MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  resscdrg Unicode version

Theorem resscdrg 19173
Description: The real numbers are a subset of any complete subfield in the complexes. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
resscdrg.1  |-  F  =  (flds  K )
Assertion
Ref Expression
resscdrg  |-  ( ( K  e.  (SubRing ` fld )  /\  F  e.  DivRing 
/\  F  e. CMetSp )  ->  RR  C_  K )

Proof of Theorem resscdrg
StepHypRef Expression
1 eqid 2381 . . . . . 6  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
21cnfldtop 18683 . . . . 5  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  Top
3 ax-resscn 8974 . . . . 5  |-  RR  C_  CC
4 qssre 10510 . . . . 5  |-  QQ  C_  RR
51cnfldtopon 18682 . . . . . . 7  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )
65toponunii 16914 . . . . . 6  |-  CC  =  U. ( TopOpen ` fld )
71tgioo2 18699 . . . . . 6  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
86, 7restcls 17161 . . . . 5  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  Top  /\  RR  C_  CC  /\  QQ  C_  RR )  ->  (
( cls `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  QQ )  =  ( ( ( cls `  ( TopOpen ` fld )
) `  QQ )  i^i  RR ) )
92, 3, 4, 8mp3an 1279 . . . 4  |-  ( ( cls `  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  QQ )  =  (
( ( cls `  ( TopOpen
` fld
) ) `  QQ )  i^i  RR )
10 qdensere 18669 . . . 4  |-  ( ( cls `  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  QQ )  =  RR
119, 10eqtr3i 2403 . . 3  |-  ( ( ( cls `  ( TopOpen
` fld
) ) `  QQ )  i^i  RR )  =  RR
12 dfss1 3482 . . 3  |-  ( RR  C_  ( ( cls `  ( TopOpen
` fld
) ) `  QQ ) 
<->  ( ( ( cls `  ( TopOpen ` fld ) ) `  QQ )  i^i  RR )  =  RR )
1311, 12mpbir 201 . 2  |-  RR  C_  ( ( cls `  ( TopOpen
` fld
) ) `  QQ )
14 simp3 959 . . . 4  |-  ( ( K  e.  (SubRing ` fld )  /\  F  e.  DivRing 
/\  F  e. CMetSp )  ->  F  e. CMetSp )
15 cncms 19170 . . . . 5  |-fld  e. CMetSp
16 cnfldbas 16624 . . . . . . 7  |-  CC  =  ( Base ` fld )
1716subrgss 15790 . . . . . 6  |-  ( K  e.  (SubRing ` fld )  ->  K  C_  CC )
18173ad2ant1 978 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  (SubRing ` fld )  /\  F  e.  DivRing 
/\  F  e. CMetSp )  ->  K  C_  CC )
19 resscdrg.1 . . . . . 6  |-  F  =  (flds  K )
2019, 16, 1cmsss 19166 . . . . 5  |-  ( (fld  e. CMetSp  /\  K  C_  CC )  ->  ( F  e. CMetSp  <->  K  e.  ( Clsd `  ( TopOpen
` fld
) ) ) )
2115, 18, 20sylancr 645 . . . 4  |-  ( ( K  e.  (SubRing ` fld )  /\  F  e.  DivRing 
/\  F  e. CMetSp )  ->  ( F  e. CMetSp  <->  K  e.  ( Clsd `  ( TopOpen ` fld ) ) ) )
2214, 21mpbid 202 . . 3  |-  ( ( K  e.  (SubRing ` fld )  /\  F  e.  DivRing 
/\  F  e. CMetSp )  ->  K  e.  ( Clsd `  ( TopOpen ` fld ) ) )
2319eleq1i 2444 . . . . 5  |-  ( F  e.  DivRing 
<->  (flds  K )  e.  DivRing )
24 qsssubdrg 16675 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  (SubRing ` fld )  /\  (flds  K )  e.  DivRing )  ->  QQ  C_  K )
2523, 24sylan2b 462 . . . 4  |-  ( ( K  e.  (SubRing ` fld )  /\  F  e.  DivRing )  ->  QQ  C_  K
)
26253adant3 977 . . 3  |-  ( ( K  e.  (SubRing ` fld )  /\  F  e.  DivRing 
/\  F  e. CMetSp )  ->  QQ  C_  K )
276clsss2 17053 . . 3  |-  ( ( K  e.  ( Clsd `  ( TopOpen ` fld ) )  /\  QQ  C_  K )  ->  (
( cls `  ( TopOpen
` fld
) ) `  QQ )  C_  K )
2822, 26, 27syl2anc 643 . 2  |-  ( ( K  e.  (SubRing ` fld )  /\  F  e.  DivRing 
/\  F  e. CMetSp )  ->  ( ( cls `  ( TopOpen
` fld
) ) `  QQ )  C_  K )
2913, 28syl5ss 3296 1  |-  ( ( K  e.  (SubRing ` fld )  /\  F  e.  DivRing 
/\  F  e. CMetSp )  ->  RR  C_  K )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717    i^i cin 3256    C_ wss 3257   ran crn 4813   ` cfv 5388  (class class class)co 6014   CCcc 8915   RRcr 8916   QQcq 10500   (,)cioo 10842   ↾s cress 13391   TopOpenctopn 13570   topGenctg 13586   DivRingcdr 15756  SubRingcsubrg 15785  ℂfldccnfld 16620   Topctop 16875   Clsdccld 16997   clsccl 16999  CMetSpccms 19148
This theorem is referenced by:  cncdrg  19174  hlress  19183
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2362  ax-rep 4255  ax-sep 4265  ax-nul 4273  ax-pow 4312  ax-pr 4338  ax-un 4635  ax-inf2 7523  ax-cnex 8973  ax-resscn 8974  ax-1cn 8975  ax-icn 8976  ax-addcl 8977  ax-addrcl 8978  ax-mulcl 8979  ax-mulrcl 8980  ax-mulcom 8981  ax-addass 8982  ax-mulass 8983  ax-distr 8984  ax-i2m1 8985  ax-1ne0 8986  ax-1rid 8987  ax-rnegex 8988  ax-rrecex 8989  ax-cnre 8990  ax-pre-lttri 8991  ax-pre-lttrn 8992  ax-pre-ltadd 8993  ax-pre-mulgt0 8994  ax-pre-sup 8995  ax-addf 8996  ax-mulf 8997
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2236  df-mo 2237  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2506  df-ne 2546  df-nel 2547  df-ral 2648  df-rex 2649  df-reu 2650  df-rmo 2651  df-rab 2652  df-v 2895  df-sbc 3099  df-csb 3189  df-dif 3260  df-un 3262  df-in 3264  df-ss 3271  df-pss 3273  df-nul 3566  df-if 3677  df-pw 3738  df-sn 3757  df-pr 3758  df-tp 3759  df-op 3760  df-uni 3952  df-int 3987  df-iun 4031  df-iin 4032  df-br 4148  df-opab 4202  df-mpt 4203  df-tr 4238  df-eprel 4429  df-id 4433  df-po 4438  df-so 4439  df-fr 4476  df-se 4477  df-we 4478  df-ord 4519  df-on 4520  df-lim 4521  df-suc 4522  df-om 4780  df-xp 4818  df-rel 4819  df-cnv 4820  df-co 4821  df-dm 4822  df-rn 4823  df-res 4824  df-ima 4825  df-iota 5352  df-fun 5390  df-fn 5391  df-f 5392  df-f1 5393  df-fo 5394  df-f1o 5395  df-fv 5396  df-isom 5397  df-ov 6017  df-oprab 6018  df-mpt2 6019  df-of 6238  df-1st 6282  df-2nd 6283  df-tpos 6409  df-riota 6479  df-recs 6563  df-rdg 6598  df-1o 6654  df-2o 6655  df-oadd 6658  df-er 6835  df-map 6950  df-ixp 6994  df-en 7040  df-dom 7041  df-sdom 7042  df-fin 7043  df-fi 7345  df-sup 7375  df-oi 7406  df-card 7753  df-cda 7975  df-pnf 9049  df-mnf 9050  df-xr 9051  df-ltxr 9052  df-le 9053  df-sub 9219  df-neg 9220  df-div 9604  df-nn 9927  df-2 9984  df-3 9985  df-4 9986  df-5 9987  df-6 9988  df-7 9989  df-8 9990  df-9 9991  df-10 9992  df-n0 10148  df-z 10209  df-dec 10309  df-uz 10415  df-q 10501  df-rp 10539  df-xneg 10636  df-xadd 10637  df-xmul 10638  df-ioo 10846  df-ico 10848  df-icc 10849  df-fz 10970  df-fzo 11060  df-seq 11245  df-exp 11304  df-hash 11540  df-cj 11825  df-re 11826  df-im 11827  df-sqr 11961  df-abs 11962  df-struct 13392  df-ndx 13393  df-slot 13394  df-base 13395  df-sets 13396  df-ress 13397  df-plusg 13463  df-mulr 13464  df-starv 13465  df-sca 13466  df-vsca 13467  df-tset 13469  df-ple 13470  df-ds 13472  df-unif 13473  df-hom 13474  df-cco 13475  df-rest 13571  df-topn 13572  df-topgen 13588  df-pt 13589  df-prds 13592  df-xrs 13647  df-0g 13648  df-gsum 13649  df-qtop 13654  df-imas 13655  df-xps 13657  df-mre 13732  df-mrc 13733  df-acs 13735  df-mnd 14611  df-submnd 14660  df-grp 14733  df-minusg 14734  df-mulg 14736  df-subg 14862  df-cntz 15037  df-cmn 15335  df-mgp 15570  df-rng 15584  df-cring 15585  df-ur 15586  df-oppr 15649  df-dvdsr 15667  df-unit 15668  df-invr 15698  df-dvr 15709  df-drng 15758  df-subrg 15787  df-xmet 16613  df-met 16614  df-bl 16615  df-mopn 16616  df-fbas 16617  df-fg 16618  df-cnfld 16621  df-top 16880  df-bases 16882  df-topon 16883  df-topsp 16884  df-cld 17000  df-ntr 17001  df-cls 17002  df-nei 17079  df-cn 17207  df-cnp 17208  df-haus 17295  df-cmp 17366  df-tx 17509  df-hmeo 17702  df-fil 17793  df-flim 17886  df-fcls 17888  df-xms 18253  df-ms 18254  df-tms 18255  df-cncf 18773  df-cfil 19073  df-cmet 19075  df-cms 19151
  Copyright terms: Public domain W3C validator