MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  resqreu Unicode version

Theorem resqreu 12021
Description: Existence and uniqueness for the real square root function. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2013.)
Assertion
Ref Expression
resqreu  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  ->  E! x  e.  CC  ( ( x ^
2 )  =  A  /\  0  <_  (
Re `  x )  /\  ( _i  x.  x
)  e/  RR+ ) )
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem resqreu
StepHypRef Expression
1 resqrex 12019 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  ->  E. x  e.  RR  ( 0  <_  x  /\  ( x ^ 2 )  =  A ) )
2 recn 9044 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  CC )
32adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  RR  /\  ( 0  <_  x  /\  ( x ^ 2 )  =  A ) )  ->  x  e.  CC )
4 simprr 734 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  RR  /\  ( 0  <_  x  /\  ( x ^ 2 )  =  A ) )  ->  ( x ^ 2 )  =  A )
5 rere 11890 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR  ->  (
Re `  x )  =  x )
65breq2d 4192 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR  ->  (
0  <_  ( Re `  x )  <->  0  <_  x ) )
76biimpar 472 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  -> 
0  <_  ( Re `  x ) )
87adantrr 698 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  RR  /\  ( 0  <_  x  /\  ( x ^ 2 )  =  A ) )  ->  0  <_  ( Re `  x ) )
9 rennim 12007 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR  ->  (
_i  x.  x )  e/  RR+ )
109adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  RR  /\  ( 0  <_  x  /\  ( x ^ 2 )  =  A ) )  ->  ( _i  x.  x )  e/  RR+ )
114, 8, 103jca 1134 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  RR  /\  ( 0  <_  x  /\  ( x ^ 2 )  =  A ) )  ->  ( (
x ^ 2 )  =  A  /\  0  <_  ( Re `  x
)  /\  ( _i  x.  x )  e/  RR+ )
)
123, 11jca 519 . . . 4  |-  ( ( x  e.  RR  /\  ( 0  <_  x  /\  ( x ^ 2 )  =  A ) )  ->  ( x  e.  CC  /\  ( ( x ^ 2 )  =  A  /\  0  <_  ( Re `  x
)  /\  ( _i  x.  x )  e/  RR+ )
) )
1312reximi2 2780 . . 3  |-  ( E. x  e.  RR  (
0  <_  x  /\  ( x ^ 2 )  =  A )  ->  E. x  e.  CC  ( ( x ^
2 )  =  A  /\  0  <_  (
Re `  x )  /\  ( _i  x.  x
)  e/  RR+ ) )
141, 13syl 16 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  ->  E. x  e.  CC  ( ( x ^
2 )  =  A  /\  0  <_  (
Re `  x )  /\  ( _i  x.  x
)  e/  RR+ ) )
15 recn 9044 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  CC )
1615adantr 452 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  ->  A  e.  CC )
17 sqrmo 12020 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  E* x  e.  CC (
( x ^ 2 )  =  A  /\  0  <_  ( Re `  x )  /\  (
_i  x.  x )  e/  RR+ ) )
1816, 17syl 16 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  ->  E* x  e.  CC ( ( x ^
2 )  =  A  /\  0  <_  (
Re `  x )  /\  ( _i  x.  x
)  e/  RR+ ) )
19 reu5 2889 . 2  |-  ( E! x  e.  CC  (
( x ^ 2 )  =  A  /\  0  <_  ( Re `  x )  /\  (
_i  x.  x )  e/  RR+ )  <->  ( E. x  e.  CC  (
( x ^ 2 )  =  A  /\  0  <_  ( Re `  x )  /\  (
_i  x.  x )  e/  RR+ )  /\  E* x  e.  CC (
( x ^ 2 )  =  A  /\  0  <_  ( Re `  x )  /\  (
_i  x.  x )  e/  RR+ ) ) )
2014, 18, 19sylanbrc 646 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  ->  E! x  e.  CC  ( ( x ^
2 )  =  A  /\  0  <_  (
Re `  x )  /\  ( _i  x.  x
)  e/  RR+ ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721    e/ wnel 2576   E.wrex 2675   E!wreu 2676   E*wrmo 2677   class class class wbr 4180   ` cfv 5421  (class class class)co 6048   CCcc 8952   RRcr 8953   0cc0 8954   _ici 8956    x. cmul 8959    <_ cle 9085   2c2 10013   RR+crp 10576   ^cexp 11345   Recre 11865
This theorem is referenced by:  resqrcl  12022  resqrthlem  12023
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031  ax-pre-sup 9032
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rmo 2682  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-2nd 6317  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-er 6872  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-sup 7412  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-div 9642  df-nn 9965  df-2 10022  df-3 10023  df-n0 10186  df-z 10247  df-uz 10453  df-rp 10577  df-seq 11287  df-exp 11346  df-cj 11867  df-re 11868  df-im 11869
  Copyright terms: Public domain W3C validator