Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  reslmhm Structured version   Unicode version

Theorem reslmhm 16133
 Description: Restriction of a homomorphism to a subspace. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
reslmhm.u
reslmhm.r s
Assertion
Ref Expression
reslmhm LMHom LMHom

Proof of Theorem reslmhm
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmhmlmod1 16114 . . . 4 LMHom
2 reslmhm.r . . . . 5 s
3 reslmhm.u . . . . 5
42, 3lsslmod 16041 . . . 4
51, 4sylan 459 . . 3 LMHom
6 lmhmlmod2 16113 . . . 4 LMHom
76adantr 453 . . 3 LMHom
85, 7jca 520 . 2 LMHom
9 lmghm 16112 . . . . 5 LMHom
109adantr 453 . . . 4 LMHom
113lsssubg 16038 . . . . 5 SubGrp
121, 11sylan 459 . . . 4 LMHom SubGrp
132resghm 15027 . . . 4 SubGrp
1410, 12, 13syl2anc 644 . . 3 LMHom
15 eqid 2438 . . . . 5 Scalar Scalar
16 eqid 2438 . . . . 5 Scalar Scalar
1715, 16lmhmsca 16111 . . . 4 LMHom Scalar Scalar
182, 15resssca 13609 . . . 4 Scalar Scalar
1917, 18sylan9eq 2490 . . 3 LMHom Scalar Scalar
20 simpll 732 . . . . . . 7 LMHom Scalar LMHom
21 simprl 734 . . . . . . 7 LMHom Scalar Scalar
22 eqid 2438 . . . . . . . . . . 11
2322, 3lssss 16018 . . . . . . . . . 10
2423adantl 454 . . . . . . . . 9 LMHom
2524adantr 453 . . . . . . . 8 LMHom Scalar
262, 22ressbas2 13525 . . . . . . . . . . . 12
2724, 26syl 16 . . . . . . . . . . 11 LMHom
2827eleq2d 2505 . . . . . . . . . 10 LMHom
2928biimpar 473 . . . . . . . . 9 LMHom
3029adantrl 698 . . . . . . . 8 LMHom Scalar
3125, 30sseldd 3351 . . . . . . 7 LMHom Scalar
32 eqid 2438 . . . . . . . 8 Scalar Scalar
33 eqid 2438 . . . . . . . 8
34 eqid 2438 . . . . . . . 8
3515, 32, 22, 33, 34lmhmlin 16116 . . . . . . 7 LMHom Scalar
3620, 21, 31, 35syl3anc 1185 . . . . . 6 LMHom Scalar
371adantr 453 . . . . . . . . 9 LMHom
3837adantr 453 . . . . . . . 8 LMHom Scalar
39 simplr 733 . . . . . . . 8 LMHom Scalar
4015, 33, 32, 3lssvscl 16036 . . . . . . . 8 Scalar
4138, 39, 21, 30, 40syl22anc 1186 . . . . . . 7 LMHom Scalar
42 fvres 5748 . . . . . . 7
4341, 42syl 16 . . . . . 6 LMHom Scalar
44 fvres 5748 . . . . . . . 8
4544oveq2d 6100 . . . . . . 7
4630, 45syl 16 . . . . . 6 LMHom Scalar
4736, 43, 463eqtr4d 2480 . . . . 5 LMHom Scalar
4847ralrimivva 2800 . . . 4 LMHom Scalar
4918adantl 454 . . . . . 6 LMHom Scalar Scalar
5049fveq2d 5735 . . . . 5 LMHom Scalar Scalar
512, 33ressvsca 13610 . . . . . . . . . 10
5251adantl 454 . . . . . . . . 9 LMHom
5352oveqd 6101 . . . . . . . 8 LMHom
5453fveq2d 5735 . . . . . . 7 LMHom
5554eqeq1d 2446 . . . . . 6 LMHom
5655ralbidv 2727 . . . . 5 LMHom
5750, 56raleqbidv 2918 . . . 4 LMHom Scalar Scalar
5848, 57mpbid 203 . . 3 LMHom Scalar
5914, 19, 583jca 1135 . 2 LMHom Scalar Scalar Scalar
60 eqid 2438 . . 3 Scalar Scalar
61 eqid 2438 . . 3 Scalar Scalar
62 eqid 2438 . . 3
63 eqid 2438 . . 3
6460, 16, 61, 62, 63, 34islmhm 16108 . 2 LMHom Scalar Scalar Scalar
658, 59, 64sylanbrc 647 1 LMHom LMHom
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 360   w3a 937   wceq 1653   wcel 1726  wral 2707   wss 3322   cres 4883  cfv 5457  (class class class)co 6084  cbs 13474   ↾s cress 13475  Scalarcsca 13537  cvsca 13538  SubGrpcsubg 14943   cghm 15008  clmod 15955  clss 16013   LMHom clmhm 16100 This theorem is referenced by:  lmhmlnmsplit  27176  pwssplit4  27182  frlmsplit2  27234 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-4 10065  df-5 10066  df-6 10067  df-ndx 13477  df-slot 13478  df-base 13479  df-sets 13480  df-ress 13481  df-plusg 13547  df-sca 13550  df-vsca 13551  df-0g 13732  df-mnd 14695  df-grp 14817  df-minusg 14818  df-sbg 14819  df-subg 14946  df-ghm 15009  df-mgp 15654  df-rng 15668  df-ur 15670  df-lmod 15957  df-lss 16014  df-lmhm 16103
 Copyright terms: Public domain W3C validator