MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  resqcld Structured version   Unicode version

Theorem resqcld 11549
Description: Closure of square in reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
resqcld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
resqcld  |-  ( ph  ->  ( A ^ 2 )  e.  RR )

Proof of Theorem resqcld
StepHypRef Expression
1 resqcld.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 resqcl 11449 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A ^ 2 )  e.  RR )
31, 2syl 16 1  |-  ( ph  ->  ( A ^ 2 )  e.  RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1725  (class class class)co 6081   RRcr 8989   2c2 10049   ^cexp 11382
This theorem is referenced by:  cjmulge0  11951  sqrlem1  12048  sqrlem6  12053  sqrlem7  12054  absrele  12113  abstri  12134  amgm2  12173  sinbnd  12781  cosbnd  12782  cos01bnd  12787  cos01gt0  12792  absefi  12797  pythagtriplem10  13194  pockthg  13274  prmreclem1  13284  4sqlem12  13324  4sqlem15  13327  4sqlem16  13328  prmlem1  13430  prmlem2  13442  cphnmf  19158  reipcl  19160  ipcau2  19191  minveclem2  19327  minveclem3b  19329  minveclem3  19330  minveclem4  19333  minveclem6  19335  minveclem7  19336  pjthlem1  19338  itgabs  19726  dveflem  19863  tangtx  20413  tanregt0  20441  cxpsqr  20594  lawcoslem1  20657  birthdaylem3  20792  cxp2limlem  20814  basellem8  20870  bposlem6  21073  2sqblem  21161  rplogsumlem2  21179  logdivsum  21227  mulog2sumlem1  21228  mulog2sumlem2  21229  vmalogdivsum2  21232  log2sumbnd  21238  selberglem2  21240  logdivbnd  21250  pntpbnd1a  21279  pntlemb  21291  pntlemr  21296  pntlemk  21300  pntlemo  21301  ipval2lem2  22200  ipval2lem5  22206  minvecolem2  22377  minvecolem3  22378  minvecolem4  22382  minvecolem5  22383  minvecolem6  22384  minvecolem7  22385  normpyc  22648  pjhthlem1  22893  chscllem2  23140  pjssposi  23675  hstle1  23729  hst1h  23730  hstle  23733  hstoh  23735  strlem3a  23755  sqsscirc1  24306  sinccvglem  25109  eqeelen  25843  brbtwn2  25844  colinearalglem4  25848  axcgrid  25855  axsegconlem2  25857  axsegconlem3  25858  axsegconlem9  25864  ax5seglem1  25867  ax5seglem2  25868  ax5seglem3  25870  ax5seg  25877  itgabsnc  26274  dvreasin  26290  areacirclem1  26292  areacirclem2  26293  areacirclem4  26295  areacirc  26297  csbrn  26456  trirn  26457  cntotbnd  26505  rrnmet  26538  rrndstprj1  26539  rrndstprj2  26540  pellexlem2  26893  pellexlem6  26897  pell14qrgt0  26922  pell1qrgaplem  26936  rmspecnonsq  26970  rmspecpos  26979  jm3.1lem2  27089  stirlinglem10  27808
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-2 10058  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-seq 11324  df-exp 11383
  Copyright terms: Public domain W3C validator