MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ressatans Unicode version

Theorem ressatans 20283
Description: The real number line is a subset of the domain of continuity of the arctangent. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
atansopn.d  |-  D  =  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) )
atansopn.s  |-  S  =  { y  e.  CC  |  ( 1  +  ( y ^ 2 ) )  e.  D }
Assertion
Ref Expression
ressatans  |-  RR  C_  S
Distinct variable group:    y, D
Allowed substitution hint:    S( y)

Proof of Theorem ressatans
StepHypRef Expression
1 ax-resscn 8839 . . 3  |-  RR  C_  CC
2 1re 8882 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
3 resqcl 11218 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  RR  ->  (
y ^ 2 )  e.  RR )
4 readdcl 8865 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( y ^ 2 )  e.  RR )  ->  ( 1  +  ( y ^ 2 ) )  e.  RR )
52, 3, 4sylancr 644 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  RR  ->  (
1  +  ( y ^ 2 ) )  e.  RR )
65recnd 8906 . . . . . 6  |-  ( y  e.  RR  ->  (
1  +  ( y ^ 2 ) )  e.  CC )
7 0re 8883 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  RR
87a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR  ->  0  e.  RR )
92a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR  ->  1  e.  RR )
10 0lt1 9341 . . . . . . . . . 10  |-  0  <  1
1110a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR  ->  0  <  1 )
12 sqge0 11227 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  RR  ->  0  <_  ( y ^ 2 ) )
13 addge01 9329 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( y ^ 2 )  e.  RR )  ->  ( 0  <_ 
( y ^ 2 )  <->  1  <_  (
1  +  ( y ^ 2 ) ) ) )
142, 3, 13sylancr 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  RR  ->  (
0  <_  ( y ^ 2 )  <->  1  <_  ( 1  +  ( y ^ 2 ) ) ) )
1512, 14mpbid 201 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR  ->  1  <_  ( 1  +  ( y ^ 2 ) ) )
168, 9, 5, 11, 15ltletrd 9021 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  RR  ->  0  <  ( 1  +  ( y ^ 2 ) ) )
17 ltnle 8947 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( 1  +  ( y ^ 2 ) )  e.  RR )  ->  ( 0  < 
( 1  +  ( y ^ 2 ) )  <->  -.  ( 1  +  ( y ^
2 ) )  <_ 
0 ) )
187, 5, 17sylancr 644 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  RR  ->  (
0  <  ( 1  +  ( y ^
2 ) )  <->  -.  (
1  +  ( y ^ 2 ) )  <_  0 ) )
1916, 18mpbid 201 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  RR  ->  -.  ( 1  +  ( y ^ 2 ) )  <_  0 )
20 mnfxr 10503 . . . . . . . . 9  |-  -oo  e.  RR*
21 elioc2 10760 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 
-oo  e.  RR*  /\  0  e.  RR )  ->  (
( 1  +  ( y ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 )  <->  ( (
1  +  ( y ^ 2 ) )  e.  RR  /\  -oo  <  ( 1  +  ( y ^ 2 ) )  /\  ( 1  +  ( y ^
2 ) )  <_ 
0 ) ) )
2220, 7, 21mp2an 653 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  +  ( y ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 )  <->  ( (
1  +  ( y ^ 2 ) )  e.  RR  /\  -oo  <  ( 1  +  ( y ^ 2 ) )  /\  ( 1  +  ( y ^
2 ) )  <_ 
0 ) )
2322simp3bi 972 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  +  ( y ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 )  ->  (
1  +  ( y ^ 2 ) )  <_  0 )
2419, 23nsyl 113 . . . . . 6  |-  ( y  e.  RR  ->  -.  ( 1  +  ( y ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )
25 eldif 3196 . . . . . 6  |-  ( ( 1  +  ( y ^ 2 ) )  e.  ( CC  \ 
(  -oo (,] 0 ) )  <->  ( ( 1  +  ( y ^
2 ) )  e.  CC  /\  -.  (
1  +  ( y ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) ) )
266, 24, 25sylanbrc 645 . . . . 5  |-  ( y  e.  RR  ->  (
1  +  ( y ^ 2 ) )  e.  ( CC  \ 
(  -oo (,] 0 ) ) )
27 atansopn.d . . . . 5  |-  D  =  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) )
2826, 27syl6eleqr 2407 . . . 4  |-  ( y  e.  RR  ->  (
1  +  ( y ^ 2 ) )  e.  D )
2928rgen 2642 . . 3  |-  A. y  e.  RR  ( 1  +  ( y ^ 2 ) )  e.  D
30 ssrab 3285 . . 3  |-  ( RR  C_  { y  e.  CC  |  ( 1  +  ( y ^ 2 ) )  e.  D } 
<->  ( RR  C_  CC  /\ 
A. y  e.  RR  ( 1  +  ( y ^ 2 ) )  e.  D ) )
311, 29, 30mpbir2an 886 . 2  |-  RR  C_  { y  e.  CC  | 
( 1  +  ( y ^ 2 ) )  e.  D }
32 atansopn.s . 2  |-  S  =  { y  e.  CC  |  ( 1  +  ( y ^ 2 ) )  e.  D }
3331, 32sseqtr4i 3245 1  |-  RR  C_  S
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 176    /\ w3a 934    = wceq 1633    e. wcel 1701   A.wral 2577   {crab 2581    \ cdif 3183    C_ wss 3186   class class class wbr 4060  (class class class)co 5900   CCcc 8780   RRcr 8781   0cc0 8782   1c1 8783    + caddc 8785    -oocmnf 8910   RR*cxr 8911    < clt 8912    <_ cle 8913   2c2 9840   (,]cioc 10704   ^cexp 11151
This theorem is referenced by:  leibpi  20291
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549  ax-cnex 8838  ax-resscn 8839  ax-1cn 8840  ax-icn 8841  ax-addcl 8842  ax-addrcl 8843  ax-mulcl 8844  ax-mulrcl 8845  ax-mulcom 8846  ax-addass 8847  ax-mulass 8848  ax-distr 8849  ax-i2m1 8850  ax-1ne0 8851  ax-1rid 8852  ax-rnegex 8853  ax-rrecex 8854  ax-cnre 8855  ax-pre-lttri 8856  ax-pre-lttrn 8857  ax-pre-ltadd 8858  ax-pre-mulgt0 8859
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-nel 2482  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-pss 3202  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-tp 3682  df-op 3683  df-uni 3865  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-tr 4151  df-eprel 4342  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-fr 4389  df-we 4391  df-ord 4432  df-on 4433  df-lim 4434  df-suc 4435  df-om 4694  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-2nd 6165  df-riota 6346  df-recs 6430  df-rdg 6465  df-er 6702  df-en 6907  df-dom 6908  df-sdom 6909  df-pnf 8914  df-mnf 8915  df-xr 8916  df-ltxr 8917  df-le 8918  df-sub 9084  df-neg 9085  df-nn 9792  df-2 9849  df-n0 10013  df-z 10072  df-uz 10278  df-ioc 10708  df-seq 11094  df-exp 11152
  Copyright terms: Public domain W3C validator