MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  resqcld Unicode version

Theorem resqcld 11271
Description: Closure of square in reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
resqcld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
resqcld  |-  ( ph  ->  ( A ^ 2 )  e.  RR )

Proof of Theorem resqcld
StepHypRef Expression
1 resqcld.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 resqcl 11171 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A ^ 2 )  e.  RR )
31, 2syl 15 1  |-  ( ph  ->  ( A ^ 2 )  e.  RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1684  (class class class)co 5858   RRcr 8736   2c2 9795   ^cexp 11104
This theorem is referenced by:  cjmulge0  11631  sqrlem1  11728  sqrlem6  11733  sqrlem7  11734  absrele  11793  abstri  11814  amgm2  11853  sinbnd  12460  cosbnd  12461  cos01bnd  12466  cos01gt0  12471  absefi  12476  pythagtriplem10  12873  pockthg  12953  prmreclem1  12963  4sqlem12  13003  4sqlem15  13006  4sqlem16  13007  prmlem1  13109  prmlem2  13121  cphnmf  18631  reipcl  18633  ipcau2  18664  minveclem2  18790  minveclem3b  18792  minveclem3  18793  minveclem4  18796  minveclem6  18798  minveclem7  18799  pjthlem1  18801  itgabs  19189  dveflem  19326  tangtx  19873  tanregt0  19901  cxpsqr  20050  lawcoslem1  20113  birthdaylem3  20248  cxp2limlem  20270  basellem8  20325  bposlem6  20528  2sqblem  20616  rplogsumlem2  20634  logdivsum  20682  mulog2sumlem1  20683  mulog2sumlem2  20684  vmalogdivsum2  20687  log2sumbnd  20693  selberglem2  20695  logdivbnd  20705  pntpbnd1a  20734  pntlemb  20746  pntlemr  20751  pntlemk  20755  pntlemo  20756  ipval2lem2  21277  ipval2lem5  21283  minvecolem2  21454  minvecolem3  21455  minvecolem4  21459  minvecolem5  21460  minvecolem6  21461  minvecolem7  21462  normpyc  21725  pjhthlem1  21970  chscllem2  22217  pjssposi  22752  hstle1  22806  hst1h  22807  hstle  22810  hstoh  22812  strlem3a  22832  sqsscirc1  23292  sinccvglem  24005  eqeelen  24532  brbtwn2  24533  colinearalglem4  24537  axcgrid  24544  axsegconlem2  24546  axsegconlem3  24547  axsegconlem9  24553  ax5seglem1  24556  ax5seglem2  24557  ax5seglem3  24559  ax5seg  24566  dvreasin  24923  areacirclem2  24925  areacirclem3  24926  areacirclem4  24927  areacirclem5  24929  areacirc  24931  csbrn  26462  trirn  26463  cntotbnd  26520  rrnmet  26553  rrndstprj1  26554  rrndstprj2  26555  pellexlem2  26915  pellexlem6  26919  pell14qrgt0  26944  pell1qrgaplem  26958  rmspecnonsq  26992  rmspecpos  27001  jm3.1lem2  27111
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-seq 11047  df-exp 11105
  Copyright terms: Public domain W3C validator