MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ressatans Unicode version

Theorem ressatans 20230
Description: The real number line is a subset of the domain of continuity of the arctangent. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
atansopn.d  |-  D  =  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) )
atansopn.s  |-  S  =  { y  e.  CC  |  ( 1  +  ( y ^ 2 ) )  e.  D }
Assertion
Ref Expression
ressatans  |-  RR  C_  S
Distinct variable group:    y, D
Allowed substitution hint:    S( y)

Proof of Theorem ressatans
StepHypRef Expression
1 ax-resscn 8794 . . 3  |-  RR  C_  CC
2 1re 8837 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
3 resqcl 11171 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  RR  ->  (
y ^ 2 )  e.  RR )
4 readdcl 8820 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( y ^ 2 )  e.  RR )  ->  ( 1  +  ( y ^ 2 ) )  e.  RR )
52, 3, 4sylancr 644 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  RR  ->  (
1  +  ( y ^ 2 ) )  e.  RR )
65recnd 8861 . . . . . 6  |-  ( y  e.  RR  ->  (
1  +  ( y ^ 2 ) )  e.  CC )
7 0re 8838 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  RR
87a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR  ->  0  e.  RR )
92a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR  ->  1  e.  RR )
10 0lt1 9296 . . . . . . . . . 10  |-  0  <  1
1110a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR  ->  0  <  1 )
12 sqge0 11180 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  RR  ->  0  <_  ( y ^ 2 ) )
13 addge01 9284 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( y ^ 2 )  e.  RR )  ->  ( 0  <_ 
( y ^ 2 )  <->  1  <_  (
1  +  ( y ^ 2 ) ) ) )
142, 3, 13sylancr 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  RR  ->  (
0  <_  ( y ^ 2 )  <->  1  <_  ( 1  +  ( y ^ 2 ) ) ) )
1512, 14mpbid 201 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR  ->  1  <_  ( 1  +  ( y ^ 2 ) ) )
168, 9, 5, 11, 15ltletrd 8976 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  RR  ->  0  <  ( 1  +  ( y ^ 2 ) ) )
17 ltnle 8902 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( 1  +  ( y ^ 2 ) )  e.  RR )  ->  ( 0  < 
( 1  +  ( y ^ 2 ) )  <->  -.  ( 1  +  ( y ^
2 ) )  <_ 
0 ) )
187, 5, 17sylancr 644 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  RR  ->  (
0  <  ( 1  +  ( y ^
2 ) )  <->  -.  (
1  +  ( y ^ 2 ) )  <_  0 ) )
1916, 18mpbid 201 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  RR  ->  -.  ( 1  +  ( y ^ 2 ) )  <_  0 )
20 mnfxr 10456 . . . . . . . . 9  |-  -oo  e.  RR*
21 elioc2 10713 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 
-oo  e.  RR*  /\  0  e.  RR )  ->  (
( 1  +  ( y ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 )  <->  ( (
1  +  ( y ^ 2 ) )  e.  RR  /\  -oo  <  ( 1  +  ( y ^ 2 ) )  /\  ( 1  +  ( y ^
2 ) )  <_ 
0 ) ) )
2220, 7, 21mp2an 653 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  +  ( y ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 )  <->  ( (
1  +  ( y ^ 2 ) )  e.  RR  /\  -oo  <  ( 1  +  ( y ^ 2 ) )  /\  ( 1  +  ( y ^
2 ) )  <_ 
0 ) )
2322simp3bi 972 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  +  ( y ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 )  ->  (
1  +  ( y ^ 2 ) )  <_  0 )
2419, 23nsyl 113 . . . . . 6  |-  ( y  e.  RR  ->  -.  ( 1  +  ( y ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )
25 eldif 3162 . . . . . 6  |-  ( ( 1  +  ( y ^ 2 ) )  e.  ( CC  \ 
(  -oo (,] 0 ) )  <->  ( ( 1  +  ( y ^
2 ) )  e.  CC  /\  -.  (
1  +  ( y ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) ) )
266, 24, 25sylanbrc 645 . . . . 5  |-  ( y  e.  RR  ->  (
1  +  ( y ^ 2 ) )  e.  ( CC  \ 
(  -oo (,] 0 ) ) )
27 atansopn.d . . . . 5  |-  D  =  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) )
2826, 27syl6eleqr 2374 . . . 4  |-  ( y  e.  RR  ->  (
1  +  ( y ^ 2 ) )  e.  D )
2928rgen 2608 . . 3  |-  A. y  e.  RR  ( 1  +  ( y ^ 2 ) )  e.  D
30 ssrab 3251 . . 3  |-  ( RR  C_  { y  e.  CC  |  ( 1  +  ( y ^ 2 ) )  e.  D } 
<->  ( RR  C_  CC  /\ 
A. y  e.  RR  ( 1  +  ( y ^ 2 ) )  e.  D ) )
311, 29, 30mpbir2an 886 . 2  |-  RR  C_  { y  e.  CC  | 
( 1  +  ( y ^ 2 ) )  e.  D }
32 atansopn.s . 2  |-  S  =  { y  e.  CC  |  ( 1  +  ( y ^ 2 ) )  e.  D }
3331, 32sseqtr4i 3211 1  |-  RR  C_  S
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 176    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   {crab 2547    \ cdif 3149    C_ wss 3152   class class class wbr 4023  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    -oocmnf 8865   RR*cxr 8866    < clt 8867    <_ cle 8868   2c2 9795   (,]cioc 10657   ^cexp 11104
This theorem is referenced by:  leibpi  20238
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-ioc 10661  df-seq 11047  df-exp 11105
  Copyright terms: Public domain W3C validator