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Theorem resqrcl 11739
Description: Closure of the square root function. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2013.)
Assertion
Ref Expression
resqrcl  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  -> 
( sqr `  A
)  e.  RR )

Proof of Theorem resqrcl
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 resqrex 11736 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  ->  E. y  e.  RR  ( 0  <_  y  /\  ( y ^ 2 )  =  A ) )
2 simp1l 979 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  y  e.  RR  /\  ( 0  <_  y  /\  ( y ^ 2 )  =  A ) )  ->  A  e.  RR )
3 recn 8827 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  CC )
4 sqrval 11722 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  ( sqr `  A )  =  ( iota_ x  e.  CC ( ( x ^
2 )  =  A  /\  0  <_  (
Re `  x )  /\  ( _i  x.  x
)  e/  RR+ ) ) )
52, 3, 43syl 18 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  y  e.  RR  /\  ( 0  <_  y  /\  ( y ^ 2 )  =  A ) )  ->  ( sqr `  A )  =  (
iota_ x  e.  CC ( ( x ^
2 )  =  A  /\  0  <_  (
Re `  x )  /\  ( _i  x.  x
)  e/  RR+ ) ) )
6 simp3r 984 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  y  e.  RR  /\  ( 0  <_  y  /\  ( y ^ 2 )  =  A ) )  ->  ( y ^ 2 )  =  A )
7 simp3l 983 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  y  e.  RR  /\  ( 0  <_  y  /\  ( y ^ 2 )  =  A ) )  ->  0  <_  y )
8 rere 11607 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR  ->  (
Re `  y )  =  y )
983ad2ant2 977 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  y  e.  RR  /\  ( 0  <_  y  /\  ( y ^ 2 )  =  A ) )  ->  ( Re `  y )  =  y )
107, 9breqtrrd 4049 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  y  e.  RR  /\  ( 0  <_  y  /\  ( y ^ 2 )  =  A ) )  ->  0  <_  ( Re `  y ) )
11 rennim 11724 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  RR  ->  (
_i  x.  y )  e/  RR+ )
12113ad2ant2 977 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  y  e.  RR  /\  ( 0  <_  y  /\  ( y ^ 2 )  =  A ) )  ->  ( _i  x.  y )  e/  RR+ )
136, 10, 123jca 1132 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  y  e.  RR  /\  ( 0  <_  y  /\  ( y ^ 2 )  =  A ) )  ->  ( (
y ^ 2 )  =  A  /\  0  <_  ( Re `  y
)  /\  ( _i  x.  y )  e/  RR+ )
)
14 recn 8827 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  RR  ->  y  e.  CC )
15143ad2ant2 977 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  y  e.  RR  /\  ( 0  <_  y  /\  ( y ^ 2 )  =  A ) )  ->  y  e.  CC )
16 resqreu 11738 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  ->  E! x  e.  CC  ( ( x ^
2 )  =  A  /\  0  <_  (
Re `  x )  /\  ( _i  x.  x
)  e/  RR+ ) )
17163ad2ant1 976 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  y  e.  RR  /\  ( 0  <_  y  /\  ( y ^ 2 )  =  A ) )  ->  E! x  e.  CC  ( ( x ^ 2 )  =  A  /\  0  <_ 
( Re `  x
)  /\  ( _i  x.  x )  e/  RR+ )
)
18 oveq1 5865 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
x ^ 2 )  =  ( y ^
2 ) )
1918eqeq1d 2291 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
( x ^ 2 )  =  A  <->  ( y ^ 2 )  =  A ) )
20 fveq2 5525 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
Re `  x )  =  ( Re `  y ) )
2120breq2d 4035 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
0  <_  ( Re `  x )  <->  0  <_  ( Re `  y ) ) )
22 oveq2 5866 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
_i  x.  x )  =  ( _i  x.  y ) )
23 neleq1 2537 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( _i  x.  x )  =  ( _i  x.  y )  ->  (
( _i  x.  x
)  e/  RR+  <->  ( _i  x.  y )  e/  RR+ )
)
2422, 23syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
( _i  x.  x
)  e/  RR+  <->  ( _i  x.  y )  e/  RR+ )
)
2519, 21, 243anbi123d 1252 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( x ^
2 )  =  A  /\  0  <_  (
Re `  x )  /\  ( _i  x.  x
)  e/  RR+ )  <->  ( (
y ^ 2 )  =  A  /\  0  <_  ( Re `  y
)  /\  ( _i  x.  y )  e/  RR+ )
) )
2625riota2 6327 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  CC  /\  E! x  e.  CC  ( ( x ^
2 )  =  A  /\  0  <_  (
Re `  x )  /\  ( _i  x.  x
)  e/  RR+ ) )  ->  ( ( ( y ^ 2 )  =  A  /\  0  <_  ( Re `  y
)  /\  ( _i  x.  y )  e/  RR+ )  <->  (
iota_ x  e.  CC ( ( x ^
2 )  =  A  /\  0  <_  (
Re `  x )  /\  ( _i  x.  x
)  e/  RR+ ) )  =  y ) )
2715, 17, 26syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  y  e.  RR  /\  ( 0  <_  y  /\  ( y ^ 2 )  =  A ) )  ->  ( (
( y ^ 2 )  =  A  /\  0  <_  ( Re `  y )  /\  (
_i  x.  y )  e/  RR+ )  <->  ( iota_ x  e.  CC ( ( x ^ 2 )  =  A  /\  0  <_  ( Re `  x
)  /\  ( _i  x.  x )  e/  RR+ )
)  =  y ) )
2813, 27mpbid 201 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  y  e.  RR  /\  ( 0  <_  y  /\  ( y ^ 2 )  =  A ) )  ->  ( iota_ x  e.  CC ( ( x ^ 2 )  =  A  /\  0  <_  ( Re `  x
)  /\  ( _i  x.  x )  e/  RR+ )
)  =  y )
295, 28eqtrd 2315 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  y  e.  RR  /\  ( 0  <_  y  /\  ( y ^ 2 )  =  A ) )  ->  ( sqr `  A )  =  y )
30 simp2 956 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  y  e.  RR  /\  ( 0  <_  y  /\  ( y ^ 2 )  =  A ) )  ->  y  e.  RR )
3129, 30eqeltrd 2357 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  y  e.  RR  /\  ( 0  <_  y  /\  ( y ^ 2 )  =  A ) )  ->  ( sqr `  A )  e.  RR )
3231rexlimdv3a 2669 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  -> 
( E. y  e.  RR  ( 0  <_ 
y  /\  ( y ^ 2 )  =  A )  ->  ( sqr `  A )  e.  RR ) )
331, 32mpd 14 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  -> 
( sqr `  A
)  e.  RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    e/ wnel 2447   E.wrex 2544   E!wreu 2545   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   iota_crio 6297   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   _ici 8739    x. cmul 8742    <_ cle 8868   2c2 9795   RR+crp 10354   ^cexp 11104   Recre 11582   sqrcsqr 11718
This theorem is referenced by:  resqrthlem  11740  remsqsqr  11742  sqrge0  11743  sqrgt0  11744  sqrmul  11745  sqrle  11746  sqrlt  11747  sqr11  11748  rpsqrcl  11750  sqrdiv  11751  sqrneglem  11752  sqrneg  11753  sqrsq2  11754  abscl  11763  sqreulem  11843  sqreu  11844  amgm2  11853  sqrcli  11855  resqrcld  11900  resqrcn  20089  loglesqr  20098  1cubrlem  20137
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-seq 11047  df-exp 11105  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720
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