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Theorem resscntz 14823
Description: Centralizer in a substructure. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
resscntz.p  |-  H  =  ( Gs  A )
resscntz.z  |-  Z  =  (Cntz `  G )
resscntz.y  |-  Y  =  (Cntz `  H )
Assertion
Ref Expression
resscntz  |-  ( ( A  e.  V  /\  S  C_  A )  -> 
( Y `  S
)  =  ( ( Z `  S )  i^i  A ) )

Proof of Theorem resscntz
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( Base `  H )  =  (
Base `  H )
2 resscntz.y . . . . . . 7  |-  Y  =  (Cntz `  H )
31, 2cntzrcl 14819 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( Y `  S )  ->  ( H  e.  _V  /\  S  C_  ( Base `  H
) ) )
43simprd 449 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( Y `  S )  ->  S  C_  ( Base `  H
) )
5 resscntz.p . . . . . 6  |-  H  =  ( Gs  A )
6 eqid 2296 . . . . . 6  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
75, 6ressbasss 13216 . . . . 5  |-  ( Base `  H )  C_  ( Base `  G )
84, 7syl6ss 3204 . . . 4  |-  ( x  e.  ( Y `  S )  ->  S  C_  ( Base `  G
) )
98a1i 10 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  S  C_  A )  -> 
( x  e.  ( Y `  S )  ->  S  C_  ( Base `  G ) ) )
10 inss1 3402 . . . . . 6  |-  ( ( Z `  S )  i^i  A )  C_  ( Z `  S )
1110sseli 3189 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( ( Z `
 S )  i^i 
A )  ->  x  e.  ( Z `  S
) )
12 resscntz.z . . . . . . 7  |-  Z  =  (Cntz `  G )
136, 12cntzrcl 14819 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( Z `  S )  ->  ( G  e.  _V  /\  S  C_  ( Base `  G
) ) )
1413simprd 449 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( Z `  S )  ->  S  C_  ( Base `  G
) )
1511, 14syl 15 . . . 4  |-  ( x  e.  ( ( Z `
 S )  i^i 
A )  ->  S  C_  ( Base `  G
) )
1615a1i 10 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  S  C_  A )  -> 
( x  e.  ( ( Z `  S
)  i^i  A )  ->  S  C_  ( Base `  G ) ) )
17 anass 630 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  x  e.  ( Base `  G ) )  /\  A. y  e.  S  ( x ( +g  `  G ) y )  =  ( y ( +g  `  G
) x ) )  <-> 
( x  e.  A  /\  ( x  e.  (
Base `  G )  /\  A. y  e.  S  ( x ( +g  `  G ) y )  =  ( y ( +g  `  G ) x ) ) ) )
18 elin 3371 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( A  i^i  ( Base `  G )
)  <->  ( x  e.  A  /\  x  e.  ( Base `  G
) ) )
195, 6ressbas 13214 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  V  ->  ( A  i^i  ( Base `  G
) )  =  (
Base `  H )
)
2019eleq2d 2363 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  V  ->  (
x  e.  ( A  i^i  ( Base `  G
) )  <->  x  e.  ( Base `  H )
) )
2118, 20syl5bbr 250 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  V  ->  (
( x  e.  A  /\  x  e.  ( Base `  G ) )  <-> 
x  e.  ( Base `  H ) ) )
22 eqid 2296 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
235, 22ressplusg 13266 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  V  ->  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  H
) )
2423oveqd 5891 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  V  ->  (
x ( +g  `  G
) y )  =  ( x ( +g  `  H ) y ) )
2523oveqd 5891 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  V  ->  (
y ( +g  `  G
) x )  =  ( y ( +g  `  H ) x ) )
2624, 25eqeq12d 2310 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  V  ->  (
( x ( +g  `  G ) y )  =  ( y ( +g  `  G ) x )  <->  ( x
( +g  `  H ) y )  =  ( y ( +g  `  H
) x ) ) )
2726ralbidv 2576 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  V  ->  ( A. y  e.  S  ( x ( +g  `  G ) y )  =  ( y ( +g  `  G ) x )  <->  A. y  e.  S  ( x
( +g  `  H ) y )  =  ( y ( +g  `  H
) x ) ) )
2821, 27anbi12d 691 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  V  ->  (
( ( x  e.  A  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  /\  A. y  e.  S  (
x ( +g  `  G
) y )  =  ( y ( +g  `  G ) x ) )  <->  ( x  e.  ( Base `  H
)  /\  A. y  e.  S  ( x
( +g  `  H ) y )  =  ( y ( +g  `  H
) x ) ) ) )
2928ad2antrr 706 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  S  C_  A )  /\  S  C_  ( Base `  G ) )  ->  ( ( ( x  e.  A  /\  x  e.  ( Base `  G ) )  /\  A. y  e.  S  ( x ( +g  `  G
) y )  =  ( y ( +g  `  G ) x ) )  <->  ( x  e.  ( Base `  H
)  /\  A. y  e.  S  ( x
( +g  `  H ) y )  =  ( y ( +g  `  H
) x ) ) ) )
3017, 29syl5rbbr 251 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  S  C_  A )  /\  S  C_  ( Base `  G ) )  ->  ( ( x  e.  ( Base `  H
)  /\  A. y  e.  S  ( x
( +g  `  H ) y )  =  ( y ( +g  `  H
) x ) )  <-> 
( x  e.  A  /\  ( x  e.  (
Base `  G )  /\  A. y  e.  S  ( x ( +g  `  G ) y )  =  ( y ( +g  `  G ) x ) ) ) ) )
31 ssin 3404 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  C_  A  /\  S  C_  ( Base `  G
) )  <->  S  C_  ( A  i^i  ( Base `  G
) ) )
3219sseq2d 3219 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  V  ->  ( S  C_  ( A  i^i  ( Base `  G )
)  <->  S  C_  ( Base `  H ) ) )
3331, 32syl5bb 248 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  V  ->  (
( S  C_  A  /\  S  C_  ( Base `  G ) )  <->  S  C_  ( Base `  H ) ) )
3433biimpd 198 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  V  ->  (
( S  C_  A  /\  S  C_  ( Base `  G ) )  ->  S  C_  ( Base `  H
) ) )
3534impl 603 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  S  C_  A )  /\  S  C_  ( Base `  G ) )  ->  S  C_  ( Base `  H ) )
36 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( +g  `  H )  =  ( +g  `  H )
371, 36, 2elcntz 14814 . . . . . 6  |-  ( S 
C_  ( Base `  H
)  ->  ( x  e.  ( Y `  S
)  <->  ( x  e.  ( Base `  H
)  /\  A. y  e.  S  ( x
( +g  `  H ) y )  =  ( y ( +g  `  H
) x ) ) ) )
3835, 37syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  S  C_  A )  /\  S  C_  ( Base `  G ) )  ->  ( x  e.  ( Y `  S
)  <->  ( x  e.  ( Base `  H
)  /\  A. y  e.  S  ( x
( +g  `  H ) y )  =  ( y ( +g  `  H
) x ) ) ) )
39 elin 3371 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( ( Z `
 S )  i^i 
A )  <->  ( x  e.  ( Z `  S
)  /\  x  e.  A ) )
40 ancom 437 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( Z `
 S )  /\  x  e.  A )  <->  ( x  e.  A  /\  x  e.  ( Z `  S ) ) )
4139, 40bitri 240 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( ( Z `
 S )  i^i 
A )  <->  ( x  e.  A  /\  x  e.  ( Z `  S
) ) )
426, 22, 12elcntz 14814 . . . . . . . 8  |-  ( S 
C_  ( Base `  G
)  ->  ( x  e.  ( Z `  S
)  <->  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  A. y  e.  S  ( x
( +g  `  G ) y )  =  ( y ( +g  `  G
) x ) ) ) )
4342adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  S  C_  A )  /\  S  C_  ( Base `  G ) )  ->  ( x  e.  ( Z `  S
)  <->  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  A. y  e.  S  ( x
( +g  `  G ) y )  =  ( y ( +g  `  G
) x ) ) ) )
4443anbi2d 684 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  S  C_  A )  /\  S  C_  ( Base `  G ) )  ->  ( ( x  e.  A  /\  x  e.  ( Z `  S
) )  <->  ( x  e.  A  /\  (
x  e.  ( Base `  G )  /\  A. y  e.  S  (
x ( +g  `  G
) y )  =  ( y ( +g  `  G ) x ) ) ) ) )
4541, 44syl5bb 248 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  S  C_  A )  /\  S  C_  ( Base `  G ) )  ->  ( x  e.  ( ( Z `  S )  i^i  A
)  <->  ( x  e.  A  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  A. y  e.  S  ( x
( +g  `  G ) y )  =  ( y ( +g  `  G
) x ) ) ) ) )
4630, 38, 453bitr4d 276 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  S  C_  A )  /\  S  C_  ( Base `  G ) )  ->  ( x  e.  ( Y `  S
)  <->  x  e.  (
( Z `  S
)  i^i  A )
) )
4746ex 423 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  S  C_  A )  -> 
( S  C_  ( Base `  G )  -> 
( x  e.  ( Y `  S )  <-> 
x  e.  ( ( Z `  S )  i^i  A ) ) ) )
489, 16, 47pm5.21ndd 343 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  S  C_  A )  -> 
( x  e.  ( Y `  S )  <-> 
x  e.  ( ( Z `  S )  i^i  A ) ) )
4948eqrdv 2294 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  S  C_  A )  -> 
( Y `  S
)  =  ( ( Z `  S )  i^i  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   _Vcvv 2801    i^i cin 3164    C_ wss 3165   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Basecbs 13164   ↾s cress 13165   +g cplusg 13224  Cntzccntz 14807
This theorem is referenced by:  gsumzsubmcl  15216  subgdmdprd  15285  cntzsdrg  27613
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-cntz 14809
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