MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  resqcld Unicode version

Theorem resqcld 11287
Description: Closure of square in reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
resqcld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
resqcld  |-  ( ph  ->  ( A ^ 2 )  e.  RR )

Proof of Theorem resqcld
StepHypRef Expression
1 resqcld.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 resqcl 11187 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A ^ 2 )  e.  RR )
31, 2syl 15 1  |-  ( ph  ->  ( A ^ 2 )  e.  RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1696  (class class class)co 5874   RRcr 8752   2c2 9811   ^cexp 11120
This theorem is referenced by:  cjmulge0  11647  sqrlem1  11744  sqrlem6  11749  sqrlem7  11750  absrele  11809  abstri  11830  amgm2  11869  sinbnd  12476  cosbnd  12477  cos01bnd  12482  cos01gt0  12487  absefi  12492  pythagtriplem10  12889  pockthg  12969  prmreclem1  12979  4sqlem12  13019  4sqlem15  13022  4sqlem16  13023  prmlem1  13125  prmlem2  13137  cphnmf  18647  reipcl  18649  ipcau2  18680  minveclem2  18806  minveclem3b  18808  minveclem3  18809  minveclem4  18812  minveclem6  18814  minveclem7  18815  pjthlem1  18817  itgabs  19205  dveflem  19342  tangtx  19889  tanregt0  19917  cxpsqr  20066  lawcoslem1  20129  birthdaylem3  20264  cxp2limlem  20286  basellem8  20341  bposlem6  20544  2sqblem  20632  rplogsumlem2  20650  logdivsum  20698  mulog2sumlem1  20699  mulog2sumlem2  20700  vmalogdivsum2  20703  log2sumbnd  20709  selberglem2  20711  logdivbnd  20721  pntpbnd1a  20750  pntlemb  20762  pntlemr  20767  pntlemk  20771  pntlemo  20772  ipval2lem2  21293  ipval2lem5  21299  minvecolem2  21470  minvecolem3  21471  minvecolem4  21475  minvecolem5  21476  minvecolem6  21477  minvecolem7  21478  normpyc  21741  pjhthlem1  21986  chscllem2  22233  pjssposi  22768  hstle1  22822  hst1h  22823  hstle  22826  hstoh  22828  strlem3a  22848  sqsscirc1  23307  sinccvglem  24020  eqeelen  24604  brbtwn2  24605  colinearalglem4  24609  axcgrid  24616  axsegconlem2  24618  axsegconlem3  24619  axsegconlem9  24625  ax5seglem1  24628  ax5seglem2  24629  ax5seglem3  24631  ax5seg  24638  itgabsnc  25020  dvreasin  25026  areacirclem2  25028  areacirclem3  25029  areacirclem4  25030  areacirclem5  25032  areacirc  25034  csbrn  26565  trirn  26566  cntotbnd  26623  rrnmet  26656  rrndstprj1  26657  rrndstprj2  26658  pellexlem2  27018  pellexlem6  27022  pell14qrgt0  27047  pell1qrgaplem  27061  rmspecnonsq  27095  rmspecpos  27104  jm3.1lem2  27214
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-seq 11063  df-exp 11121
  Copyright terms: Public domain W3C validator