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Theorem resixpfo 6870
Description: Restriction of elements of an infinite Cartesian product creates a surjection, if the original Cartesian product is nonempty. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
resixpfo.1  |-  F  =  ( f  e.  X_ x  e.  A  C  |->  ( f  |`  B ) )
Assertion
Ref Expression
resixpfo  |-  ( ( B  C_  A  /\  X_ x  e.  A  C  =/=  (/) )  ->  F : X_ x  e.  A  C -onto-> X_ x  e.  B  C )
Distinct variable groups:    x, f, A    B, f, x    C, f
Allowed substitution hints:    C( x)    F( x, f)

Proof of Theorem resixpfo
Dummy variables  g  h  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 resixp 6867 . . . 4  |-  ( ( B  C_  A  /\  f  e.  X_ x  e.  A  C )  -> 
( f  |`  B )  e.  X_ x  e.  B  C )
2 resixpfo.1 . . . 4  |-  F  =  ( f  e.  X_ x  e.  A  C  |->  ( f  |`  B ) )
31, 2fmptd 5700 . . 3  |-  ( B 
C_  A  ->  F : X_ x  e.  A  C
--> X_ x  e.  B  C )
43adantr 451 . 2  |-  ( ( B  C_  A  /\  X_ x  e.  A  C  =/=  (/) )  ->  F : X_ x  e.  A  C
--> X_ x  e.  B  C )
5 n0 3477 . . . 4  |-  ( X_ x  e.  A  C  =/=  (/)  <->  E. g  g  e.  X_ x  e.  A  C )
6 eleq1 2356 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  x  ->  (
z  e.  B  <->  x  e.  B ) )
76ifbid 3596 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  x  ->  if ( z  e.  B ,  h ,  g )  =  if ( x  e.  B ,  h ,  g ) )
8 id 19 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  x  ->  z  =  x )
97, 8fveq12d 5547 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  x  ->  ( if ( z  e.  B ,  h ,  g ) `
 z )  =  ( if ( x  e.  B ,  h ,  g ) `  x ) )
109cbvmptv 4127 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  A  |->  ( if ( z  e.  B ,  h ,  g ) `
 z ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( if ( x  e.  B ,  h ,  g ) `  x ) )
11 vex 2804 . . . . . . . . . . . . 13  |-  g  e. 
_V
1211elixp 6839 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g  e.  X_ x  e.  A  C 
<->  ( g  Fn  A  /\  A. x  e.  A  ( g `  x
)  e.  C ) )
1312simprbi 450 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g  e.  X_ x  e.  A  C  ->  A. x  e.  A  ( g `  x
)  e.  C )
14 vex 2804 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  h  e. 
_V
1514elixp 6839 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( h  e.  X_ x  e.  B  C 
<->  ( h  Fn  B  /\  A. x  e.  B  ( h `  x
)  e.  C ) )
1615simprbi 450 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( h  e.  X_ x  e.  B  C  ->  A. x  e.  B  ( h `  x
)  e.  C )
17 fveq1 5540 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( h  =  if ( x  e.  B ,  h ,  g )  -> 
( h `  x
)  =  ( if ( x  e.  B ,  h ,  g ) `
 x ) )
1817eleq1d 2362 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( h  =  if ( x  e.  B ,  h ,  g )  -> 
( ( h `  x )  e.  C  <->  ( if ( x  e.  B ,  h ,  g ) `  x
)  e.  C ) )
19 fveq1 5540 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( g  =  if ( x  e.  B ,  h ,  g )  -> 
( g `  x
)  =  ( if ( x  e.  B ,  h ,  g ) `
 x ) )
2019eleq1d 2362 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( g  =  if ( x  e.  B ,  h ,  g )  -> 
( ( g `  x )  e.  C  <->  ( if ( x  e.  B ,  h ,  g ) `  x
)  e.  C ) )
21 simpl 443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( x  e.  B  ->  ( h `  x
)  e.  C )  /\  ( x  e.  A  /\  ( g `
 x )  e.  C ) )  -> 
( x  e.  B  ->  ( h `  x
)  e.  C ) )
2221imp 418 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( x  e.  B  ->  ( h `  x )  e.  C
)  /\  ( x  e.  A  /\  (
g `  x )  e.  C ) )  /\  x  e.  B )  ->  ( h `  x
)  e.  C )
23 simplrr 737 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( x  e.  B  ->  ( h `  x )  e.  C
)  /\  ( x  e.  A  /\  (
g `  x )  e.  C ) )  /\  -.  x  e.  B
)  ->  ( g `  x )  e.  C
)
2418, 20, 22, 23ifbothda 3608 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( x  e.  B  ->  ( h `  x
)  e.  C )  /\  ( x  e.  A  /\  ( g `
 x )  e.  C ) )  -> 
( if ( x  e.  B ,  h ,  g ) `  x )  e.  C
)
2524exp32 588 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  B  -> 
( h `  x
)  e.  C )  ->  ( x  e.  A  ->  ( (
g `  x )  e.  C  ->  ( if ( x  e.  B ,  h ,  g ) `
 x )  e.  C ) ) )
2625ralimi2 2628 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. x  e.  B  (
h `  x )  e.  C  ->  A. x  e.  A  ( (
g `  x )  e.  C  ->  ( if ( x  e.  B ,  h ,  g ) `
 x )  e.  C ) )
2716, 26syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( h  e.  X_ x  e.  B  C  ->  A. x  e.  A  ( ( g `  x )  e.  C  ->  ( if ( x  e.  B ,  h ,  g ) `  x )  e.  C
) )
2827adantl 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  C_  A  /\  h  e.  X_ x  e.  B  C )  ->  A. x  e.  A  ( ( g `  x )  e.  C  ->  ( if ( x  e.  B ,  h ,  g ) `  x )  e.  C
) )
29 ralim 2627 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. x  e.  A  (
( g `  x
)  e.  C  -> 
( if ( x  e.  B ,  h ,  g ) `  x )  e.  C
)  ->  ( A. x  e.  A  (
g `  x )  e.  C  ->  A. x  e.  A  ( if ( x  e.  B ,  h ,  g ) `
 x )  e.  C ) )
3028, 29syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  C_  A  /\  h  e.  X_ x  e.  B  C )  -> 
( A. x  e.  A  ( g `  x )  e.  C  ->  A. x  e.  A  ( if ( x  e.  B ,  h ,  g ) `  x
)  e.  C ) )
3130imp 418 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  C_  A  /\  h  e.  X_ x  e.  B  C )  /\  A. x  e.  A  ( g `  x
)  e.  C )  ->  A. x  e.  A  ( if ( x  e.  B ,  h ,  g ) `  x
)  e.  C )
3213, 31sylan2 460 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  C_  A  /\  h  e.  X_ x  e.  B  C )  /\  g  e.  X_ x  e.  A  C )  ->  A. x  e.  A  ( if ( x  e.  B ,  h ,  g ) `  x
)  e.  C )
33 n0i 3473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g  e.  X_ x  e.  A  C  ->  -.  X_ x  e.  A  C  =  (/) )
34 ixpprc 6853 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  X_ x  e.  A  C  =  (/) )
3533, 34nsyl2 119 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g  e.  X_ x  e.  A  C  ->  A  e.  _V )
3635adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  C_  A  /\  h  e.  X_ x  e.  B  C )  /\  g  e.  X_ x  e.  A  C )  ->  A  e.  _V )
37 mptelixpg 6869 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  _V  ->  (
( x  e.  A  |->  ( if ( x  e.  B ,  h ,  g ) `  x ) )  e.  X_ x  e.  A  C 
<-> 
A. x  e.  A  ( if ( x  e.  B ,  h ,  g ) `  x
)  e.  C ) )
3836, 37syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  C_  A  /\  h  e.  X_ x  e.  B  C )  /\  g  e.  X_ x  e.  A  C )  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( if ( x  e.  B ,  h ,  g ) `  x ) )  e.  X_ x  e.  A  C 
<-> 
A. x  e.  A  ( if ( x  e.  B ,  h ,  g ) `  x
)  e.  C ) )
3932, 38mpbird 223 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  C_  A  /\  h  e.  X_ x  e.  B  C )  /\  g  e.  X_ x  e.  A  C )  ->  ( x  e.  A  |->  ( if ( x  e.  B ,  h ,  g ) `  x ) )  e.  X_ x  e.  A  C )
4010, 39syl5eqel 2380 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B  C_  A  /\  h  e.  X_ x  e.  B  C )  /\  g  e.  X_ x  e.  A  C )  ->  ( z  e.  A  |->  ( if ( z  e.  B ,  h ,  g ) `  z ) )  e.  X_ x  e.  A  C )
41 iftrue 3584 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  B  ->  if ( z  e.  B ,  h ,  g )  =  h )
4241fveq1d 5543 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  B  ->  ( if ( z  e.  B ,  h ,  g ) `
 z )  =  ( h `  z
) )
4342mpteq2ia 4118 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  B  |->  ( if ( z  e.  B ,  h ,  g ) `
 z ) )  =  ( z  e.  B  |->  ( h `  z ) )
44 resmpt 5016 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B 
C_  A  ->  (
( z  e.  A  |->  ( if ( z  e.  B ,  h ,  g ) `  z ) )  |`  B )  =  ( z  e.  B  |->  ( if ( z  e.  B ,  h ,  g ) `  z
) ) )
4544ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( B  C_  A  /\  h  e.  X_ x  e.  B  C )  /\  g  e.  X_ x  e.  A  C )  ->  ( ( z  e.  A  |->  ( if ( z  e.  B ,  h ,  g ) `  z ) )  |`  B )  =  ( z  e.  B  |->  ( if ( z  e.  B ,  h ,  g ) `  z
) ) )
46 ixpfn 6838 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( h  e.  X_ x  e.  B  C  ->  h  Fn  B
)
4746ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( B  C_  A  /\  h  e.  X_ x  e.  B  C )  /\  g  e.  X_ x  e.  A  C )  ->  h  Fn  B )
48 dffn5 5584 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( h  Fn  B  <->  h  =  ( z  e.  B  |->  ( h `  z
) ) )
4947, 48sylib 188 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( B  C_  A  /\  h  e.  X_ x  e.  B  C )  /\  g  e.  X_ x  e.  A  C )  ->  h  =  ( z  e.  B  |->  ( h `
 z ) ) )
5043, 45, 493eqtr4a 2354 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  C_  A  /\  h  e.  X_ x  e.  B  C )  /\  g  e.  X_ x  e.  A  C )  ->  ( ( z  e.  A  |->  ( if ( z  e.  B ,  h ,  g ) `  z ) )  |`  B )  =  h )
5150, 14syl6eqel 2384 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  C_  A  /\  h  e.  X_ x  e.  B  C )  /\  g  e.  X_ x  e.  A  C )  ->  ( ( z  e.  A  |->  ( if ( z  e.  B ,  h ,  g ) `  z ) )  |`  B )  e.  _V )
52 reseq1 4965 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  ( z  e.  A  |->  ( if ( z  e.  B ,  h ,  g ) `  z ) )  -> 
( f  |`  B )  =  ( ( z  e.  A  |->  ( if ( z  e.  B ,  h ,  g ) `
 z ) )  |`  B ) )
5352, 2fvmptg 5616 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  e.  A  |->  ( if ( z  e.  B ,  h ,  g ) `  z ) )  e.  X_ x  e.  A  C  /\  ( ( z  e.  A  |->  ( if ( z  e.  B ,  h ,  g ) `
 z ) )  |`  B )  e.  _V )  ->  ( F `  ( z  e.  A  |->  ( if ( z  e.  B ,  h ,  g ) `  z ) ) )  =  ( ( z  e.  A  |->  ( if ( z  e.  B ,  h ,  g ) `
 z ) )  |`  B ) )
5440, 51, 53syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  C_  A  /\  h  e.  X_ x  e.  B  C )  /\  g  e.  X_ x  e.  A  C )  ->  ( F `  (
z  e.  A  |->  ( if ( z  e.  B ,  h ,  g ) `  z
) ) )  =  ( ( z  e.  A  |->  ( if ( z  e.  B ,  h ,  g ) `  z ) )  |`  B ) )
5554, 50eqtr2d 2329 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B  C_  A  /\  h  e.  X_ x  e.  B  C )  /\  g  e.  X_ x  e.  A  C )  ->  h  =  ( F `
 ( z  e.  A  |->  ( if ( z  e.  B ,  h ,  g ) `  z ) ) ) )
56 fveq2 5541 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( z  e.  A  |->  ( if ( z  e.  B ,  h ,  g ) `  z ) )  -> 
( F `  y
)  =  ( F `
 ( z  e.  A  |->  ( if ( z  e.  B ,  h ,  g ) `  z ) ) ) )
5756eqeq2d 2307 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( z  e.  A  |->  ( if ( z  e.  B ,  h ,  g ) `  z ) )  -> 
( h  =  ( F `  y )  <-> 
h  =  ( F `
 ( z  e.  A  |->  ( if ( z  e.  B ,  h ,  g ) `  z ) ) ) ) )
5857rspcev 2897 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( z  e.  A  |->  ( if ( z  e.  B ,  h ,  g ) `  z ) )  e.  X_ x  e.  A  C  /\  h  =  ( F `  ( z  e.  A  |->  ( if ( z  e.  B ,  h ,  g ) `
 z ) ) ) )  ->  E. y  e.  X_  x  e.  A  C h  =  ( F `  y )
)
5940, 55, 58syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  C_  A  /\  h  e.  X_ x  e.  B  C )  /\  g  e.  X_ x  e.  A  C )  ->  E. y  e.  X_  x  e.  A  C h  =  ( F `  y ) )
6059ex 423 . . . . . 6  |-  ( ( B  C_  A  /\  h  e.  X_ x  e.  B  C )  -> 
( g  e.  X_ x  e.  A  C  ->  E. y  e.  X_  x  e.  A  C h  =  ( F `  y ) ) )
6160ralrimdva 2646 . . . . 5  |-  ( B 
C_  A  ->  (
g  e.  X_ x  e.  A  C  ->  A. h  e.  X_  x  e.  B  C E. y  e.  X_  x  e.  A  C h  =  ( F `  y
) ) )
6261exlimdv 1626 . . . 4  |-  ( B 
C_  A  ->  ( E. g  g  e.  X_ x  e.  A  C  ->  A. h  e.  X_  x  e.  B  C E. y  e.  X_  x  e.  A  C h  =  ( F `  y ) ) )
635, 62syl5bi 208 . . 3  |-  ( B 
C_  A  ->  ( X_ x  e.  A  C  =/=  (/)  ->  A. h  e.  X_  x  e.  B  C E. y  e.  X_  x  e.  A  C h  =  ( F `  y ) ) )
6463imp 418 . 2  |-  ( ( B  C_  A  /\  X_ x  e.  A  C  =/=  (/) )  ->  A. h  e.  X_  x  e.  B  C E. y  e.  X_  x  e.  A  C h  =  ( F `  y ) )
65 dffo3 5691 . 2  |-  ( F : X_ x  e.  A  C -onto-> X_ x  e.  B  C  <->  ( F : X_ x  e.  A  C
--> X_ x  e.  B  C  /\  A. h  e.  X_  x  e.  B  C E. y  e.  X_  x  e.  A  C h  =  ( F `  y ) ) )
664, 64, 65sylanbrc 645 1  |-  ( ( B  C_  A  /\  X_ x  e.  A  C  =/=  (/) )  ->  F : X_ x  e.  A  C -onto-> X_ x  e.  B  C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   E.wex 1531    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557   _Vcvv 2801    C_ wss 3165   (/)c0 3468   ifcif 3578    e. cmpt 4093    |` cres 4707    Fn wfn 5266   -->wf 5267   -onto->wfo 5269   ` cfv 5271   X_cixp 6833
This theorem is referenced by:  ptcmplem2  17763
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ixp 6834
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