MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ressbas2 Unicode version

Theorem ressbas2 13199
Description: Base set of a structure restriction. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ressbas.r  |-  R  =  ( Ws  A )
ressbas.b  |-  B  =  ( Base `  W
)
Assertion
Ref Expression
ressbas2  |-  ( A 
C_  B  ->  A  =  ( Base `  R
) )

Proof of Theorem ressbas2
StepHypRef Expression
1 df-ss 3166 . . 3  |-  ( A 
C_  B  <->  ( A  i^i  B )  =  A )
21biimpi 186 . 2  |-  ( A 
C_  B  ->  ( A  i^i  B )  =  A )
3 ressbas.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  W
)
4 fvex 5539 . . . . 5  |-  ( Base `  W )  e.  _V
53, 4eqeltri 2353 . . . 4  |-  B  e. 
_V
65ssex 4158 . . 3  |-  ( A 
C_  B  ->  A  e.  _V )
7 ressbas.r . . . 4  |-  R  =  ( Ws  A )
87, 3ressbas 13198 . . 3  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A  i^i  B )  =  ( Base `  R
) )
96, 8syl 15 . 2  |-  ( A 
C_  B  ->  ( A  i^i  B )  =  ( Base `  R
) )
102, 9eqtr3d 2317 1  |-  ( A 
C_  B  ->  A  =  ( Base `  R
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1623    e. wcel 1684   _Vcvv 2788    i^i cin 3151    C_ wss 3152   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148   ↾s cress 13149
This theorem is referenced by:  rescbas  13706  fullresc  13725  resssetc  13924  yoniso  14059  issubmnd  14401  submnd0  14402  submbas  14432  resmhm  14436  gsumress  14454  subgbas  14625  issubg2  14636  resghm  14699  submod  14880  rngidss  15367  unitgrpbas  15448  isdrng2  15522  drngmcl  15525  drngid2  15528  isdrngd  15537  islss3  15716  lsslss  15718  lsslsp  15772  reslmhm  15809  issubassa  16064  resspsrbas  16159  mplbas  16174  ressmplbas  16200  ply1bas  16274  ressply1bas  16307  xrs1mnd  16409  xrs10  16410  xrs1cmn  16411  xrge0subm  16412  xrge0cmn  16413  cnmsubglem  16434  dvdsrz  16440  zlpirlem1  16441  zlpirlem3  16443  expghm  16450  chrrhm  16485  domnchr  16486  imasdsf1olem  17937  xrge0gsumle  18338  xrge0tsms  18339  cmsss  18772  minveclem3a  18791  evlssca  19406  mpfconst  19422  mpfind  19428  dchrzrhmul  20485  lgsdchr  20587  qrngbas  20768  prdsbnd2  25931  cnpwstotbnd  25933  repwsmet  25970  rrnequiv  25971  mzpmfp  26237  islssfg  26580  lnmlsslnm  26591  pwssplit4  26603  dsmmbase  26613  dsmmval2  26614  lsslindf  26712  lsslinds  26713  islinds3  26716  cnmsgnbas  26847  psgnghm  26849  cntzsdrg  26922  deg1mhm  26938  lcdvbase  31156
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-nn 9747  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155
  Copyright terms: Public domain W3C validator