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Theorem resscntz 14807
Description: Centralizer in a substructure. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
resscntz.p  |-  H  =  ( Gs  A )
resscntz.z  |-  Z  =  (Cntz `  G )
resscntz.y  |-  Y  =  (Cntz `  H )
Assertion
Ref Expression
resscntz  |-  ( ( A  e.  V  /\  S  C_  A )  -> 
( Y `  S
)  =  ( ( Z `  S )  i^i  A ) )

Proof of Theorem resscntz
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  ( Base `  H )  =  (
Base `  H )
2 resscntz.y . . . . . . 7  |-  Y  =  (Cntz `  H )
31, 2cntzrcl 14803 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( Y `  S )  ->  ( H  e.  _V  /\  S  C_  ( Base `  H
) ) )
43simprd 449 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( Y `  S )  ->  S  C_  ( Base `  H
) )
5 resscntz.p . . . . . 6  |-  H  =  ( Gs  A )
6 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
75, 6ressbasss 13200 . . . . 5  |-  ( Base `  H )  C_  ( Base `  G )
84, 7syl6ss 3191 . . . 4  |-  ( x  e.  ( Y `  S )  ->  S  C_  ( Base `  G
) )
98a1i 10 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  S  C_  A )  -> 
( x  e.  ( Y `  S )  ->  S  C_  ( Base `  G ) ) )
10 inss1 3389 . . . . . 6  |-  ( ( Z `  S )  i^i  A )  C_  ( Z `  S )
1110sseli 3176 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( ( Z `
 S )  i^i 
A )  ->  x  e.  ( Z `  S
) )
12 resscntz.z . . . . . . 7  |-  Z  =  (Cntz `  G )
136, 12cntzrcl 14803 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( Z `  S )  ->  ( G  e.  _V  /\  S  C_  ( Base `  G
) ) )
1413simprd 449 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( Z `  S )  ->  S  C_  ( Base `  G
) )
1511, 14syl 15 . . . 4  |-  ( x  e.  ( ( Z `
 S )  i^i 
A )  ->  S  C_  ( Base `  G
) )
1615a1i 10 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  S  C_  A )  -> 
( x  e.  ( ( Z `  S
)  i^i  A )  ->  S  C_  ( Base `  G ) ) )
17 anass 630 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  x  e.  ( Base `  G ) )  /\  A. y  e.  S  ( x ( +g  `  G ) y )  =  ( y ( +g  `  G
) x ) )  <-> 
( x  e.  A  /\  ( x  e.  (
Base `  G )  /\  A. y  e.  S  ( x ( +g  `  G ) y )  =  ( y ( +g  `  G ) x ) ) ) )
18 elin 3358 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( A  i^i  ( Base `  G )
)  <->  ( x  e.  A  /\  x  e.  ( Base `  G
) ) )
195, 6ressbas 13198 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  V  ->  ( A  i^i  ( Base `  G
) )  =  (
Base `  H )
)
2019eleq2d 2350 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  V  ->  (
x  e.  ( A  i^i  ( Base `  G
) )  <->  x  e.  ( Base `  H )
) )
2118, 20syl5bbr 250 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  V  ->  (
( x  e.  A  /\  x  e.  ( Base `  G ) )  <-> 
x  e.  ( Base `  H ) ) )
22 eqid 2283 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
235, 22ressplusg 13250 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  V  ->  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  H
) )
2423oveqd 5875 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  V  ->  (
x ( +g  `  G
) y )  =  ( x ( +g  `  H ) y ) )
2523oveqd 5875 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  V  ->  (
y ( +g  `  G
) x )  =  ( y ( +g  `  H ) x ) )
2624, 25eqeq12d 2297 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  V  ->  (
( x ( +g  `  G ) y )  =  ( y ( +g  `  G ) x )  <->  ( x
( +g  `  H ) y )  =  ( y ( +g  `  H
) x ) ) )
2726ralbidv 2563 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  V  ->  ( A. y  e.  S  ( x ( +g  `  G ) y )  =  ( y ( +g  `  G ) x )  <->  A. y  e.  S  ( x
( +g  `  H ) y )  =  ( y ( +g  `  H
) x ) ) )
2821, 27anbi12d 691 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  V  ->  (
( ( x  e.  A  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  /\  A. y  e.  S  (
x ( +g  `  G
) y )  =  ( y ( +g  `  G ) x ) )  <->  ( x  e.  ( Base `  H
)  /\  A. y  e.  S  ( x
( +g  `  H ) y )  =  ( y ( +g  `  H
) x ) ) ) )
2928ad2antrr 706 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  S  C_  A )  /\  S  C_  ( Base `  G ) )  ->  ( ( ( x  e.  A  /\  x  e.  ( Base `  G ) )  /\  A. y  e.  S  ( x ( +g  `  G
) y )  =  ( y ( +g  `  G ) x ) )  <->  ( x  e.  ( Base `  H
)  /\  A. y  e.  S  ( x
( +g  `  H ) y )  =  ( y ( +g  `  H
) x ) ) ) )
3017, 29syl5rbbr 251 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  S  C_  A )  /\  S  C_  ( Base `  G ) )  ->  ( ( x  e.  ( Base `  H
)  /\  A. y  e.  S  ( x
( +g  `  H ) y )  =  ( y ( +g  `  H
) x ) )  <-> 
( x  e.  A  /\  ( x  e.  (
Base `  G )  /\  A. y  e.  S  ( x ( +g  `  G ) y )  =  ( y ( +g  `  G ) x ) ) ) ) )
31 ssin 3391 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  C_  A  /\  S  C_  ( Base `  G
) )  <->  S  C_  ( A  i^i  ( Base `  G
) ) )
3219sseq2d 3206 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  V  ->  ( S  C_  ( A  i^i  ( Base `  G )
)  <->  S  C_  ( Base `  H ) ) )
3331, 32syl5bb 248 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  V  ->  (
( S  C_  A  /\  S  C_  ( Base `  G ) )  <->  S  C_  ( Base `  H ) ) )
3433biimpd 198 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  V  ->  (
( S  C_  A  /\  S  C_  ( Base `  G ) )  ->  S  C_  ( Base `  H
) ) )
3534impl 603 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  S  C_  A )  /\  S  C_  ( Base `  G ) )  ->  S  C_  ( Base `  H ) )
36 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  ( +g  `  H )  =  ( +g  `  H )
371, 36, 2elcntz 14798 . . . . . 6  |-  ( S 
C_  ( Base `  H
)  ->  ( x  e.  ( Y `  S
)  <->  ( x  e.  ( Base `  H
)  /\  A. y  e.  S  ( x
( +g  `  H ) y )  =  ( y ( +g  `  H
) x ) ) ) )
3835, 37syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  S  C_  A )  /\  S  C_  ( Base `  G ) )  ->  ( x  e.  ( Y `  S
)  <->  ( x  e.  ( Base `  H
)  /\  A. y  e.  S  ( x
( +g  `  H ) y )  =  ( y ( +g  `  H
) x ) ) ) )
39 elin 3358 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( ( Z `
 S )  i^i 
A )  <->  ( x  e.  ( Z `  S
)  /\  x  e.  A ) )
40 ancom 437 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( Z `
 S )  /\  x  e.  A )  <->  ( x  e.  A  /\  x  e.  ( Z `  S ) ) )
4139, 40bitri 240 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( ( Z `
 S )  i^i 
A )  <->  ( x  e.  A  /\  x  e.  ( Z `  S
) ) )
426, 22, 12elcntz 14798 . . . . . . . 8  |-  ( S 
C_  ( Base `  G
)  ->  ( x  e.  ( Z `  S
)  <->  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  A. y  e.  S  ( x
( +g  `  G ) y )  =  ( y ( +g  `  G
) x ) ) ) )
4342adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  S  C_  A )  /\  S  C_  ( Base `  G ) )  ->  ( x  e.  ( Z `  S
)  <->  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  A. y  e.  S  ( x
( +g  `  G ) y )  =  ( y ( +g  `  G
) x ) ) ) )
4443anbi2d 684 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  S  C_  A )  /\  S  C_  ( Base `  G ) )  ->  ( ( x  e.  A  /\  x  e.  ( Z `  S
) )  <->  ( x  e.  A  /\  (
x  e.  ( Base `  G )  /\  A. y  e.  S  (
x ( +g  `  G
) y )  =  ( y ( +g  `  G ) x ) ) ) ) )
4541, 44syl5bb 248 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  S  C_  A )  /\  S  C_  ( Base `  G ) )  ->  ( x  e.  ( ( Z `  S )  i^i  A
)  <->  ( x  e.  A  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  A. y  e.  S  ( x
( +g  `  G ) y )  =  ( y ( +g  `  G
) x ) ) ) ) )
4630, 38, 453bitr4d 276 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  S  C_  A )  /\  S  C_  ( Base `  G ) )  ->  ( x  e.  ( Y `  S
)  <->  x  e.  (
( Z `  S
)  i^i  A )
) )
4746ex 423 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  S  C_  A )  -> 
( S  C_  ( Base `  G )  -> 
( x  e.  ( Y `  S )  <-> 
x  e.  ( ( Z `  S )  i^i  A ) ) ) )
489, 16, 47pm5.21ndd 343 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  S  C_  A )  -> 
( x  e.  ( Y `  S )  <-> 
x  e.  ( ( Z `  S )  i^i  A ) ) )
4948eqrdv 2281 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  S  C_  A )  -> 
( Y `  S
)  =  ( ( Z `  S )  i^i  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   _Vcvv 2788    i^i cin 3151    C_ wss 3152   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148   ↾s cress 13149   +g cplusg 13208  Cntzccntz 14791
This theorem is referenced by:  gsumzsubmcl  15200  subgdmdprd  15269  cntzsdrg  27510
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-cntz 14793
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