Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  resrhm Structured version   Unicode version

Theorem resrhm 15902
 Description: Restriction of a ring homomorphism to a subring is a homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
resrhm.u s
Assertion
Ref Expression
resrhm RingHom SubRing RingHom

Proof of Theorem resrhm
StepHypRef Expression
1 rhmrcl2 15828 . . 3 RingHom
2 resrhm.u . . . 4 s
32subrgrng 15876 . . 3 SubRing
41, 3anim12ci 552 . 2 RingHom SubRing
5 rhmghm 15831 . . . 4 RingHom
6 subrgsubg 15879 . . . 4 SubRing SubGrp
72resghm 15027 . . . 4 SubGrp
85, 6, 7syl2an 465 . . 3 RingHom SubRing
9 eqid 2438 . . . . . 6 mulGrp mulGrp
10 eqid 2438 . . . . . 6 mulGrp mulGrp
119, 10rhmmhm 15830 . . . . 5 RingHom mulGrp MndHom mulGrp
129subrgsubm 15886 . . . . 5 SubRing SubMndmulGrp
13 eqid 2438 . . . . . 6 mulGrps mulGrps
1413resmhm 14764 . . . . 5 mulGrp MndHom mulGrp SubMndmulGrp mulGrps MndHom mulGrp
1511, 12, 14syl2an 465 . . . 4 RingHom SubRing mulGrps MndHom mulGrp
16 rhmrcl1 15827 . . . . . 6 RingHom
172, 9mgpress 15664 . . . . . 6 SubRing mulGrps mulGrp
1816, 17sylan 459 . . . . 5 RingHom SubRing mulGrps mulGrp
1918oveq1d 6099 . . . 4 RingHom SubRing mulGrps MndHom mulGrp mulGrp MndHom mulGrp
2015, 19eleqtrd 2514 . . 3 RingHom SubRing mulGrp MndHom mulGrp
218, 20jca 520 . 2 RingHom SubRing mulGrp MndHom mulGrp
22 eqid 2438 . . 3 mulGrp mulGrp
2322, 10isrhm 15829 . 2 RingHom mulGrp MndHom mulGrp
244, 21, 23sylanbrc 647 1 RingHom SubRing RingHom
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 360   wceq 1653   wcel 1726   cres 4883  cfv 5457  (class class class)co 6084   ↾s cress 13475   MndHom cmhm 14741  SubMndcsubmnd 14742  SubGrpcsubg 14943   cghm 15008  mulGrpcmgp 15653  crg 15665   RingHom crh 15822  SubRingcsubrg 15869 This theorem is referenced by:  evlsval2  19946 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-er 6908  df-map 7023  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-ndx 13477  df-slot 13478  df-base 13479  df-sets 13480  df-ress 13481  df-plusg 13547  df-mulr 13548  df-0g 13732  df-mnd 14695  df-mhm 14743  df-submnd 14744  df-grp 14817  df-subg 14946  df-ghm 15009  df-mgp 15654  df-rng 15668  df-ur 15670  df-rnghom 15824  df-subrg 15871
 Copyright terms: Public domain W3C validator