Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  resmhm Unicode version

Theorem resmhm 14452
 Description: Restriction of a monoid homomorphism to a submonoid is a homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
resmhm.u s
Assertion
Ref Expression
resmhm MndHom SubMnd MndHom

Proof of Theorem resmhm
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mhmrcl2 14435 . . 3 MndHom
2 resmhm.u . . . 4 s
32submmnd 14447 . . 3 SubMnd
41, 3anim12ci 550 . 2 MndHom SubMnd
5 eqid 2296 . . . . . 6
6 eqid 2296 . . . . . 6
75, 6mhmf 14436 . . . . 5 MndHom
85submss 14443 . . . . 5 SubMnd
9 fssres 5424 . . . . 5
107, 8, 9syl2an 463 . . . 4 MndHom SubMnd
118adantl 452 . . . . . 6 MndHom SubMnd
122, 5ressbas2 13215 . . . . . 6
1311, 12syl 15 . . . . 5 MndHom SubMnd
1413feq2d 5396 . . . 4 MndHom SubMnd
1510, 14mpbid 201 . . 3 MndHom SubMnd
16 simpll 730 . . . . . . 7 MndHom SubMnd MndHom
178ad2antlr 707 . . . . . . . 8 MndHom SubMnd
18 simprl 732 . . . . . . . 8 MndHom SubMnd
1917, 18sseldd 3194 . . . . . . 7 MndHom SubMnd
20 simprr 733 . . . . . . . 8 MndHom SubMnd
2117, 20sseldd 3194 . . . . . . 7 MndHom SubMnd
22 eqid 2296 . . . . . . . 8
23 eqid 2296 . . . . . . . 8
245, 22, 23mhmlin 14438 . . . . . . 7 MndHom
2516, 19, 21, 24syl3anc 1182 . . . . . 6 MndHom SubMnd
2622submcl 14446 . . . . . . . . 9 SubMnd
27263expb 1152 . . . . . . . 8 SubMnd
2827adantll 694 . . . . . . 7 MndHom SubMnd
29 fvres 5558 . . . . . . 7
3028, 29syl 15 . . . . . 6 MndHom SubMnd
31 fvres 5558 . . . . . . . 8
32 fvres 5558 . . . . . . . 8
3331, 32oveqan12d 5893 . . . . . . 7
3433adantl 452 . . . . . 6 MndHom SubMnd
3525, 30, 343eqtr4d 2338 . . . . 5 MndHom SubMnd
3635ralrimivva 2648 . . . 4 MndHom SubMnd
372, 22ressplusg 13266 . . . . . . . . . 10 SubMnd
3837adantl 452 . . . . . . . . 9 MndHom SubMnd
3938oveqd 5891 . . . . . . . 8 MndHom SubMnd
4039fveq2d 5545 . . . . . . 7 MndHom SubMnd
4140eqeq1d 2304 . . . . . 6 MndHom SubMnd
4213, 41raleqbidv 2761 . . . . 5 MndHom SubMnd
4313, 42raleqbidv 2761 . . . 4 MndHom SubMnd
4436, 43mpbid 201 . . 3 MndHom SubMnd
45 eqid 2296 . . . . . . 7
4645subm0cl 14445 . . . . . 6 SubMnd
4746adantl 452 . . . . 5 MndHom SubMnd
48 fvres 5558 . . . . 5
4947, 48syl 15 . . . 4 MndHom SubMnd
502, 45subm0 14449 . . . . . 6 SubMnd
5150adantl 452 . . . . 5 MndHom SubMnd
5251fveq2d 5545 . . . 4 MndHom SubMnd
53 eqid 2296 . . . . . 6
5445, 53mhm0 14439 . . . . 5 MndHom
5554adantr 451 . . . 4 MndHom SubMnd
5649, 52, 553eqtr3d 2336 . . 3 MndHom SubMnd
5715, 44, 563jca 1132 . 2 MndHom SubMnd
58 eqid 2296 . . 3
59 eqid 2296 . . 3
60 eqid 2296 . . 3
6158, 6, 59, 23, 60, 53ismhm 14433 . 2 MndHom
624, 57, 61sylanbrc 645 1 MndHom SubMnd MndHom
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 358   w3a 934   wceq 1632   wcel 1696  wral 2556   wss 3165   cres 4707  wf 5267  cfv 5271  (class class class)co 5874  cbs 13164   ↾s cress 13165   cplusg 13224  c0g 13416  cmnd 14377   MndHom cmhm 14429  SubMndcsubmnd 14430 This theorem is referenced by:  resrhm  15590  dchrghm  20511 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-0g 13420  df-mnd 14383  df-mhm 14431  df-submnd 14432
 Copyright terms: Public domain W3C validator