Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  resscdrg Unicode version

Theorem resscdrg 18791
 Description: The real numbers are a subset of any complete subfield in the complexes. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
resscdrg.1 flds
Assertion
Ref Expression
resscdrg SubRingfld CMetSp

Proof of Theorem resscdrg
StepHypRef Expression
1 eqid 2296 . . . . . 6 fld fld
21cnfldtop 18309 . . . . 5 fld
3 ax-resscn 8810 . . . . 5
4 qssre 10342 . . . . 5
51cnfldtopon 18308 . . . . . . 7 fld TopOn
65toponunii 16686 . . . . . 6 fld
71tgioo2 18325 . . . . . 6 fldt
86, 7restcls 16927 . . . . 5 fld fld
92, 3, 4, 8mp3an 1277 . . . 4 fld
10 qdensere 18295 . . . 4
119, 10eqtr3i 2318 . . 3 fld
12 dfss1 3386 . . 3 fld fld
1311, 12mpbir 200 . 2 fld
14 simp3 957 . . . 4 SubRingfld CMetSp CMetSp
15 cncms 18790 . . . . 5 fld CMetSp
16 cnfldbas 16399 . . . . . . 7 fld
1716subrgss 15562 . . . . . 6 SubRingfld
18173ad2ant1 976 . . . . 5 SubRingfld CMetSp
19 resscdrg.1 . . . . . 6 flds
2019, 16, 1cmsss 18788 . . . . 5 fld CMetSp CMetSp fld
2115, 18, 20sylancr 644 . . . 4 SubRingfld CMetSp CMetSp fld
2214, 21mpbid 201 . . 3 SubRingfld CMetSp fld
2319eleq1i 2359 . . . . 5 flds
24 qsssubdrg 16447 . . . . 5 SubRingfld flds
2523, 24sylan2b 461 . . . 4 SubRingfld
26253adant3 975 . . 3 SubRingfld CMetSp
276clsss2 16825 . . 3 fld fld
2822, 26, 27syl2anc 642 . 2 SubRingfld CMetSp fld
2913, 28syl5ss 3203 1 SubRingfld CMetSp
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   w3a 934   wceq 1632   wcel 1696   cin 3164   wss 3165   crn 4706  cfv 5271  (class class class)co 5874  cc 8751  cr 8752  cq 10332  cioo 10672   ↾s cress 13165  ctopn 13342  ctg 13358  cdr 15528  SubRingcsubrg 15557  ℂfldccnfld 16393  ctop 16647  ccld 16769  ccl 16771  CMetSpccms 18770 This theorem is referenced by:  cncdrg  18792  hlress  18801 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832  ax-mulf 8833 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-tpos 6250  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ioo 10676  df-ico 10678  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-rest 13343  df-topn 13344  df-topgen 13360  df-pt 13361  df-prds 13364  df-xrs 13419  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-qtop 13426  df-imas 13427  df-xps 13429  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-submnd 14432  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-mulg 14508  df-subg 14634  df-cntz 14809  df-cmn 15107  df-mgp 15342  df-rng 15356  df-cring 15357  df-ur 15358  df-oppr 15421  df-dvdsr 15439  df-unit 15440  df-invr 15470  df-dvr 15481  df-drng 15530  df-subrg 15559  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-cnfld 16394  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-cld 16772  df-ntr 16773  df-cls 16774  df-nei 16851  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-haus 17059  df-cmp 17130  df-tx 17273  df-hmeo 17462  df-fbas 17536  df-fg 17537  df-fil 17557  df-flim 17650  df-fcls 17652  df-xms 17901  df-ms 17902  df-tms 17903  df-cncf 18398  df-cfil 18697  df-cmet 18699  df-cms 18773
 Copyright terms: Public domain W3C validator