ( pi  /  2
)  -  x ) ) : ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) ) -1-1-onto-> ( 0 [,] pi )
74 f1oco 5496 . . 3  |-  ( ( ( cos  |`  (
0 [,] pi ) ) : ( 0 [,] pi ) -1-1-onto-> ( -u
1 [,] 1 )  /\  ( x  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) [,] ( pi  /  2
) )  |->  ( ( pi  /  2 )  -  x ) ) : ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) ) -1-1-onto-> ( 0 [,] pi ) )  ->  ( ( cos  |`  ( 0 [,] pi ) )  o.  (
x  e.  ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) ) 
|->  ( ( pi  / 
2 )  -  x
) ) ) : ( -u ( pi 
/  2 ) [,] ( pi  /  2
) ) -1-1-onto-> ( -u 1 [,] 1 ) )
751, 73, 74mp2an 653 . 2  |-  ( ( cos  |`  ( 0 [,] pi ) )  o.  ( x  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) [,] ( pi  /  2
) )  |->  ( ( pi  /  2 )  -  x ) ) ) : ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) ) -1-1-onto-> (
-u 1 [,] 1
)
76 cosf 12405 . . . . . . . 8  |-  cos : CC
--> CC
77 ffn 5389 . . . . . . . 8  |-  ( cos
: CC --> CC  ->  cos 
Fn  CC )
7876, 77ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  cos  Fn  CC
79 fnssres 5357 . . . . . . 7  |-  ( ( cos  Fn  CC  /\  ( 0 [,] pi )  C_  CC )  -> 
( cos  |`  ( 0 [,] pi ) )  Fn  ( 0 [,] pi ) )
8078, 61, 79mp2an 653 . . . . . 6  |-  ( cos  |`  ( 0 [,] pi ) )  Fn  (
0 [,] pi )
81 f1of 5472 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) ) 
|->  ( ( pi  / 
2 )  -  x
) ) : (
-u ( pi  / 
2 ) [,] (
pi  /  2 ) ) -1-1-onto-> ( 0 [,] pi )  ->  ( x  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) [,] ( pi  /  2
) )  |->  ( ( pi  /  2 )  -  x ) ) : ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) ) --> ( 0 [,] pi ) )
8273, 81ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) )  |->  ( ( pi  /  2
)  -  x ) ) : ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) ) --> ( 0 [,] pi )
83 fnfco 5407 . . . . . 6  |-  ( ( ( cos  |`  (
0 [,] pi ) )  Fn  ( 0 [,] pi )  /\  ( x  e.  ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) ) 
|->  ( ( pi  / 
2 )  -  x
) ) : (
-u ( pi  / 
2 ) [,] (
pi  /  2 ) ) --> ( 0 [,] pi ) )  -> 
( ( cos  |`  (
0 [,] pi ) )  o.  ( x  e.  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) )  |->  ( ( pi  /  2
)  -  x ) ) )  Fn  ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) ) )
8480, 82, 83mp2an 653 . . . . 5  |-  ( ( cos  |`  ( 0 [,] pi ) )  o.  ( x  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) [,] ( pi  /  2
) )  |->  ( ( pi  /  2 )  -  x ) ) )  Fn  ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) )
85 sinf 12404 . . . . . . 7  |-  sin : CC
--> CC
86 ffn 5389 . . . . . . 7  |-  ( sin
: CC --> CC  ->  sin 
Fn  CC )
8785, 86ax-mp 8 . . . . . 6  |-  sin  Fn  CC
88 fnssres 5357 . . . . . 6  |-  ( ( sin  Fn  CC  /\  ( -u ( pi  / 
2 ) [,] (
pi  /  2 ) )  C_  CC )  ->  ( sin  |`  ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) ) )  Fn  ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) ) )
8987, 63, 88mp2an 653 . . . . 5  |-  ( sin  |`  ( -u ( pi 
/  2 ) [,] ( pi  /  2
) ) )  Fn  ( -u ( pi 
/  2 ) [,] ( pi  /  2
) )
90 eqfnfv 5622 . . . . 5  |-  ( ( ( ( cos  |`  (
0 [,] pi ) )  o.  ( x  e.  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) )  |->  ( ( pi  /  2
)  -  x ) ) )  Fn  ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) )  /\  ( sin  |`  ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) ) )  Fn  ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) ) )  ->  ( (
( cos  |`  ( 0 [,] pi ) )  o.  ( x  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) [,] ( pi  /  2
) )  |->  ( ( pi  /  2 )  -  x ) ) )  =  ( sin  |`  ( -u ( pi 
/  2 ) [,] ( pi  /  2
) ) )  <->  A. y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) [,] ( pi  /  2
) ) ( ( ( cos  |`  (
0 [,] pi ) )  o.  ( x  e.  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) )  |->  ( ( pi  /  2
)  -  x ) ) ) `  y
)  =  ( ( sin  |`  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) ) ) `
 y ) ) )
9184, 89, 90mp2an 653 . . . 4  |-  ( ( ( cos  |`  (
0 [,] pi ) )  o.  ( x  e.  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) )  |->  ( ( pi  /  2
)  -  x ) ) )  =  ( sin  |`  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) ) )  <->  A. y  e.  ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) ) ( ( ( cos  |`  ( 0 [,] pi ) )  o.  (
x  e.  ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) ) 
|->  ( ( pi  / 
2 )  -  x
) ) ) `  y )  =  ( ( sin  |`  ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) ) ) `  y ) )
9282ffvelrni 5664 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) )  -> 
( ( x  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) [,] ( pi  /  2
) )  |->  ( ( pi  /  2 )  -  x ) ) `
 y )  e.  ( 0 [,] pi ) )
93 fvres 5542 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) [,] (
pi  /  2 ) )  |->  ( ( pi 
/  2 )  -  x ) ) `  y )  e.  ( 0 [,] pi )  ->  ( ( cos  |`  ( 0 [,] pi ) ) `  (
( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) [,] (
pi  /  2 ) )  |->  ( ( pi 
/  2 )  -  x ) ) `  y ) )  =  ( cos `  (
( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) [,] (
pi  /  2 ) )  |->  ( ( pi 
/  2 )  -  x ) ) `  y ) ) )
9492, 93syl 15 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) )  -> 
( ( cos  |`  (
0 [,] pi ) ) `  ( ( x  e.  ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) ) 
|->  ( ( pi  / 
2 )  -  x
) ) `  y
) )  =  ( cos `  ( ( x  e.  ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) ) 
|->  ( ( pi  / 
2 )  -  x
) ) `  y
) ) )
95 oveq2 5866 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
( pi  /  2
)  -  x )  =  ( ( pi 
/  2 )  -  y ) )
96 ovex 5883 . . . . . . . 8  |-  ( ( pi  /  2 )  -  y )  e. 
_V
9795, 2, 96fvmpt 5602 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) )  -> 
( ( x  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) [,] ( pi  /  2
) )  |->  ( ( pi  /  2 )  -  x ) ) `
 y )  =  ( ( pi  / 
2 )  -  y
) )
9897fveq2d 5529 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) )  -> 
( cos `  (
( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) [,] (
pi  /  2 ) )  |->  ( ( pi 
/  2 )  -  x ) ) `  y ) )  =  ( cos `  (
( pi  /  2
)  -  y ) ) )
9963sseli 3176 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) )  -> 
y  e.  CC )
100 coshalfpim 19863 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  CC  ->  ( cos `  ( ( pi 
/  2 )  -  y ) )  =  ( sin `  y
) )
10199, 100syl 15 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) )  -> 
( cos `  (
( pi  /  2
)  -  y ) )  =  ( sin `  y ) )
10294, 98, 1013eqtrd 2319 . . . . 5  |-  ( y  e.  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) )  -> 
( ( cos  |`  (
0 [,] pi ) ) `  ( ( x  e.  ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) ) 
|->  ( ( pi  / 
2 )  -  x
) ) `  y
) )  =  ( sin `  y ) )
103 fvco3 5596 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) [,] (
pi  /  2 ) )  |->  ( ( pi 
/  2 )  -  x ) ) : ( -u ( pi 
/  2 ) [,] ( pi  /  2
) ) --> ( 0 [,] pi )  /\  y  e.  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( ( cos  |`  ( 0 [,] pi ) )  o.  ( x  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) [,] ( pi  /  2
) )  |->  ( ( pi  /  2 )  -  x ) ) ) `  y )  =  ( ( cos  |`  ( 0 [,] pi ) ) `  (
( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) [,] (
pi  /  2 ) )  |->  ( ( pi 
/  2 )  -  x ) ) `  y ) ) )
10482, 103mpan 651 . . . . 5  |-  ( y  e.  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) )  -> 
( ( ( cos  |`  ( 0 [,] pi ) )  o.  (
x  e.  ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) ) 
|->  ( ( pi  / 
2 )  -  x
) ) ) `  y )  =  ( ( cos  |`  (
0 [,] pi ) ) `  ( ( x  e.  ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) ) 
|->  ( ( pi  / 
2 )  -  x
) ) `  y
) ) )
105 fvres 5542 . . . . 5  |-  ( y  e.  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) )  -> 
( ( sin  |`  ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) ) ) `  y )  =  ( sin `  y
) )
106102, 104, 1053eqtr4d 2325 . . . 4  |-  ( y  e.  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) )  -> 
( ( ( cos  |`  ( 0 [,] pi ) )  o.  (
x  e.  ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) ) 
|->  ( ( pi  / 
2 )  -  x
) ) ) `  y )  =  ( ( sin  |`  ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) ) ) `  y ) )
10791, 106mprgbir 2613 . . 3  |-  ( ( cos  |`  ( 0 [,] pi ) )  o.  ( x  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) [,] ( pi  /  2
) )  |->  ( ( pi  /  2 )  -  x ) ) )  =  ( sin  |`  ( -u ( pi 
/  2 ) [,] ( pi  /  2
) ) )
108 f1oeq1 5463 . . 3  |-  ( ( ( cos  |`  (
0 [,] pi ) )  o.  ( x  e.  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) )  |->  ( ( pi  /  2
)  -  x ) ) )  =  ( sin  |`  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( ( cos  |`  ( 0 [,] pi ) )  o.  ( x  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) [,] ( pi  /  2
) )  |->  ( ( pi  /  2 )  -  x ) ) ) : ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) ) -1-1-onto-> (
-u 1 [,] 1
)  <->  ( sin  |`  ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) ) ) : ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) ) -1-1-onto-> (
-u 1 [,] 1
) ) )
109107, 108ax-mp 8 . 2  |-  ( ( ( cos  |`  (
0 [,] pi ) )  o.  ( x  e.  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) )  |->  ( ( pi  /  2
)  -  x ) ) ) : (
-u ( pi  / 
2 ) [,] (
pi  /  2 ) ) -1-1-onto-> ( -u 1 [,] 1 )  <->  ( sin  |`  ( -u ( pi 
/  2 ) [,] ( pi  /  2
) ) ) : ( -u ( pi 
/  2 ) [,] ( pi  /  2
) ) -1-1-onto-> ( -u 1 [,] 1 ) )
11075, 109mpbi 199 1  |-  ( sin  |`  ( -u ( pi 
/  2 ) [,] ( pi  /  2
) ) ) : ( -u ( pi 
/  2 ) [,] ( pi  /  2
) ) -1-1-onto-> ( -u 1 [,] 1 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    /\ wa 358    T. wtru 1307    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543    C_ wss 3152   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077    |` cres 4691    o. ccom 4693    Fn wfn 5250   -->wf 5251   -1-1-onto->wf1o 5254   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    <_ cle 8868    - cmin 9037   -ucneg 9038    / cdiv 9423   2c2 9795   [,]cicc 10659   sincsin 12345   cosccos 12346   picpi 12348
This theorem is referenced by:  efif1olem4  19907  asinrebnd  20197
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-ioc 10661  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-seq 11047  df-exp 11105  df-fac 11289  df-bc 11316  df-hash 11338  df-shft 11562  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-limsup 11945  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-ef 12349  df-sin 12351  df-cos 12352  df-pi 12354  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-nei 16835  df-lp 16868  df-perf 16869  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-haus 17043  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887  df-cncf 18382  df-limc 19216  df-dv 19217
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