MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ressbasss Unicode version

Theorem ressbasss 13200
Description: The base set of a restriction is a subset of the base set of the original structure. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ressbas.r  |-  R  =  ( Ws  A )
ressbas.b  |-  B  =  ( Base `  W
)
Assertion
Ref Expression
ressbasss  |-  ( Base `  R )  C_  B

Proof of Theorem ressbasss
StepHypRef Expression
1 ressbas.r . . . 4  |-  R  =  ( Ws  A )
2 ressbas.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  W
)
31, 2ressbas 13198 . . 3  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A  i^i  B )  =  ( Base `  R
) )
4 inss2 3390 . . . 4  |-  ( A  i^i  B )  C_  B
54a1i 10 . . 3  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A  i^i  B )  C_  B )
63, 5eqsstr3d 3213 . 2  |-  ( A  e.  _V  ->  ( Base `  R )  C_  B )
7 reldmress 13194 . . . . . 6  |-  Rel  doms
87ovprc2 5887 . . . . 5  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( Ws  A )  =  (/) )
91, 8syl5eq 2327 . . . 4  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  R  =  (/) )
109fveq2d 5529 . . 3  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  (
Base `  R )  =  ( Base `  (/) ) )
11 base0 13185 . . . . 5  |-  (/)  =  (
Base `  (/) )
12 0ss 3483 . . . . 5  |-  (/)  C_  B
1311, 12eqsstr3i 3209 . . . 4  |-  ( Base `  (/) )  C_  B
1413a1i 10 . . 3  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  (
Base `  (/) )  C_  B )
1510, 14eqsstrd 3212 . 2  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  (
Base `  R )  C_  B )
166, 15pm2.61i 156 1  |-  ( Base `  R )  C_  B
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    = wceq 1623    e. wcel 1684   _Vcvv 2788    i^i cin 3151    C_ wss 3152   (/)c0 3455   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148   ↾s cress 13149
This theorem is referenced by:  funcres2c  13775  resscatc  13937  submnd0  14402  resscntz  14807  subcmn  15133  resspsrvsca  16162  subrgpsr  16163  ply1bascl  16284  ressprdsds  17935  cphsubrglem  18613  frlmplusgval  27229  frlmvscafval  27230  lsslindf  27300  islinds3  27304
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-nn 9747  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155
  Copyright terms: Public domain W3C validator