MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  resqrcn Structured version   Unicode version

Theorem resqrcn 20634
Description: Continuity of the real square root function. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
resqrcn  |-  ( sqr  |`  ( 0 [,)  +oo ) )  e.  ( ( 0 [,)  +oo ) -cn-> RR )

Proof of Theorem resqrcn
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sqrf 12168 . . . . . . 7  |-  sqr : CC
--> CC
21a1i 11 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  sqr : CC --> CC )
32feqmptd 5780 . . . . 5  |-  (  T. 
->  sqr  =  ( x  e.  CC  |->  ( sqr `  x ) ) )
43reseq1d 5146 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( sqr  |`  (
0 [,)  +oo ) )  =  ( ( x  e.  CC  |->  ( sqr `  x ) )  |`  ( 0 [,)  +oo ) ) )
5 elrege0 11008 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )
65simplbi 448 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 0 [,) 
+oo )  ->  x  e.  RR )
76recnd 9115 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( 0 [,) 
+oo )  ->  x  e.  CC )
87ssriv 3353 . . . . 5  |-  ( 0 [,)  +oo )  C_  CC
9 resmpt 5192 . . . . 5  |-  ( ( 0 [,)  +oo )  C_  CC  ->  ( (
x  e.  CC  |->  ( sqr `  x ) )  |`  ( 0 [,)  +oo ) )  =  ( x  e.  ( 0 [,)  +oo )  |->  ( sqr `  x
) ) )
108, 9mp1i 12 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( ( x  e.  CC  |->  ( sqr `  x
) )  |`  (
0 [,)  +oo ) )  =  ( x  e.  ( 0 [,)  +oo )  |->  ( sqr `  x
) ) )
114, 10eqtrd 2469 . . 3  |-  (  T. 
->  ( sqr  |`  (
0 [,)  +oo ) )  =  ( x  e.  ( 0 [,)  +oo )  |->  ( sqr `  x
) ) )
1211trud 1333 . 2  |-  ( sqr  |`  ( 0 [,)  +oo ) )  =  ( x  e.  ( 0 [,)  +oo )  |->  ( sqr `  x ) )
13 eqid 2437 . . . 4  |-  ( x  e.  ( 0 [,) 
+oo )  |->  ( sqr `  x ) )  =  ( x  e.  ( 0 [,)  +oo )  |->  ( sqr `  x
) )
14 resqrcl 12060 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  -> 
( sqr `  x
)  e.  RR )
155, 14sylbi 189 . . . 4  |-  ( x  e.  ( 0 [,) 
+oo )  ->  ( sqr `  x )  e.  RR )
1613, 15fmpti 5893 . . 3  |-  ( x  e.  ( 0 [,) 
+oo )  |->  ( sqr `  x ) ) : ( 0 [,)  +oo )
--> RR
17 ax-resscn 9048 . . . 4  |-  RR  C_  CC
18 cxpsqr 20595 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  CC  ->  (
x  ^ c  ( 1  /  2 ) )  =  ( sqr `  x ) )
197, 18syl 16 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 0 [,) 
+oo )  ->  (
x  ^ c  ( 1  /  2 ) )  =  ( sqr `  x ) )
2019mpteq2ia 4292 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( 0 [,) 
+oo )  |->  ( x  ^ c  ( 1  /  2 ) ) )  =  ( x  e.  ( 0 [,) 
+oo )  |->  ( sqr `  x ) )
21 eqid 2437 . . . . . . . . . . 11  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
2221cnfldtopon 18818 . . . . . . . . . 10  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )
2322a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  (  T. 
->  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC ) )
24 resttopon 17226 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )  /\  (
0 [,)  +oo )  C_  CC )  ->  ( (
TopOpen ` fld )t  ( 0 [,)  +oo ) )  e.  (TopOn `  ( 0 [,)  +oo ) ) )
2523, 8, 24sylancl 645 . . . . . . . 8  |-  (  T. 
->  ( ( TopOpen ` fld )t  ( 0 [,) 
+oo ) )  e.  (TopOn `  ( 0 [,)  +oo ) ) )
2625cnmptid 17694 . . . . . . . 8  |-  (  T. 
->  ( x  e.  ( 0 [,)  +oo )  |->  x )  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( 0 [,) 
+oo ) )  Cn  ( ( TopOpen ` fld )t  ( 0 [,) 
+oo ) ) ) )
27 cnvimass 5225 . . . . . . . . . . 11  |-  ( `' Re " RR+ )  C_ 
dom  Re
28 ref 11918 . . . . . . . . . . . 12  |-  Re : CC
--> RR
2928fdmi 5597 . . . . . . . . . . 11  |-  dom  Re  =  CC
3027, 29sseqtri 3381 . . . . . . . . . 10  |-  ( `' Re " RR+ )  C_  CC
31 resttopon 17226 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )  /\  ( `' Re " RR+ )  C_  CC )  ->  (
( TopOpen ` fld )t  ( `' Re "
RR+ ) )  e.  (TopOn `  ( `' Re " RR+ ) ) )
3223, 30, 31sylancl 645 . . . . . . . . 9  |-  (  T. 
->  ( ( TopOpen ` fld )t  ( `' Re "
RR+ ) )  e.  (TopOn `  ( `' Re " RR+ ) ) )
33 ax-1cn 9049 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  CC
34 halfcl 10194 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  e.  CC  ->  (
1  /  2 )  e.  CC )
3533, 34ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  /  2 )  e.  CC
36 1rp 10617 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  RR+
37 rphalfcl 10637 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1  e.  RR+  ->  ( 1  /  2 )  e.  RR+ )
3836, 37ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR+
39 rpre 10619 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1  /  2 )  e.  RR+  ->  ( 1  /  2 )  e.  RR )
40 rere 11928 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1  /  2 )  e.  RR  ->  (
Re `  ( 1  /  2 ) )  =  ( 1  / 
2 ) )
4138, 39, 40mp2b 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Re
`  ( 1  / 
2 ) )  =  ( 1  /  2
)
4241, 38eqeltri 2507 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Re
`  ( 1  / 
2 ) )  e.  RR+
43 ffn 5592 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Re : CC --> RR  ->  Re  Fn  CC )
44 elpreima 5851 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Re  Fn  CC  ->  (
( 1  /  2
)  e.  ( `' Re " RR+ )  <->  ( ( 1  /  2
)  e.  CC  /\  ( Re `  ( 1  /  2 ) )  e.  RR+ ) ) )
4528, 43, 44mp2b 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  /  2 )  e.  ( `' Re "
RR+ )  <->  ( (
1  /  2 )  e.  CC  /\  (
Re `  ( 1  /  2 ) )  e.  RR+ ) )
4635, 42, 45mpbir2an 888 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  /  2 )  e.  ( `' Re " RR+ )
4746a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  (  T. 
->  ( 1  /  2
)  e.  ( `' Re " RR+ )
)
4825, 32, 47cnmptc 17695 . . . . . . . 8  |-  (  T. 
->  ( x  e.  ( 0 [,)  +oo )  |->  ( 1  /  2
) )  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( 0 [,) 
+oo ) )  Cn  ( ( TopOpen ` fld )t  ( `' Re "
RR+ ) ) ) )
49 eqid 2437 . . . . . . . . . 10  |-  ( `' Re " RR+ )  =  ( `' Re "
RR+ )
50 eqid 2437 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  ( 0 [,)  +oo ) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  ( 0 [,) 
+oo ) )
51 eqid 2437 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  ( `' Re " RR+ ) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  ( `' Re "
RR+ ) )
5249, 21, 50, 51cxpcn3 20633 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( 0 [,) 
+oo ) ,  z  e.  ( `' Re "
RR+ )  |->  ( y  ^ c  z ) )  e.  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( 0 [,) 
+oo ) )  tX  ( ( TopOpen ` fld )t  ( `' Re "
RR+ ) ) )  Cn  ( TopOpen ` fld ) )
5352a1i 11 . . . . . . . 8  |-  (  T. 
->  ( y  e.  ( 0 [,)  +oo ) ,  z  e.  ( `' Re " RR+ )  |->  ( y  ^ c 
z ) )  e.  ( ( ( (
TopOpen ` fld )t  ( 0 [,)  +oo ) )  tX  (
( TopOpen ` fld )t  ( `' Re "
RR+ ) ) )  Cn  ( TopOpen ` fld ) ) )
54 oveq12 6091 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  =  x  /\  z  =  ( 1  /  2 ) )  ->  ( y  ^ c  z )  =  ( x  ^ c 
( 1  /  2
) ) )
5525, 26, 48, 25, 32, 53, 54cnmpt12 17700 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  ( x  e.  ( 0 [,)  +oo )  |->  ( x  ^ c 
( 1  /  2
) ) )  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )t  (
0 [,)  +oo ) )  Cn  ( TopOpen ` fld ) ) )
56 ssid 3368 . . . . . . . 8  |-  CC  C_  CC
5722toponunii 16998 . . . . . . . . . . . 12  |-  CC  =  U. ( TopOpen ` fld )
5857restid 13662 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )  ->  ( (
TopOpen ` fld )t  CC )  =  (
TopOpen ` fld ) )
5922, 58ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  CC )  =  (
TopOpen ` fld )
6059eqcomi 2441 . . . . . . . . 9  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  CC )
6121, 50, 60cncfcn 18940 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 0 [,)  +oo )  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  (
( 0 [,)  +oo ) -cn-> CC )  =  ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( 0 [,) 
+oo ) )  Cn  ( TopOpen ` fld ) ) )
628, 56, 61mp2an 655 . . . . . . 7  |-  ( ( 0 [,)  +oo ) -cn->
CC )  =  ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( 0 [,) 
+oo ) )  Cn  ( TopOpen ` fld ) )
6355, 62syl6eleqr 2528 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( x  e.  ( 0 [,)  +oo )  |->  ( x  ^ c 
( 1  /  2
) ) )  e.  ( ( 0 [,) 
+oo ) -cn-> CC ) )
6420, 63syl5eqelr 2522 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( x  e.  ( 0 [,)  +oo )  |->  ( sqr `  x
) )  e.  ( ( 0 [,)  +oo ) -cn-> CC ) )
6564trud 1333 . . . 4  |-  ( x  e.  ( 0 [,) 
+oo )  |->  ( sqr `  x ) )  e.  ( ( 0 [,) 
+oo ) -cn-> CC )
66 cncffvrn 18929 . . . 4  |-  ( ( RR  C_  CC  /\  (
x  e.  ( 0 [,)  +oo )  |->  ( sqr `  x ) )  e.  ( ( 0 [,) 
+oo ) -cn-> CC ) )  ->  ( (
x  e.  ( 0 [,)  +oo )  |->  ( sqr `  x ) )  e.  ( ( 0 [,) 
+oo ) -cn-> RR )  <-> 
( x  e.  ( 0 [,)  +oo )  |->  ( sqr `  x
) ) : ( 0 [,)  +oo ) --> RR ) )
6717, 65, 66mp2an 655 . . 3  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,)  +oo )  |->  ( sqr `  x ) )  e.  ( ( 0 [,) 
+oo ) -cn-> RR )  <-> 
( x  e.  ( 0 [,)  +oo )  |->  ( sqr `  x
) ) : ( 0 [,)  +oo ) --> RR )
6816, 67mpbir 202 . 2  |-  ( x  e.  ( 0 [,) 
+oo )  |->  ( sqr `  x ) )  e.  ( ( 0 [,) 
+oo ) -cn-> RR )
6912, 68eqeltri 2507 1  |-  ( sqr  |`  ( 0 [,)  +oo ) )  e.  ( ( 0 [,)  +oo ) -cn-> RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 178    /\ wa 360    T. wtru 1326    = wceq 1653    e. wcel 1726    C_ wss 3321   class class class wbr 4213    e. cmpt 4267   `'ccnv 4878   dom cdm 4879    |` cres 4881   "cima 4882    Fn wfn 5450   -->wf 5451   ` cfv 5455  (class class class)co 6082    e. cmpt2 6084   CCcc 8989   RRcr 8990   0cc0 8991   1c1 8992    +oocpnf 9118    <_ cle 9122    / cdiv 9678   2c2 10050   RR+crp 10613   [,)cico 10919   Recre 11903   sqrcsqr 12039   ↾t crest 13649   TopOpenctopn 13650  ℂfldccnfld 16704  TopOnctopon 16960    Cn ccn 17289    tX ctx 17593   -cn->ccncf 18907    ^ c ccxp 20454
This theorem is referenced by:  loglesqr  20643  areacirclem2  26294
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-rep 4321  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-inf2 7597  ax-cnex 9047  ax-resscn 9048  ax-1cn 9049  ax-icn 9050  ax-addcl 9051  ax-addrcl 9052  ax-mulcl 9053  ax-mulrcl 9054  ax-mulcom 9055  ax-addass 9056  ax-mulass 9057  ax-distr 9058  ax-i2m1 9059  ax-1ne0 9060  ax-1rid 9061  ax-rnegex 9062  ax-rrecex 9063  ax-cnre 9064  ax-pre-lttri 9065  ax-pre-lttrn 9066  ax-pre-ltadd 9067  ax-pre-mulgt0 9068  ax-pre-sup 9069  ax-addf 9070  ax-mulf 9071
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rmo 2714  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-int 4052  df-iun 4096  df-iin 4097  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-se 4543  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-isom 5464  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-of 6306  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-riota 6550  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-1o 6725  df-2o 6726  df-oadd 6729  df-er 6906  df-map 7021  df-pm 7022  df-ixp 7065  df-en 7111  df-dom 7112  df-sdom 7113  df-fin 7114  df-fi 7417  df-sup 7447  df-oi 7480  df-card 7827  df-cda 8049  df-pnf 9123  df-mnf 9124  df-xr 9125  df-ltxr 9126  df-le 9127  df-sub 9294  df-neg 9295  df-div 9679  df-nn 10002  df-2 10059  df-3 10060  df-4 10061  df-5 10062  df-6 10063  df-7 10064  df-8 10065  df-9 10066  df-10 10067  df-n0 10223  df-z 10284  df-dec 10384  df-uz 10490  df-q 10576  df-rp 10614  df-xneg 10711  df-xadd 10712  df-xmul 10713  df-ioo 10921  df-ioc 10922  df-ico 10923  df-icc 10924  df-fz 11045  df-fzo 11137  df-fl 11203  df-mod 11252  df-seq 11325  df-exp 11384  df-fac 11568  df-bc 11595  df-hash 11620  df-shft 11883  df-cj 11905  df-re 11906  df-im 11907  df-sqr 12041  df-abs 12042  df-limsup 12266  df-clim 12283  df-rlim 12284  df-sum 12481  df-ef 12671  df-sin 12673  df-cos 12674  df-tan 12675  df-pi 12676  df-struct 13472  df-ndx 13473  df-slot 13474  df-base 13475  df-sets 13476  df-ress 13477  df-plusg 13543  df-mulr 13544  df-starv 13545  df-sca 13546  df-vsca 13547  df-tset 13549  df-ple 13550  df-ds 13552  df-unif 13553  df-hom 13554  df-cco 13555  df-rest 13651  df-topn 13652  df-topgen 13668  df-pt 13669  df-prds 13672  df-xrs 13727  df-0g 13728  df-gsum 13729  df-qtop 13734  df-imas 13735  df-xps 13737  df-mre 13812  df-mrc 13813  df-acs 13815  df-mnd 14691  df-submnd 14740  df-mulg 14816  df-cntz 15117  df-cmn 15415  df-psmet 16695  df-xmet 16696  df-met 16697  df-bl 16698  df-mopn 16699  df-fbas 16700  df-fg 16701  df-cnfld 16705  df-top 16964  df-bases 16966  df-topon 16967  df-topsp 16968  df-cld 17084  df-ntr 17085  df-cls 17086  df-nei 17163  df-lp 17201  df-perf 17202  df-cn 17292  df-cnp 17293  df-haus 17380  df-cmp 17451  df-tx 17595  df-hmeo 17788  df-fil 17879  df-fm 17971  df-flim 17972  df-flf 17973  df-xms 18351  df-ms 18352  df-tms 18353  df-cncf 18909  df-limc 19754  df-dv 19755  df-log 20455  df-cxp 20456
  Copyright terms: Public domain W3C validator