Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  resmhm2b Structured version   Unicode version

Theorem resmhm2b 14763
 Description: Restriction of the codomain of a homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
resmhm2.u s
Assertion
Ref Expression
resmhm2b SubMnd MndHom MndHom

Proof of Theorem resmhm2b
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mhmrcl1 14743 . . . . 5 MndHom
21adantl 454 . . . 4 SubMnd MndHom
3 resmhm2.u . . . . . 6 s
43submmnd 14756 . . . . 5 SubMnd
54ad2antrr 708 . . . 4 SubMnd MndHom
62, 5jca 520 . . 3 SubMnd MndHom
7 eqid 2438 . . . . . . . . 9
8 eqid 2438 . . . . . . . . 9
97, 8mhmf 14745 . . . . . . . 8 MndHom
109adantl 454 . . . . . . 7 SubMnd MndHom
11 ffn 5593 . . . . . . 7
1210, 11syl 16 . . . . . 6 SubMnd MndHom
13 simplr 733 . . . . . 6 SubMnd MndHom
14 df-f 5460 . . . . . 6
1512, 13, 14sylanbrc 647 . . . . 5 SubMnd MndHom
163submbas 14757 . . . . . . 7 SubMnd
1716ad2antrr 708 . . . . . 6 SubMnd MndHom
18 feq3 5580 . . . . . 6
1917, 18syl 16 . . . . 5 SubMnd MndHom
2015, 19mpbid 203 . . . 4 SubMnd MndHom
21 eqid 2438 . . . . . . . . 9
22 eqid 2438 . . . . . . . . 9
237, 21, 22mhmlin 14747 . . . . . . . 8 MndHom
24233expb 1155 . . . . . . 7 MndHom
2524adantll 696 . . . . . 6 SubMnd MndHom
263, 22ressplusg 13573 . . . . . . . 8 SubMnd
2726ad3antrrr 712 . . . . . . 7 SubMnd MndHom
2827oveqd 6100 . . . . . 6 SubMnd MndHom
2925, 28eqtrd 2470 . . . . 5 SubMnd MndHom
3029ralrimivva 2800 . . . 4 SubMnd MndHom
31 eqid 2438 . . . . . . 7
32 eqid 2438 . . . . . . 7
3331, 32mhm0 14748 . . . . . 6 MndHom
3433adantl 454 . . . . 5 SubMnd MndHom
353, 32subm0 14758 . . . . . 6 SubMnd
3635ad2antrr 708 . . . . 5 SubMnd MndHom
3734, 36eqtrd 2470 . . . 4 SubMnd MndHom
3820, 30, 373jca 1135 . . 3 SubMnd MndHom
39 eqid 2438 . . . 4
40 eqid 2438 . . . 4
41 eqid 2438 . . . 4
427, 39, 21, 40, 31, 41ismhm 14742 . . 3 MndHom
436, 38, 42sylanbrc 647 . 2 SubMnd MndHom MndHom
443resmhm2 14762 . . . 4 MndHom SubMnd MndHom
4544ancoms 441 . . 3 SubMnd MndHom MndHom
4645adantlr 697 . 2 SubMnd MndHom MndHom
4743, 46impbida 807 1 SubMnd MndHom MndHom
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   w3a 937   wceq 1653   wcel 1726  wral 2707   wss 3322   crn 4881   wfn 5451  wf 5452  cfv 5456  (class class class)co 6083  cbs 13471   ↾s cress 13472   cplusg 13531  c0g 13725  cmnd 14686   MndHom cmhm 14738  SubMndcsubmnd 14739 This theorem is referenced by:  resghm2b  15026  dchrghm  21042  lgseisenlem4  21138 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-er 6907  df-map 7022  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-2 10060  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-ress 13478  df-plusg 13544  df-0g 13729  df-mnd 14692  df-mhm 14740  df-submnd 14741
 Copyright terms: Public domain W3C validator