Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ressinbas Structured version   Unicode version

Theorem ressinbas 13525
 Description: Restriction only cares about the part of the second set which intersects the base of the first. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
ressid.1
Assertion
Ref Expression
ressinbas s s

Proof of Theorem ressinbas
StepHypRef Expression
1 elex 2964 . 2
2 eqid 2436 . . . . . . 7 s s
3 ressid.1 . . . . . . 7
42, 3ressid2 13517 . . . . . 6 s
5 ssid 3367 . . . . . . . 8
6 incom 3533 . . . . . . . . 9
7 df-ss 3334 . . . . . . . . . 10
87biimpi 187 . . . . . . . . 9
96, 8syl5eq 2480 . . . . . . . 8
105, 9syl5sseqr 3397 . . . . . . 7
11 elex 2964 . . . . . . 7
12 inex1g 4346 . . . . . . 7
13 eqid 2436 . . . . . . . 8 s s
1413, 3ressid2 13517 . . . . . . 7 s
1510, 11, 12, 14syl3an 1226 . . . . . 6 s
164, 15eqtr4d 2471 . . . . 5 s s
17163expb 1154 . . . 4 s s
18 inass 3551 . . . . . . . . 9
19 inidm 3550 . . . . . . . . . 10
2019ineq2i 3539 . . . . . . . . 9
2118, 20eqtr2i 2457 . . . . . . . 8
2221opeq2i 3988 . . . . . . 7
2322oveq2i 6092 . . . . . 6 sSet sSet
242, 3ressval2 13518 . . . . . 6 s sSet
25 inss1 3561 . . . . . . . . 9
26 sstr 3356 . . . . . . . . 9
2725, 26mpan2 653 . . . . . . . 8
2827con3i 129 . . . . . . 7
2913, 3ressval2 13518 . . . . . . 7 s sSet
3028, 11, 12, 29syl3an 1226 . . . . . 6 s sSet
3123, 24, 303eqtr4a 2494 . . . . 5 s s
32313expb 1154 . . . 4 s s
3317, 32pm2.61ian 766 . . 3 s s
34 reldmress 13515 . . . . . 6 s
3534ovprc1 6109 . . . . 5 s
3634ovprc1 6109 . . . . 5 s
3735, 36eqtr4d 2471 . . . 4 s s
3837adantr 452 . . 3 s s
3933, 38pm2.61ian 766 . 2 s s
401, 39syl 16 1 s s
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725  cvv 2956   cin 3319   wss 3320  c0 3628  cop 3817  cfv 5454  (class class class)co 6081  cnx 13466   sSet csts 13467  cbs 13469   ↾s cress 13470 This theorem is referenced by:  ressress  13526  rescabs  14033  resscat  14049  funcres2c  14098  ressffth  14135  cphsubrglem  19140  subofld  24245 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-opab 4267  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-ress 13476
 Copyright terms: Public domain W3C validator