MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  resinf1o Unicode version

Theorem resinf1o 19951
Description: The sine function is a bijection when restricted to its principal domain. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
resinf1o  |-  ( sin  |`  ( -u ( pi 
/  2 ) [,] ( pi  /  2
) ) ) : ( -u ( pi 
/  2 ) [,] ( pi  /  2
) ) -1-1-onto-> ( -u 1 [,] 1 )

Proof of Theorem resinf1o
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 recosf1o 19950 . . 3  |-  ( cos  |`  ( 0 [,] pi ) ) : ( 0 [,] pi ) -1-1-onto-> (
-u 1 [,] 1
)
2 eqid 2316 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) )  |->  ( ( pi  /  2
)  -  x ) )  =  ( x  e.  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) )  |->  ( ( pi  /  2
)  -  x ) )
3 pire 19885 . . . . . . . . 9  |-  pi  e.  RR
4 rehalfcl 9985 . . . . . . . . 9  |-  ( pi  e.  RR  ->  (
pi  /  2 )  e.  RR )
53, 4ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( pi 
/  2 )  e.  RR
65renegcli 9153 . . . . . . . . . 10  |-  -u (
pi  /  2 )  e.  RR
7 iccssre 10778 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
-u ( pi  / 
2 )  e.  RR  /\  ( pi  /  2
)  e.  RR )  ->  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) )  C_  RR )
86, 5, 7mp2an 653 . . . . . . . . 9  |-  ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) ) 
C_  RR
98sseli 3210 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) )  ->  x  e.  RR )
10 resubcl 9156 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( pi  /  2
)  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( pi  / 
2 )  -  x
)  e.  RR )
115, 9, 10sylancr 644 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) )  -> 
( ( pi  / 
2 )  -  x
)  e.  RR )
126, 5elicc2i 10763 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) )  <->  ( x  e.  RR  /\  -u (
pi  /  2 )  <_  x  /\  x  <_  ( pi  /  2
) ) )
1312simp3bi 972 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) )  ->  x  <_  ( pi  / 
2 ) )
14 subge0 9332 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( pi  /  2
)  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( 0  <_  (
( pi  /  2
)  -  x )  <-> 
x  <_  ( pi  /  2 ) ) )
155, 9, 14sylancr 644 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) )  -> 
( 0  <_  (
( pi  /  2
)  -  x )  <-> 
x  <_  ( pi  /  2 ) ) )
1613, 15mpbird 223 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) )  -> 
0  <_  ( (
pi  /  2 )  -  x ) )
175recni 8894 . . . . . . . . . 10  |-  ( pi 
/  2 )  e.  CC
183recni 8894 . . . . . . . . . 10  |-  pi  e.  CC
1917negcli 9159 . . . . . . . . . 10  |-  -u (
pi  /  2 )  e.  CC
2018, 17negsubi 9169 . . . . . . . . . . 11  |-  ( pi  +  -u ( pi  / 
2 ) )  =  ( pi  -  (
pi  /  2 ) )
21 2halves 9987 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( pi  e.  CC  ->  (
( pi  /  2
)  +  ( pi 
/  2 ) )  =  pi )
2218, 21ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( pi  /  2 )  +  ( pi  / 
2 ) )  =  pi
2318, 17, 17, 22subaddrii 9180 . . . . . . . . . . 11  |-  ( pi 
-  ( pi  / 
2 ) )  =  ( pi  /  2
)
2420, 23eqtri 2336 . . . . . . . . . 10  |-  ( pi  +  -u ( pi  / 
2 ) )  =  ( pi  /  2
)
2517, 18, 19, 24subaddrii 9180 . . . . . . . . 9  |-  ( ( pi  /  2 )  -  pi )  = 
-u ( pi  / 
2 )
2612simp2bi 971 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) )  ->  -u ( pi  /  2
)  <_  x )
2725, 26syl5eqbr 4093 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) )  -> 
( ( pi  / 
2 )  -  pi )  <_  x )
28 suble 9297 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( pi  /  2
)  e.  RR  /\  pi  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  (
( ( pi  / 
2 )  -  pi )  <_  x  <->  ( (
pi  /  2 )  -  x )  <_  pi ) )
295, 3, 28mp3an12 1267 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( ( pi  / 
2 )  -  pi )  <_  x  <->  ( (
pi  /  2 )  -  x )  <_  pi ) )
309, 29syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) )  -> 
( ( ( pi 
/  2 )  -  pi )  <_  x  <->  ( (
pi  /  2 )  -  x )  <_  pi ) )
3127, 30mpbid 201 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) )  -> 
( ( pi  / 
2 )  -  x
)  <_  pi )
32 0re 8883 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
3332, 3elicc2i 10763 . . . . . . 7  |-  ( ( ( pi  /  2
)  -  x )  e.  ( 0 [,] pi )  <->  ( (
( pi  /  2
)  -  x )  e.  RR  /\  0  <_  ( ( pi  / 
2 )  -  x
)  /\  ( (
pi  /  2 )  -  x )  <_  pi ) )
3411, 16, 31, 33syl3anbrc 1136 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) )  -> 
( ( pi  / 
2 )  -  x
)  e.  ( 0 [,] pi ) )
3534adantl 452 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) [,] ( pi  /  2
) ) )  -> 
( ( pi  / 
2 )  -  x
)  e.  ( 0 [,] pi ) )
3632, 3elicc2i 10763 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( 0 [,] pi )  <->  ( y  e.  RR  /\  0  <_ 
y  /\  y  <_  pi ) )
3736simp1bi 970 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( 0 [,] pi )  ->  y  e.  RR )
38 resubcl 9156 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( pi  /  2
)  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( pi  / 
2 )  -  y
)  e.  RR )
395, 37, 38sylancr 644 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( 0 [,] pi )  ->  (
( pi  /  2
)  -  y )  e.  RR )
4036simp3bi 972 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( 0 [,] pi )  ->  y  <_  pi )
4117, 17subnegi 9170 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( pi  /  2 )  -  -u ( pi  / 
2 ) )  =  ( ( pi  / 
2 )  +  ( pi  /  2 ) )
4241, 22eqtri 2336 . . . . . . . . 9  |-  ( ( pi  /  2 )  -  -u ( pi  / 
2 ) )  =  pi
4340, 42syl6breqr 4100 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( 0 [,] pi )  ->  y  <_  ( ( pi  / 
2 )  -  -u (
pi  /  2 ) ) )
44 lesub 9298 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  RR  /\  ( pi  /  2
)  e.  RR  /\  -u ( pi  /  2
)  e.  RR )  ->  ( y  <_ 
( ( pi  / 
2 )  -  -u (
pi  /  2 ) )  <->  -u ( pi  / 
2 )  <_  (
( pi  /  2
)  -  y ) ) )
455, 6, 44mp3an23 1269 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR  ->  (
y  <_  ( (
pi  /  2 )  -  -u ( pi  / 
2 ) )  <->  -u ( pi 
/  2 )  <_ 
( ( pi  / 
2 )  -  y
) ) )
4637, 45syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( 0 [,] pi )  ->  (
y  <_  ( (
pi  /  2 )  -  -u ( pi  / 
2 ) )  <->  -u ( pi 
/  2 )  <_ 
( ( pi  / 
2 )  -  y
) ) )
4743, 46mpbid 201 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( 0 [,] pi )  ->  -u (
pi  /  2 )  <_  ( ( pi 
/  2 )  -  y ) )
4817subidi 9162 . . . . . . . . 9  |-  ( ( pi  /  2 )  -  ( pi  / 
2 ) )  =  0
4936simp2bi 971 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( 0 [,] pi )  ->  0  <_  y )
5048, 49syl5eqbr 4093 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( 0 [,] pi )  ->  (
( pi  /  2
)  -  ( pi 
/  2 ) )  <_  y )
51 suble 9297 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( pi  /  2
)  e.  RR  /\  ( pi  /  2
)  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( ( pi 
/  2 )  -  ( pi  /  2
) )  <_  y  <->  ( ( pi  /  2
)  -  y )  <_  ( pi  / 
2 ) ) )
525, 5, 51mp3an12 1267 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR  ->  (
( ( pi  / 
2 )  -  (
pi  /  2 ) )  <_  y  <->  ( (
pi  /  2 )  -  y )  <_ 
( pi  /  2
) ) )
5337, 52syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( 0 [,] pi )  ->  (
( ( pi  / 
2 )  -  (
pi  /  2 ) )  <_  y  <->  ( (
pi  /  2 )  -  y )  <_ 
( pi  /  2
) ) )
5450, 53mpbid 201 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( 0 [,] pi )  ->  (
( pi  /  2
)  -  y )  <_  ( pi  / 
2 ) )
556, 5elicc2i 10763 . . . . . . 7  |-  ( ( ( pi  /  2
)  -  y )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) )  <->  ( (
( pi  /  2
)  -  y )  e.  RR  /\  -u (
pi  /  2 )  <_  ( ( pi 
/  2 )  -  y )  /\  (
( pi  /  2
)  -  y )  <_  ( pi  / 
2 ) ) )
5639, 47, 54, 55syl3anbrc 1136 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( 0 [,] pi )  ->  (
( pi  /  2
)  -  y )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) ) )
5756adantl 452 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  y  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  (
( pi  /  2
)  -  y )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) ) )
58 iccssre 10778 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  -> 
( 0 [,] pi )  C_  RR )
5932, 3, 58mp2an 653 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0 [,] pi )  C_  RR
60 ax-resscn 8839 . . . . . . . . . 10  |-  RR  C_  CC
6159, 60sstri 3222 . . . . . . . . 9  |-  ( 0 [,] pi )  C_  CC
6261sseli 3210 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( 0 [,] pi )  ->  y  e.  CC )
638, 60sstri 3222 . . . . . . . . 9  |-  ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) ) 
C_  CC
6463sseli 3210 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) )  ->  x  e.  CC )
65 subsub23 9101 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( pi  /  2
)  e.  CC  /\  y  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  (
( ( pi  / 
2 )  -  y
)  =  x  <->  ( (
pi  /  2 )  -  x )  =  y ) )
6617, 65mp3an1 1264 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( ( ( pi 
/  2 )  -  y )  =  x  <-> 
( ( pi  / 
2 )  -  x
)  =  y ) )
6762, 64, 66syl2anr 464 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) )  /\  y  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  ( (
( pi  /  2
)  -  y )  =  x  <->  ( (
pi  /  2 )  -  x )  =  y ) )
6867adantl 452 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) )  /\  y  e.  ( 0 [,] pi ) ) )  ->  ( (
( pi  /  2
)  -  y )  =  x  <->  ( (
pi  /  2 )  -  x )  =  y ) )
69 eqcom 2318 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( ( pi 
/  2 )  -  y )  <->  ( (
pi  /  2 )  -  y )  =  x )
70 eqcom 2318 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( ( pi 
/  2 )  -  x )  <->  ( (
pi  /  2 )  -  x )  =  y )
7168, 69, 703bitr4g 279 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) )  /\  y  e.  ( 0 [,] pi ) ) )  ->  ( x  =  ( ( pi 
/  2 )  -  y )  <->  y  =  ( ( pi  / 
2 )  -  x
) ) )
722, 35, 57, 71f1o2d 6111 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) [,] (
pi  /  2 ) )  |->  ( ( pi 
/  2 )  -  x ) ) : ( -u ( pi 
/  2 ) [,] ( pi  /  2
) ) -1-1-onto-> ( 0 [,] pi ) )
7372trud 1314 . . 3  |-  ( x  e.  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) )  |->  ( ( pi  /  2
)  -  x ) ) : ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) ) -1-1-onto-> ( 0 [,] pi )
74 f1oco 5534 . . 3  |-  ( ( ( cos  |`  (
0 [,] pi ) ) : ( 0 [,] pi ) -1-1-onto-> ( -u
1 [,] 1 )  /\  ( x  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) [,] ( pi  /  2
) )  |->  ( ( pi  /  2 )  -  x ) ) : ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) ) -1-1-onto-> ( 0 [,] pi ) )  ->  ( ( cos  |`  ( 0 [,] pi ) )  o.  (
x  e.  ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) ) 
|->  ( ( pi  / 
2 )  -  x
) ) ) : ( -u ( pi 
/  2 ) [,] ( pi  /  2
) ) -1-1-onto-> ( -u 1 [,] 1 ) )
751, 73, 74mp2an 653 . 2  |-  ( ( cos  |`  ( 0 [,] pi ) )  o.  ( x  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) [,] ( pi  /  2
) )  |->  ( ( pi  /  2 )  -  x ) ) ) : ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) ) -1-1-onto-> (
-u 1 [,] 1
)
76 cosf 12452 . . . . . . . 8  |-  cos : CC
--> CC
77 ffn 5427 . . . . . . . 8  |-  ( cos
: CC --> CC  ->  cos 
Fn  CC )
7876, 77ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  cos  Fn  CC
79 fnssres 5394 . . . . . . 7  |-  ( ( cos  Fn  CC  /\  ( 0 [,] pi )  C_  CC )  -> 
( cos  |`  ( 0 [,] pi ) )  Fn  ( 0 [,] pi ) )
8078, 61, 79mp2an 653 . . . . . 6  |-  ( cos  |`  ( 0 [,] pi ) )  Fn  (
0 [,] pi )
81 f1of 5510 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) ) 
|->  ( ( pi  / 
2 )  -  x
) ) : (
-u ( pi  / 
2 ) [,] (
pi  /  2 ) ) -1-1-onto-> ( 0 [,] pi )  ->  ( x  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) [,] ( pi  /  2
) )  |->  ( ( pi  /  2 )  -  x ) ) : ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) ) --> ( 0 [,] pi ) )
8273, 81ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) )  |->  ( ( pi  /  2
)  -  x ) ) : ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) ) --> ( 0 [,] pi )
83 fnfco 5445 . . . . . 6  |-  ( ( ( cos  |`  (
0 [,] pi ) )  Fn  ( 0 [,] pi )  /\  ( x  e.  ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) ) 
|->  ( ( pi  / 
2 )  -  x
) ) : (
-u ( pi  / 
2 ) [,] (
pi  /  2 ) ) --> ( 0 [,] pi ) )  -> 
( ( cos  |`  (
0 [,] pi ) )  o.  ( x  e.  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) )  |->  ( ( pi  /  2
)  -  x ) ) )  Fn  ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) ) )
8480, 82, 83mp2an 653 . . . . 5  |-  ( ( cos  |`  ( 0 [,] pi ) )  o.  ( x  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) [,] ( pi  /  2
) )  |->  ( ( pi  /  2 )  -  x ) ) )  Fn  ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) )
85 sinf 12451 . . . . . . 7  |-  sin : CC
--> CC
86 ffn 5427 . . . . . . 7  |-  ( sin
: CC --> CC  ->  sin 
Fn  CC )
8785, 86ax-mp 8 . . . . . 6  |-  sin  Fn  CC
88 fnssres 5394 . . . . . 6  |-  ( ( sin  Fn  CC  /\  ( -u ( pi  / 
2 ) [,] (
pi  /  2 ) )  C_  CC )  ->  ( sin  |`  ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) ) )  Fn  ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) ) )
8987, 63, 88mp2an 653 . . . . 5  |-  ( sin  |`  ( -u ( pi 
/  2 ) [,] ( pi  /  2
) ) )  Fn  ( -u ( pi 
/  2 ) [,] ( pi  /  2
) )
90 eqfnfv 5660 . . . . 5  |-  ( ( ( ( cos  |`  (
0 [,] pi ) )  o.  ( x  e.  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) )  |->  ( ( pi  /  2
)  -  x ) ) )  Fn  ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) )  /\  ( sin  |`  ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) ) )  Fn  ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) ) )  ->  ( (
( cos  |`  ( 0 [,] pi ) )  o.  ( x  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) [,] ( pi  /  2
) )  |->  ( ( pi  /  2 )  -  x ) ) )  =  ( sin  |`  ( -u ( pi 
/  2 ) [,] ( pi  /  2
) ) )  <->  A. y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) [,] ( pi  /  2
) ) ( ( ( cos  |`  (
0 [,] pi ) )  o.  ( x  e.  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) )  |->  ( ( pi  /  2
)  -  x ) ) ) `  y
)  =  ( ( sin  |`  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) ) ) `
 y ) ) )
9184, 89, 90mp2an 653 . . . 4  |-  ( ( ( cos  |`  (
0 [,] pi ) )  o.  ( x  e.  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) )  |->  ( ( pi  /  2
)  -  x ) ) )  =  ( sin  |`  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) ) )  <->  A. y  e.  ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) ) ( ( ( cos  |`  ( 0 [,] pi ) )  o.  (
x  e.  ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) ) 
|->  ( ( pi  / 
2 )  -  x
) ) ) `  y )  =  ( ( sin  |`  ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) ) ) `  y ) )
9282ffvelrni 5702 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) )  -> 
( ( x  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) [,] ( pi  /  2
) )  |->  ( ( pi  /  2 )  -  x ) ) `
 y )  e.  ( 0 [,] pi ) )
93 fvres 5580 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) [,] (
pi  /  2 ) )  |->  ( ( pi 
/  2 )  -  x ) ) `  y )  e.  ( 0 [,] pi )  ->  ( ( cos  |`  ( 0 [,] pi ) ) `  (
( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) [,] (
pi  /  2 ) )  |->  ( ( pi 
/  2 )  -  x ) ) `  y ) )  =  ( cos `  (
( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) [,] (
pi  /  2 ) )  |->  ( ( pi 
/  2 )  -  x ) ) `  y ) ) )
9492, 93syl 15 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) )  -> 
( ( cos  |`  (
0 [,] pi ) ) `  ( ( x  e.  ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) ) 
|->  ( ( pi  / 
2 )  -  x
) ) `  y
) )  =  ( cos `  ( ( x  e.  ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) ) 
|->  ( ( pi  / 
2 )  -  x
) ) `  y
) ) )
95 oveq2 5908 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
( pi  /  2
)  -  x )  =  ( ( pi 
/  2 )  -  y ) )
96 ovex 5925 . . . . . . . 8  |-  ( ( pi  /  2 )  -  y )  e. 
_V
9795, 2, 96fvmpt 5640 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) )  -> 
( ( x  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) [,] ( pi  /  2
) )  |->  ( ( pi  /  2 )  -  x ) ) `
 y )  =  ( ( pi  / 
2 )  -  y
) )
9897fveq2d 5567 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) )  -> 
( cos `  (
( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) [,] (
pi  /  2 ) )  |->  ( ( pi 
/  2 )  -  x ) ) `  y ) )  =  ( cos `  (
( pi  /  2
)  -  y ) ) )
9963sseli 3210 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) )  -> 
y  e.  CC )
100 coshalfpim 19916 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  CC  ->  ( cos `  ( ( pi 
/  2 )  -  y ) )  =  ( sin `  y
) )
10199, 100syl 15 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) )  -> 
( cos `  (
( pi  /  2
)  -  y ) )  =  ( sin `  y ) )
10294, 98, 1013eqtrd 2352 . . . . 5  |-  ( y  e.  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) )  -> 
( ( cos  |`  (
0 [,] pi ) ) `  ( ( x  e.  ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) ) 
|->  ( ( pi  / 
2 )  -  x
) ) `  y
) )  =  ( sin `  y ) )
103 fvco3 5634 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) [,] (
pi  /  2 ) )  |->  ( ( pi 
/  2 )  -  x ) ) : ( -u ( pi 
/  2 ) [,] ( pi  /  2
) ) --> ( 0 [,] pi )  /\  y  e.  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( ( cos  |`  ( 0 [,] pi ) )  o.  ( x  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) [,] ( pi  /  2
) )  |->  ( ( pi  /  2 )  -  x ) ) ) `  y )  =  ( ( cos  |`  ( 0 [,] pi ) ) `  (
( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) [,] (
pi  /  2 ) )  |->  ( ( pi 
/  2 )  -  x ) ) `  y ) ) )
10482, 103mpan 651 . . . . 5  |-  ( y  e.  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) )  -> 
( ( ( cos  |`  ( 0 [,] pi ) )  o.  (
x  e.  ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) ) 
|->  ( ( pi  / 
2 )  -  x
) ) ) `  y )  =  ( ( cos  |`  (
0 [,] pi ) ) `  ( ( x  e.  ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) ) 
|->  ( ( pi  / 
2 )  -  x
) ) `  y
) ) )
105 fvres 5580 . . . . 5  |-  ( y  e.  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) )  -> 
( ( sin  |`  ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) ) ) `  y )  =  ( sin `  y
) )
106102, 104, 1053eqtr4d 2358 . . . 4  |-  ( y  e.  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) )  -> 
( ( ( cos  |`  ( 0 [,] pi ) )  o.  (
x  e.  ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) ) 
|->  ( ( pi  / 
2 )  -  x
) ) ) `  y )  =  ( ( sin  |`  ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) ) ) `  y ) )
10791, 106mprgbir 2647 . . 3  |-  ( ( cos  |`  ( 0 [,] pi ) )  o.  ( x  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) [,] ( pi  /  2
) )  |->  ( ( pi  /  2 )  -  x ) ) )  =  ( sin  |`  ( -u ( pi 
/  2 ) [,] ( pi  /  2
) ) )
108 f1oeq1 5501 . . 3  |-  ( ( ( cos  |`  (
0 [,] pi ) )  o.  ( x  e.  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) )  |->  ( ( pi  /  2
)  -  x ) ) )  =  ( sin  |`  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( ( cos  |`  ( 0 [,] pi ) )  o.  ( x  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) [,] ( pi  /  2
) )  |->  ( ( pi  /  2 )  -  x ) ) ) : ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) ) -1-1-onto-> (
-u 1 [,] 1
)  <->  ( sin  |`  ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) ) ) : ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) ) -1-1-onto-> (
-u 1 [,] 1
) ) )
109107, 108ax-mp 8 . 2  |-  ( ( ( cos  |`  (
0 [,] pi ) )  o.  ( x  e.  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) )  |->  ( ( pi  /  2
)  -  x ) ) ) : (
-u ( pi  / 
2 ) [,] (
pi  /  2 ) ) -1-1-onto-> ( -u 1 [,] 1 )  <->  ( sin  |`  ( -u ( pi 
/  2 ) [,] ( pi  /  2
) ) ) : ( -u ( pi 
/  2 ) [,] ( pi  /  2
) ) -1-1-onto-> ( -u 1 [,] 1 ) )
11075, 109mpbi 199 1  |-  ( sin  |`  ( -u ( pi 
/  2 ) [,] ( pi  /  2
) ) ) : ( -u ( pi 
/  2 ) [,] ( pi  /  2
) ) -1-1-onto-> ( -u 1 [,] 1 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    /\ wa 358    T. wtru 1307    = wceq 1633    e. wcel 1701   A.wral 2577    C_ wss 3186   class class class wbr 4060    e. cmpt 4114    |` cres 4728    o. ccom 4730    Fn wfn 5287   -->wf 5288   -1-1-onto->wf1o 5291   ` cfv 5292  (class class class)co 5900   CCcc 8780   RRcr 8781   0cc0 8782   1c1 8783    + caddc 8785    <_ cle 8913    - cmin 9082   -ucneg 9083    / cdiv 9468   2c2 9840   [,]cicc 10706   sincsin 12392   cosccos 12393   picpi 12395
This theorem is referenced by:  efif1olem4  19960  asinrebnd  20250
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-rep 4168  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549  ax-inf2 7387  ax-cnex 8838  ax-resscn 8839  ax-1cn 8840  ax-icn 8841  ax-addcl 8842  ax-addrcl 8843  ax-mulcl 8844  ax-mulrcl 8845  ax-mulcom 8846  ax-addass 8847  ax-mulass 8848  ax-distr 8849  ax-i2m1 8850  ax-1ne0 8851  ax-1rid 8852  ax-rnegex 8853  ax-rrecex 8854  ax-cnre 8855  ax-pre-lttri 8856  ax-pre-lttrn 8857  ax-pre-ltadd 8858  ax-pre-mulgt0 8859  ax-pre-sup 8860  ax-addf 8861  ax-mulf 8862
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-nel 2482  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rmo 2585  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-pss 3202  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-tp 3682  df-op 3683  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3944  df-iin 3945  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-tr 4151  df-eprel 4342  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-fr 4389  df-se 4390  df-we 4391  df-ord 4432  df-on 4433  df-lim 4434  df-suc 4435  df-om 4694  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-isom 5301  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-of 6120  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-riota 6346  df-recs 6430  df-rdg 6465  df-1o 6521  df-2o 6522  df-oadd 6525  df-er 6702  df-map 6817  df-pm 6818  df-ixp 6861  df-en 6907  df-dom 6908  df-sdom 6909  df-fin 6910  df-fi 7210  df-sup 7239  df-oi 7270  df-card 7617  df-cda 7839  df-pnf 8914  df-mnf 8915  df-xr 8916  df-ltxr 8917  df-le 8918  df-sub 9084  df-neg 9085  df-div 9469  df-nn 9792  df-2 9849  df-3 9850  df-4 9851  df-5 9852  df-6 9853  df-7 9854  df-8 9855  df-9 9856  df-10 9857  df-n0 10013  df-z 10072  df-dec 10172  df-uz 10278  df-q 10364  df-rp 10402  df-xneg 10499  df-xadd 10500  df-xmul 10501  df-ioo 10707  df-ioc 10708  df-ico 10709  df-icc 10710  df-fz 10830  df-fzo 10918  df-fl 10972  df-seq 11094  df-exp 11152  df-fac 11336  df-bc 11363  df-hash 11385  df-shft 11609  df-cj 11631  df-re 11632  df-im 11633  df-sqr 11767  df-abs 11768  df-limsup 11992  df-clim 12009  df-rlim 12010  df-sum 12206  df-ef 12396  df-sin 12398  df-cos 12399  df-pi 12401  df-struct 13197  df-ndx 13198  df-slot 13199  df-base 13200  df-sets 13201  df-ress 13202  df-plusg 13268  df-mulr 13269  df-starv 13270  df-sca 13271  df-vsca 13272  df-tset 13274  df-ple 13275  df-ds 13277  df-unif 13278  df-hom 13279  df-cco 13280  df-rest 13376  df-topn 13377  df-topgen 13393  df-pt 13394  df-prds 13397  df-xrs 13452  df-0g 13453  df-gsum 13454  df-qtop 13459  df-imas 13460  df-xps 13462  df-mre 13537  df-mrc 13538  df-acs 13540  df-mnd 14416  df-submnd 14465  df-mulg 14541  df-cntz 14842  df-cmn 15140  df-xmet 16425  df-met 16426  df-bl 16427  df-mopn 16428  df-fbas 16429  df-fg 16430  df-cnfld 16433  df-top 16692  df-bases 16694  df-topon 16695  df-topsp 16696  df-cld 16812  df-ntr 16813  df-cls 16814  df-nei 16891  df-lp 16924  df-perf 16925  df-cn 17013  df-cnp 17014  df-haus 17099  df-tx 17313  df-hmeo 17502  df-fil 17593  df-fm 17685  df-flim 17686  df-flf 17687  df-xms 17937  df-ms 17938  df-tms 17939  df-cncf 18434  df-limc 19269  df-dv 19270
  Copyright terms: Public domain W3C validator