MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  resqreu Structured version   Unicode version

Theorem resqreu 12063
Description: Existence and uniqueness for the real square root function. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2013.)
Assertion
Ref Expression
resqreu  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  ->  E! x  e.  CC  ( ( x ^
2 )  =  A  /\  0  <_  (
Re `  x )  /\  ( _i  x.  x
)  e/  RR+ ) )
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem resqreu
StepHypRef Expression
1 resqrex 12061 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  ->  E. x  e.  RR  ( 0  <_  x  /\  ( x ^ 2 )  =  A ) )
2 recn 9085 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  CC )
32adantr 453 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  RR  /\  ( 0  <_  x  /\  ( x ^ 2 )  =  A ) )  ->  x  e.  CC )
4 simprr 735 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  RR  /\  ( 0  <_  x  /\  ( x ^ 2 )  =  A ) )  ->  ( x ^ 2 )  =  A )
5 rere 11932 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR  ->  (
Re `  x )  =  x )
65breq2d 4227 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR  ->  (
0  <_  ( Re `  x )  <->  0  <_  x ) )
76biimpar 473 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  -> 
0  <_  ( Re `  x ) )
87adantrr 699 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  RR  /\  ( 0  <_  x  /\  ( x ^ 2 )  =  A ) )  ->  0  <_  ( Re `  x ) )
9 rennim 12049 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR  ->  (
_i  x.  x )  e/  RR+ )
109adantr 453 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  RR  /\  ( 0  <_  x  /\  ( x ^ 2 )  =  A ) )  ->  ( _i  x.  x )  e/  RR+ )
114, 8, 103jca 1135 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  RR  /\  ( 0  <_  x  /\  ( x ^ 2 )  =  A ) )  ->  ( (
x ^ 2 )  =  A  /\  0  <_  ( Re `  x
)  /\  ( _i  x.  x )  e/  RR+ )
)
123, 11jca 520 . . . 4  |-  ( ( x  e.  RR  /\  ( 0  <_  x  /\  ( x ^ 2 )  =  A ) )  ->  ( x  e.  CC  /\  ( ( x ^ 2 )  =  A  /\  0  <_  ( Re `  x
)  /\  ( _i  x.  x )  e/  RR+ )
) )
1312reximi2 2814 . . 3  |-  ( E. x  e.  RR  (
0  <_  x  /\  ( x ^ 2 )  =  A )  ->  E. x  e.  CC  ( ( x ^
2 )  =  A  /\  0  <_  (
Re `  x )  /\  ( _i  x.  x
)  e/  RR+ ) )
141, 13syl 16 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  ->  E. x  e.  CC  ( ( x ^
2 )  =  A  /\  0  <_  (
Re `  x )  /\  ( _i  x.  x
)  e/  RR+ ) )
15 recn 9085 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  CC )
1615adantr 453 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  ->  A  e.  CC )
17 sqrmo 12062 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  E* x  e.  CC (
( x ^ 2 )  =  A  /\  0  <_  ( Re `  x )  /\  (
_i  x.  x )  e/  RR+ ) )
1816, 17syl 16 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  ->  E* x  e.  CC ( ( x ^
2 )  =  A  /\  0  <_  (
Re `  x )  /\  ( _i  x.  x
)  e/  RR+ ) )
19 reu5 2923 . 2  |-  ( E! x  e.  CC  (
( x ^ 2 )  =  A  /\  0  <_  ( Re `  x )  /\  (
_i  x.  x )  e/  RR+ )  <->  ( E. x  e.  CC  (
( x ^ 2 )  =  A  /\  0  <_  ( Re `  x )  /\  (
_i  x.  x )  e/  RR+ )  /\  E* x  e.  CC (
( x ^ 2 )  =  A  /\  0  <_  ( Re `  x )  /\  (
_i  x.  x )  e/  RR+ ) ) )
2014, 18, 19sylanbrc 647 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  ->  E! x  e.  CC  ( ( x ^
2 )  =  A  /\  0  <_  (
Re `  x )  /\  ( _i  x.  x
)  e/  RR+ ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726    e/ wnel 2602   E.wrex 2708   E!wreu 2709   E*wrmo 2710   class class class wbr 4215   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   CCcc 8993   RRcr 8994   0cc0 8995   _ici 8997    x. cmul 9000    <_ cle 9126   2c2 10054   RR+crp 10617   ^cexp 11387   Recre 11907
This theorem is referenced by:  resqrcl  12064  resqrthlem  12065
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-sup 7449  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-rp 10618  df-seq 11329  df-exp 11388  df-cj 11909  df-re 11910  df-im 11911
  Copyright terms: Public domain W3C validator