MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ressbasss Structured version   Unicode version

Theorem ressbasss 13513
Description: The base set of a restriction is a subset of the base set of the original structure. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ressbas.r  |-  R  =  ( Ws  A )
ressbas.b  |-  B  =  ( Base `  W
)
Assertion
Ref Expression
ressbasss  |-  ( Base `  R )  C_  B

Proof of Theorem ressbasss
StepHypRef Expression
1 ressbas.r . . . 4  |-  R  =  ( Ws  A )
2 ressbas.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  W
)
31, 2ressbas 13511 . . 3  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A  i^i  B )  =  ( Base `  R
) )
4 inss2 3554 . . 3  |-  ( A  i^i  B )  C_  B
53, 4syl6eqssr 3391 . 2  |-  ( A  e.  _V  ->  ( Base `  R )  C_  B )
6 reldmress 13507 . . . . . 6  |-  Rel  doms
76ovprc2 6102 . . . . 5  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( Ws  A )  =  (/) )
81, 7syl5eq 2479 . . . 4  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  R  =  (/) )
98fveq2d 5724 . . 3  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  (
Base `  R )  =  ( Base `  (/) ) )
10 base0 13498 . . . 4  |-  (/)  =  (
Base `  (/) )
11 0ss 3648 . . . 4  |-  (/)  C_  B
1210, 11eqsstr3i 3371 . . 3  |-  ( Base `  (/) )  C_  B
139, 12syl6eqss 3390 . 2  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  (
Base `  R )  C_  B )
145, 13pm2.61i 158 1  |-  ( Base `  R )  C_  B
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    = wceq 1652    e. wcel 1725   _Vcvv 2948    i^i cin 3311    C_ wss 3312   (/)c0 3620   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   Basecbs 13461   ↾s cress 13462
This theorem is referenced by:  funcres2c  14090  resscatc  14252  submnd0  14717  resscntz  15122  subcmn  15448  resspsrvsca  16473  subrgpsr  16474  ply1bascl  16593  ressprdsds  18393  cphsubrglem  19132  frlmplusgval  27197  frlmvscafval  27198  lsslindf  27268  islinds3  27272
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-nn 9993  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468
  Copyright terms: Public domain W3C validator