Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ressffth Structured version   Unicode version

Theorem ressffth 14135
 Description: The inclusion functor from a full subcategory is a full and faithful functor. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ressffth.d s
ressffth.i idfunc
Assertion
Ref Expression
ressffth Full Faith

Proof of Theorem ressffth
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relfunc 14059 . . 3
2 ressffth.d . . . . 5 s
3 resscat 14049 . . . . 5 s
42, 3syl5eqel 2520 . . . 4
5 ressffth.i . . . . 5 idfunc
65idfucl 14078 . . . 4
74, 6syl 16 . . 3
8 1st2nd 6393 . . 3
91, 7, 8sylancr 645 . 2
10 eqidd 2437 . . . . . . . . 9 f f
11 eqidd 2437 . . . . . . . . 9 compf compf
12 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . . 14
1312ressinbas 13525 . . . . . . . . . . . . 13 s s
1413adantl 453 . . . . . . . . . . . 12 s s
152, 14syl5eq 2480 . . . . . . . . . . 11 s
1615fveq2d 5732 . . . . . . . . . 10 f f s
17 eqid 2436 . . . . . . . . . . . 12 f f
18 simpl 444 . . . . . . . . . . . 12
19 inss2 3562 . . . . . . . . . . . . 13
2019a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
21 eqid 2436 . . . . . . . . . . . 12 s s
22 eqid 2436 . . . . . . . . . . . 12 cat f cat f
2312, 17, 18, 20, 21, 22fullresc 14048 . . . . . . . . . . 11 f s f cat f compfs compf cat f
2423simpld 446 . . . . . . . . . 10 f s f cat f
2516, 24eqtrd 2468 . . . . . . . . 9 f f cat f
2615fveq2d 5732 . . . . . . . . . 10 compf compfs
2723simprd 450 . . . . . . . . . 10 compfs compf cat f
2826, 27eqtrd 2468 . . . . . . . . 9 compf compf cat f
29 ovex 6106 . . . . . . . . . . 11 s
302, 29eqeltri 2506 . . . . . . . . . 10
3130a1i 11 . . . . . . . . 9
32 ovex 6106 . . . . . . . . . 10 cat f
3332a1i 11 . . . . . . . . 9 cat f
3410, 11, 25, 28, 31, 31, 31, 33funcpropd 14097 . . . . . . . 8 cat f
3512, 17, 18, 20fullsubc 14047 . . . . . . . . 9 f Subcat
36 funcres2 14095 . . . . . . . . 9 f Subcat cat f
3735, 36syl 16 . . . . . . . 8 cat f
3834, 37eqsstrd 3382 . . . . . . 7
3938, 7sseldd 3349 . . . . . 6
409, 39eqeltrrd 2511 . . . . 5
41 df-br 4213 . . . . 5
4240, 41sylibr 204 . . . 4
43 f1oi 5713 . . . . . 6
44 eqid 2436 . . . . . . . 8
454adantr 452 . . . . . . . 8
46 eqid 2436 . . . . . . . 8
47 simprl 733 . . . . . . . 8
48 simprr 734 . . . . . . . 8
495, 44, 45, 46, 47, 48idfu2nd 14074 . . . . . . 7
50 eqidd 2437 . . . . . . 7
51 eqid 2436 . . . . . . . . . 10
522, 51resshom 13646 . . . . . . . . 9
5352ad2antlr 708 . . . . . . . 8
545, 44, 45, 47idfu1 14077 . . . . . . . 8
555, 44, 45, 48idfu1 14077 . . . . . . . 8
5653, 54, 55oveq123d 6102 . . . . . . 7
5749, 50, 56f1oeq123d 5671 . . . . . 6
5843, 57mpbiri 225 . . . . 5
5958ralrimivva 2798 . . . 4
6044, 46, 51isffth2 14113 . . . 4 Full Faith
6142, 59, 60sylanbrc 646 . . 3 Full Faith
62 df-br 4213 . . 3 Full Faith Full Faith
6361, 62sylib 189 . 2 Full Faith
649, 63eqeltrd 2510 1 Full Faith
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  wral 2705  cvv 2956   cin 3319   wss 3320  cop 3817   class class class wbr 4212   cid 4493   cxp 4876   cres 4880   wrel 4883  wf1o 5453  cfv 5454  (class class class)co 6081  c1st 6347  c2nd 6348  cbs 13469   ↾s cress 13470   chom 13540  ccat 13889   f chomf 13891  compfccomf 13892   cat cresc 14008  Subcatcsubc 14009   cfunc 14051  idfunccidfu 14052   Full cful 14099   Faith cfth 14100 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-map 7020  df-pm 7021  df-ixp 7064  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-10 10066  df-n0 10222  df-z 10283  df-dec 10383  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-hom 13553  df-cco 13554  df-cat 13893  df-cid 13894  df-homf 13895  df-comf 13896  df-ssc 14010  df-resc 14011  df-subc 14012  df-func 14055  df-idfu 14056  df-full 14101  df-fth 14102
 Copyright terms: Public domain W3C validator