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Theorem resscntz 15130
Description: Centralizer in a substructure. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
resscntz.p  |-  H  =  ( Gs  A )
resscntz.z  |-  Z  =  (Cntz `  G )
resscntz.y  |-  Y  =  (Cntz `  H )
Assertion
Ref Expression
resscntz  |-  ( ( A  e.  V  /\  S  C_  A )  -> 
( Y `  S
)  =  ( ( Z `  S )  i^i  A ) )

Proof of Theorem resscntz
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2436 . . . . . . 7  |-  ( Base `  H )  =  (
Base `  H )
2 resscntz.y . . . . . . 7  |-  Y  =  (Cntz `  H )
31, 2cntzrcl 15126 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( Y `  S )  ->  ( H  e.  _V  /\  S  C_  ( Base `  H
) ) )
43simprd 450 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( Y `  S )  ->  S  C_  ( Base `  H
) )
5 resscntz.p . . . . . 6  |-  H  =  ( Gs  A )
6 eqid 2436 . . . . . 6  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
75, 6ressbasss 13521 . . . . 5  |-  ( Base `  H )  C_  ( Base `  G )
84, 7syl6ss 3360 . . . 4  |-  ( x  e.  ( Y `  S )  ->  S  C_  ( Base `  G
) )
98a1i 11 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  S  C_  A )  -> 
( x  e.  ( Y `  S )  ->  S  C_  ( Base `  G ) ) )
10 inss1 3561 . . . . . 6  |-  ( ( Z `  S )  i^i  A )  C_  ( Z `  S )
1110sseli 3344 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( ( Z `
 S )  i^i 
A )  ->  x  e.  ( Z `  S
) )
12 resscntz.z . . . . . . 7  |-  Z  =  (Cntz `  G )
136, 12cntzrcl 15126 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( Z `  S )  ->  ( G  e.  _V  /\  S  C_  ( Base `  G
) ) )
1413simprd 450 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( Z `  S )  ->  S  C_  ( Base `  G
) )
1511, 14syl 16 . . . 4  |-  ( x  e.  ( ( Z `
 S )  i^i 
A )  ->  S  C_  ( Base `  G
) )
1615a1i 11 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  S  C_  A )  -> 
( x  e.  ( ( Z `  S
)  i^i  A )  ->  S  C_  ( Base `  G ) ) )
17 anass 631 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  x  e.  ( Base `  G ) )  /\  A. y  e.  S  ( x ( +g  `  G ) y )  =  ( y ( +g  `  G
) x ) )  <-> 
( x  e.  A  /\  ( x  e.  (
Base `  G )  /\  A. y  e.  S  ( x ( +g  `  G ) y )  =  ( y ( +g  `  G ) x ) ) ) )
18 elin 3530 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( A  i^i  ( Base `  G )
)  <->  ( x  e.  A  /\  x  e.  ( Base `  G
) ) )
195, 6ressbas 13519 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  V  ->  ( A  i^i  ( Base `  G
) )  =  (
Base `  H )
)
2019eleq2d 2503 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  V  ->  (
x  e.  ( A  i^i  ( Base `  G
) )  <->  x  e.  ( Base `  H )
) )
2118, 20syl5bbr 251 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  V  ->  (
( x  e.  A  /\  x  e.  ( Base `  G ) )  <-> 
x  e.  ( Base `  H ) ) )
22 eqid 2436 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
235, 22ressplusg 13571 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  V  ->  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  H
) )
2423oveqd 6098 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  V  ->  (
x ( +g  `  G
) y )  =  ( x ( +g  `  H ) y ) )
2523oveqd 6098 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  V  ->  (
y ( +g  `  G
) x )  =  ( y ( +g  `  H ) x ) )
2624, 25eqeq12d 2450 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  V  ->  (
( x ( +g  `  G ) y )  =  ( y ( +g  `  G ) x )  <->  ( x
( +g  `  H ) y )  =  ( y ( +g  `  H
) x ) ) )
2726ralbidv 2725 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  V  ->  ( A. y  e.  S  ( x ( +g  `  G ) y )  =  ( y ( +g  `  G ) x )  <->  A. y  e.  S  ( x
( +g  `  H ) y )  =  ( y ( +g  `  H
) x ) ) )
2821, 27anbi12d 692 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  V  ->  (
( ( x  e.  A  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  /\  A. y  e.  S  (
x ( +g  `  G
) y )  =  ( y ( +g  `  G ) x ) )  <->  ( x  e.  ( Base `  H
)  /\  A. y  e.  S  ( x
( +g  `  H ) y )  =  ( y ( +g  `  H
) x ) ) ) )
2928ad2antrr 707 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  S  C_  A )  /\  S  C_  ( Base `  G ) )  ->  ( ( ( x  e.  A  /\  x  e.  ( Base `  G ) )  /\  A. y  e.  S  ( x ( +g  `  G
) y )  =  ( y ( +g  `  G ) x ) )  <->  ( x  e.  ( Base `  H
)  /\  A. y  e.  S  ( x
( +g  `  H ) y )  =  ( y ( +g  `  H
) x ) ) ) )
3017, 29syl5rbbr 252 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  S  C_  A )  /\  S  C_  ( Base `  G ) )  ->  ( ( x  e.  ( Base `  H
)  /\  A. y  e.  S  ( x
( +g  `  H ) y )  =  ( y ( +g  `  H
) x ) )  <-> 
( x  e.  A  /\  ( x  e.  (
Base `  G )  /\  A. y  e.  S  ( x ( +g  `  G ) y )  =  ( y ( +g  `  G ) x ) ) ) ) )
31 ssin 3563 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  C_  A  /\  S  C_  ( Base `  G
) )  <->  S  C_  ( A  i^i  ( Base `  G
) ) )
3219sseq2d 3376 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  V  ->  ( S  C_  ( A  i^i  ( Base `  G )
)  <->  S  C_  ( Base `  H ) ) )
3331, 32syl5bb 249 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  V  ->  (
( S  C_  A  /\  S  C_  ( Base `  G ) )  <->  S  C_  ( Base `  H ) ) )
3433biimpd 199 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  V  ->  (
( S  C_  A  /\  S  C_  ( Base `  G ) )  ->  S  C_  ( Base `  H
) ) )
3534impl 604 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  S  C_  A )  /\  S  C_  ( Base `  G ) )  ->  S  C_  ( Base `  H ) )
36 eqid 2436 . . . . . . 7  |-  ( +g  `  H )  =  ( +g  `  H )
371, 36, 2elcntz 15121 . . . . . 6  |-  ( S 
C_  ( Base `  H
)  ->  ( x  e.  ( Y `  S
)  <->  ( x  e.  ( Base `  H
)  /\  A. y  e.  S  ( x
( +g  `  H ) y )  =  ( y ( +g  `  H
) x ) ) ) )
3835, 37syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  S  C_  A )  /\  S  C_  ( Base `  G ) )  ->  ( x  e.  ( Y `  S
)  <->  ( x  e.  ( Base `  H
)  /\  A. y  e.  S  ( x
( +g  `  H ) y )  =  ( y ( +g  `  H
) x ) ) ) )
39 elin 3530 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( ( Z `
 S )  i^i 
A )  <->  ( x  e.  ( Z `  S
)  /\  x  e.  A ) )
40 ancom 438 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( Z `
 S )  /\  x  e.  A )  <->  ( x  e.  A  /\  x  e.  ( Z `  S ) ) )
4139, 40bitri 241 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( ( Z `
 S )  i^i 
A )  <->  ( x  e.  A  /\  x  e.  ( Z `  S
) ) )
426, 22, 12elcntz 15121 . . . . . . . 8  |-  ( S 
C_  ( Base `  G
)  ->  ( x  e.  ( Z `  S
)  <->  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  A. y  e.  S  ( x
( +g  `  G ) y )  =  ( y ( +g  `  G
) x ) ) ) )
4342adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  S  C_  A )  /\  S  C_  ( Base `  G ) )  ->  ( x  e.  ( Z `  S
)  <->  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  A. y  e.  S  ( x
( +g  `  G ) y )  =  ( y ( +g  `  G
) x ) ) ) )
4443anbi2d 685 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  S  C_  A )  /\  S  C_  ( Base `  G ) )  ->  ( ( x  e.  A  /\  x  e.  ( Z `  S
) )  <->  ( x  e.  A  /\  (
x  e.  ( Base `  G )  /\  A. y  e.  S  (
x ( +g  `  G
) y )  =  ( y ( +g  `  G ) x ) ) ) ) )
4541, 44syl5bb 249 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  S  C_  A )  /\  S  C_  ( Base `  G ) )  ->  ( x  e.  ( ( Z `  S )  i^i  A
)  <->  ( x  e.  A  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  A. y  e.  S  ( x
( +g  `  G ) y )  =  ( y ( +g  `  G
) x ) ) ) ) )
4630, 38, 453bitr4d 277 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  S  C_  A )  /\  S  C_  ( Base `  G ) )  ->  ( x  e.  ( Y `  S
)  <->  x  e.  (
( Z `  S
)  i^i  A )
) )
4746ex 424 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  S  C_  A )  -> 
( S  C_  ( Base `  G )  -> 
( x  e.  ( Y `  S )  <-> 
x  e.  ( ( Z `  S )  i^i  A ) ) ) )
489, 16, 47pm5.21ndd 344 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  S  C_  A )  -> 
( x  e.  ( Y `  S )  <-> 
x  e.  ( ( Z `  S )  i^i  A ) ) )
4948eqrdv 2434 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  S  C_  A )  -> 
( Y `  S
)  =  ( ( Z `  S )  i^i  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2705   _Vcvv 2956    i^i cin 3319    C_ wss 3320   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   Basecbs 13469   ↾s cress 13470   +g cplusg 13529  Cntzccntz 15114
This theorem is referenced by:  gsumzsubmcl  15523  subgdmdprd  15592  cntzsdrg  27487
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-2 10058  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-cntz 15116
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