MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ressabs Structured version   Unicode version

Theorem ressabs 13527
Description: Restriction absorption law. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
ressabs  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  C_  A )  -> 
( ( Ws  A )s  B )  =  ( Ws  B ) )

Proof of Theorem ressabs
StepHypRef Expression
1 ssexg 4349 . . . 4  |-  ( ( B  C_  A  /\  A  e.  X )  ->  B  e.  _V )
21ancoms 440 . . 3  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  C_  A )  ->  B  e.  _V )
3 ressress 13526 . . 3  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  _V )  ->  ( ( Ws  A )s  B )  =  ( Ws  ( A  i^i  B ) ) )
42, 3syldan 457 . 2  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  C_  A )  -> 
( ( Ws  A )s  B )  =  ( Ws  ( A  i^i  B ) ) )
5 simpr 448 . . . 4  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  C_  A )  ->  B  C_  A )
6 dfss1 3545 . . . 4  |-  ( B 
C_  A  <->  ( A  i^i  B )  =  B )
75, 6sylib 189 . . 3  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  C_  A )  -> 
( A  i^i  B
)  =  B )
87oveq2d 6097 . 2  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  C_  A )  -> 
( Ws  ( A  i^i  B ) )  =  ( Ws  B ) )
94, 8eqtrd 2468 1  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  C_  A )  -> 
( ( Ws  A )s  B )  =  ( Ws  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   _Vcvv 2956    i^i cin 3319    C_ wss 3320  (class class class)co 6081   ↾s cress 13470
This theorem is referenced by:  rescabs  14033  rescabs2  14034  subsubm  14757  subsubg  14963  subgslw  15250  pgpfaclem1  15639  ablfaclem3  15645  subsubrg  15894  lsslss  16037  xrge0cmn  16740  zrngunit  16765  xrge0gsumle  18864  xrge0tsms  18865  reefgim  20366  xrge0tsmsd  24223  rrhcn  24380  lnmlsslnm  27156  lmhmlnmsplit  27162  cnmsgngrp  27413
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-nn 10001  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476
  Copyright terms: Public domain W3C validator