MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ressbas2 Structured version   Unicode version

Theorem ressbas2 13520
Description: Base set of a structure restriction. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ressbas.r  |-  R  =  ( Ws  A )
ressbas.b  |-  B  =  ( Base `  W
)
Assertion
Ref Expression
ressbas2  |-  ( A 
C_  B  ->  A  =  ( Base `  R
) )

Proof of Theorem ressbas2
StepHypRef Expression
1 df-ss 3334 . . 3  |-  ( A 
C_  B  <->  ( A  i^i  B )  =  A )
21biimpi 187 . 2  |-  ( A 
C_  B  ->  ( A  i^i  B )  =  A )
3 ressbas.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  W
)
4 fvex 5742 . . . . 5  |-  ( Base `  W )  e.  _V
53, 4eqeltri 2506 . . . 4  |-  B  e. 
_V
65ssex 4347 . . 3  |-  ( A 
C_  B  ->  A  e.  _V )
7 ressbas.r . . . 4  |-  R  =  ( Ws  A )
87, 3ressbas 13519 . . 3  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A  i^i  B )  =  ( Base `  R
) )
96, 8syl 16 . 2  |-  ( A 
C_  B  ->  ( A  i^i  B )  =  ( Base `  R
) )
102, 9eqtr3d 2470 1  |-  ( A 
C_  B  ->  A  =  ( Base `  R
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1652    e. wcel 1725   _Vcvv 2956    i^i cin 3319    C_ wss 3320   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   Basecbs 13469   ↾s cress 13470
This theorem is referenced by:  rescbas  14029  fullresc  14048  resssetc  14247  yoniso  14382  issubmnd  14724  submnd0  14725  submbas  14755  resmhm  14759  gsumress  14777  subgbas  14948  issubg2  14959  resghm  15022  submod  15203  rngidss  15690  unitgrpbas  15771  isdrng2  15845  drngmcl  15848  drngid2  15851  isdrngd  15860  islss3  16035  lsslss  16037  lsslsp  16091  reslmhm  16128  issubassa  16383  resspsrbas  16478  mplbas  16493  ressmplbas  16519  ply1bas  16593  ressply1bas  16623  xrs1mnd  16736  xrs10  16737  xrs1cmn  16738  xrge0subm  16739  xrge0cmn  16740  cnmsubglem  16761  dvdsrz  16767  zlpirlem1  16768  zlpirlem3  16770  expghm  16777  chrrhm  16812  domnchr  16813  ressusp  18295  imasdsf1olem  18403  xrge0gsumle  18864  xrge0tsms  18865  cmsss  19303  minveclem3a  19328  evlssca  19943  mpfconst  19959  mpfind  19965  dchrzrhmul  21030  lgsdchr  21132  qrngbas  21313  ress0g  24182  ressplusf  24183  ressnm  24184  ressmulgnn  24205  ressmulgnn0  24206  xrge0tsmsd  24223  zzsbase  24263  rebase  24269  xrge0iifmhm  24325  esumpfinvallem  24464  prdsbnd2  26504  cnpwstotbnd  26506  repwsmet  26543  rrnequiv  26544  mzpmfp  26804  islssfg  27145  lnmlsslnm  27156  pwssplit4  27168  dsmmbase  27178  dsmmval2  27179  lsslindf  27277  lsslinds  27278  islinds3  27281  cnmsgnbas  27412  psgnghm  27414  cntzsdrg  27487  deg1mhm  27503  lcdvbase  32391
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-nn 10001  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476
  Copyright terms: Public domain W3C validator