MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ressatans Structured version   Unicode version

Theorem ressatans 20776
Description: The real number line is a subset of the domain of continuity of the arctangent. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
atansopn.d  |-  D  =  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) )
atansopn.s  |-  S  =  { y  e.  CC  |  ( 1  +  ( y ^ 2 ) )  e.  D }
Assertion
Ref Expression
ressatans  |-  RR  C_  S
Distinct variable group:    y, D
Allowed substitution hint:    S( y)

Proof of Theorem ressatans
StepHypRef Expression
1 ax-resscn 9049 . . 3  |-  RR  C_  CC
2 1re 9092 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
3 resqcl 11451 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  RR  ->  (
y ^ 2 )  e.  RR )
4 readdcl 9075 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( y ^ 2 )  e.  RR )  ->  ( 1  +  ( y ^ 2 ) )  e.  RR )
52, 3, 4sylancr 646 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  RR  ->  (
1  +  ( y ^ 2 ) )  e.  RR )
65recnd 9116 . . . . . 6  |-  ( y  e.  RR  ->  (
1  +  ( y ^ 2 ) )  e.  CC )
7 0re 9093 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  RR
87a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR  ->  0  e.  RR )
92a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR  ->  1  e.  RR )
10 0lt1 9552 . . . . . . . . . 10  |-  0  <  1
1110a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR  ->  0  <  1 )
12 sqge0 11460 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  RR  ->  0  <_  ( y ^ 2 ) )
13 addge01 9540 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( y ^ 2 )  e.  RR )  ->  ( 0  <_ 
( y ^ 2 )  <->  1  <_  (
1  +  ( y ^ 2 ) ) ) )
142, 3, 13sylancr 646 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  RR  ->  (
0  <_  ( y ^ 2 )  <->  1  <_  ( 1  +  ( y ^ 2 ) ) ) )
1512, 14mpbid 203 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR  ->  1  <_  ( 1  +  ( y ^ 2 ) ) )
168, 9, 5, 11, 15ltletrd 9232 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  RR  ->  0  <  ( 1  +  ( y ^ 2 ) ) )
17 ltnle 9157 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( 1  +  ( y ^ 2 ) )  e.  RR )  ->  ( 0  < 
( 1  +  ( y ^ 2 ) )  <->  -.  ( 1  +  ( y ^
2 ) )  <_ 
0 ) )
187, 5, 17sylancr 646 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  RR  ->  (
0  <  ( 1  +  ( y ^
2 ) )  <->  -.  (
1  +  ( y ^ 2 ) )  <_  0 ) )
1916, 18mpbid 203 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  RR  ->  -.  ( 1  +  ( y ^ 2 ) )  <_  0 )
20 mnfxr 10716 . . . . . . . . 9  |-  -oo  e.  RR*
21 elioc2 10975 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 
-oo  e.  RR*  /\  0  e.  RR )  ->  (
( 1  +  ( y ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 )  <->  ( (
1  +  ( y ^ 2 ) )  e.  RR  /\  -oo  <  ( 1  +  ( y ^ 2 ) )  /\  ( 1  +  ( y ^
2 ) )  <_ 
0 ) ) )
2220, 7, 21mp2an 655 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  +  ( y ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 )  <->  ( (
1  +  ( y ^ 2 ) )  e.  RR  /\  -oo  <  ( 1  +  ( y ^ 2 ) )  /\  ( 1  +  ( y ^
2 ) )  <_ 
0 ) )
2322simp3bi 975 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  +  ( y ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 )  ->  (
1  +  ( y ^ 2 ) )  <_  0 )
2419, 23nsyl 116 . . . . . 6  |-  ( y  e.  RR  ->  -.  ( 1  +  ( y ^ 2 ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )
256, 24eldifd 3333 . . . . 5  |-  ( y  e.  RR  ->  (
1  +  ( y ^ 2 ) )  e.  ( CC  \ 
(  -oo (,] 0 ) ) )
26 atansopn.d . . . . 5  |-  D  =  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) )
2725, 26syl6eleqr 2529 . . . 4  |-  ( y  e.  RR  ->  (
1  +  ( y ^ 2 ) )  e.  D )
2827rgen 2773 . . 3  |-  A. y  e.  RR  ( 1  +  ( y ^ 2 ) )  e.  D
29 ssrab 3423 . . 3  |-  ( RR  C_  { y  e.  CC  |  ( 1  +  ( y ^ 2 ) )  e.  D } 
<->  ( RR  C_  CC  /\ 
A. y  e.  RR  ( 1  +  ( y ^ 2 ) )  e.  D ) )
301, 28, 29mpbir2an 888 . 2  |-  RR  C_  { y  e.  CC  | 
( 1  +  ( y ^ 2 ) )  e.  D }
31 atansopn.s . 2  |-  S  =  { y  e.  CC  |  ( 1  +  ( y ^ 2 ) )  e.  D }
3230, 31sseqtr4i 3383 1  |-  RR  C_  S
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 178    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   {crab 2711    \ cdif 3319    C_ wss 3322   class class class wbr 4214  (class class class)co 6083   CCcc 8990   RRcr 8991   0cc0 8992   1c1 8993    + caddc 8995    -oocmnf 9120   RR*cxr 9121    < clt 9122    <_ cle 9123   2c2 10051   (,]cioc 10919   ^cexp 11384
This theorem is referenced by:  leibpi  20784
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-2 10060  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-ioc 10923  df-seq 11326  df-exp 11385
  Copyright terms: Public domain W3C validator