Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  resmhm Structured version   Unicode version

Theorem resmhm 14751
 Description: Restriction of a monoid homomorphism to a submonoid is a homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
resmhm.u s
Assertion
Ref Expression
resmhm MndHom SubMnd MndHom

Proof of Theorem resmhm
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mhmrcl2 14734 . . 3 MndHom
2 resmhm.u . . . 4 s
32submmnd 14746 . . 3 SubMnd
41, 3anim12ci 551 . 2 MndHom SubMnd
5 eqid 2435 . . . . . 6
6 eqid 2435 . . . . . 6
75, 6mhmf 14735 . . . . 5 MndHom
85submss 14742 . . . . 5 SubMnd
9 fssres 5602 . . . . 5
107, 8, 9syl2an 464 . . . 4 MndHom SubMnd
118adantl 453 . . . . . 6 MndHom SubMnd
122, 5ressbas2 13512 . . . . . 6
1311, 12syl 16 . . . . 5 MndHom SubMnd
1413feq2d 5573 . . . 4 MndHom SubMnd
1510, 14mpbid 202 . . 3 MndHom SubMnd
16 simpll 731 . . . . . . 7 MndHom SubMnd MndHom
178ad2antlr 708 . . . . . . . 8 MndHom SubMnd
18 simprl 733 . . . . . . . 8 MndHom SubMnd
1917, 18sseldd 3341 . . . . . . 7 MndHom SubMnd
20 simprr 734 . . . . . . . 8 MndHom SubMnd
2117, 20sseldd 3341 . . . . . . 7 MndHom SubMnd
22 eqid 2435 . . . . . . . 8
23 eqid 2435 . . . . . . . 8
245, 22, 23mhmlin 14737 . . . . . . 7 MndHom
2516, 19, 21, 24syl3anc 1184 . . . . . 6 MndHom SubMnd
2622submcl 14745 . . . . . . . . 9 SubMnd
27263expb 1154 . . . . . . . 8 SubMnd
2827adantll 695 . . . . . . 7 MndHom SubMnd
29 fvres 5737 . . . . . . 7
3028, 29syl 16 . . . . . 6 MndHom SubMnd
31 fvres 5737 . . . . . . . 8
32 fvres 5737 . . . . . . . 8
3331, 32oveqan12d 6092 . . . . . . 7
3433adantl 453 . . . . . 6 MndHom SubMnd
3525, 30, 343eqtr4d 2477 . . . . 5 MndHom SubMnd
3635ralrimivva 2790 . . . 4 MndHom SubMnd
372, 22ressplusg 13563 . . . . . . . . . 10 SubMnd
3837adantl 453 . . . . . . . . 9 MndHom SubMnd
3938oveqd 6090 . . . . . . . 8 MndHom SubMnd
4039fveq2d 5724 . . . . . . 7 MndHom SubMnd
4140eqeq1d 2443 . . . . . 6 MndHom SubMnd
4213, 41raleqbidv 2908 . . . . 5 MndHom SubMnd
4313, 42raleqbidv 2908 . . . 4 MndHom SubMnd
4436, 43mpbid 202 . . 3 MndHom SubMnd
45 eqid 2435 . . . . . . 7
4645subm0cl 14744 . . . . . 6 SubMnd
4746adantl 453 . . . . 5 MndHom SubMnd
48 fvres 5737 . . . . 5
4947, 48syl 16 . . . 4 MndHom SubMnd
502, 45subm0 14748 . . . . . 6 SubMnd
5150adantl 453 . . . . 5 MndHom SubMnd
5251fveq2d 5724 . . . 4 MndHom SubMnd
53 eqid 2435 . . . . . 6
5445, 53mhm0 14738 . . . . 5 MndHom
5554adantr 452 . . . 4 MndHom SubMnd
5649, 52, 553eqtr3d 2475 . . 3 MndHom SubMnd
5715, 44, 563jca 1134 . 2 MndHom SubMnd
58 eqid 2435 . . 3
59 eqid 2435 . . 3
60 eqid 2435 . . 3
6158, 6, 59, 23, 60, 53ismhm 14732 . 2 MndHom
624, 57, 61sylanbrc 646 1 MndHom SubMnd MndHom
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725  wral 2697   wss 3312   cres 4872  wf 5442  cfv 5446  (class class class)co 6073  cbs 13461   ↾s cress 13462   cplusg 13521  c0g 13715  cmnd 14676   MndHom cmhm 14728  SubMndcsubmnd 14729 This theorem is referenced by:  resrhm  15889  dchrghm  21032 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-0g 13719  df-mnd 14682  df-mhm 14730  df-submnd 14731
 Copyright terms: Public domain W3C validator