MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  resslem Structured version   Unicode version

Theorem resslem 13514
Description: Other elements of a structure restriction. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
resslem.r  |-  R  =  ( Ws  A )
resslem.e  |-  C  =  ( E `  W
)
resslem.f  |-  E  = Slot 
N
resslem.n  |-  N  e.  NN
resslem.b  |-  1  <  N
Assertion
Ref Expression
resslem  |-  ( A  e.  V  ->  C  =  ( E `  R ) )

Proof of Theorem resslem
StepHypRef Expression
1 resslem.r . . . . . . 7  |-  R  =  ( Ws  A )
2 eqid 2435 . . . . . . 7  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
31, 2ressid2 13509 . . . . . 6  |-  ( ( ( Base `  W
)  C_  A  /\  W  e.  _V  /\  A  e.  V )  ->  R  =  W )
43fveq2d 5724 . . . . 5  |-  ( ( ( Base `  W
)  C_  A  /\  W  e.  _V  /\  A  e.  V )  ->  ( E `  R )  =  ( E `  W ) )
543expib 1156 . . . 4  |-  ( (
Base `  W )  C_  A  ->  ( ( W  e.  _V  /\  A  e.  V )  ->  ( E `  R )  =  ( E `  W ) ) )
61, 2ressval2 13510 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  ( Base `  W
)  C_  A  /\  W  e.  _V  /\  A  e.  V )  ->  R  =  ( W sSet  <. (
Base `  ndx ) ,  ( A  i^i  ( Base `  W ) )
>. ) )
76fveq2d 5724 . . . . . 6  |-  ( ( -.  ( Base `  W
)  C_  A  /\  W  e.  _V  /\  A  e.  V )  ->  ( E `  R )  =  ( E `  ( W sSet  <. ( Base `  ndx ) ,  ( A  i^i  ( Base `  W ) ) >.
) ) )
8 resslem.f . . . . . . . 8  |-  E  = Slot 
N
9 resslem.n . . . . . . . 8  |-  N  e.  NN
108, 9ndxid 13482 . . . . . . 7  |-  E  = Slot  ( E `  ndx )
118, 9ndxarg 13481 . . . . . . . . 9  |-  ( E `
 ndx )  =  N
12 1re 9082 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  RR
13 resslem.b . . . . . . . . . 10  |-  1  <  N
1412, 13gtneii 9177 . . . . . . . . 9  |-  N  =/=  1
1511, 14eqnetri 2615 . . . . . . . 8  |-  ( E `
 ndx )  =/=  1
16 basendx 13506 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  ndx )  =  1
1715, 16neeqtrri 2621 . . . . . . 7  |-  ( E `
 ndx )  =/=  ( Base `  ndx )
1810, 17setsnid 13501 . . . . . 6  |-  ( E `
 W )  =  ( E `  ( W sSet  <. ( Base `  ndx ) ,  ( A  i^i  ( Base `  W
) ) >. )
)
197, 18syl6eqr 2485 . . . . 5  |-  ( ( -.  ( Base `  W
)  C_  A  /\  W  e.  _V  /\  A  e.  V )  ->  ( E `  R )  =  ( E `  W ) )
20193expib 1156 . . . 4  |-  ( -.  ( Base `  W
)  C_  A  ->  ( ( W  e.  _V  /\  A  e.  V )  ->  ( E `  R )  =  ( E `  W ) ) )
215, 20pm2.61i 158 . . 3  |-  ( ( W  e.  _V  /\  A  e.  V )  ->  ( E `  R
)  =  ( E `
 W ) )
22 reldmress 13507 . . . . . . . . 9  |-  Rel  doms
2322ovprc1 6101 . . . . . . . 8  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  ( Ws  A )  =  (/) )
241, 23syl5eq 2479 . . . . . . 7  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  R  =  (/) )
2524fveq2d 5724 . . . . . 6  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  ( E `  R )  =  ( E `  (/) ) )
268str0 13497 . . . . . 6  |-  (/)  =  ( E `  (/) )
2725, 26syl6eqr 2485 . . . . 5  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  ( E `  R )  =  (/) )
28 fvprc 5714 . . . . 5  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  ( E `  W )  =  (/) )
2927, 28eqtr4d 2470 . . . 4  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  ( E `  R )  =  ( E `  W ) )
3029adantr 452 . . 3  |-  ( ( -.  W  e.  _V  /\  A  e.  V )  ->  ( E `  R )  =  ( E `  W ) )
3121, 30pm2.61ian 766 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  ( E `  R )  =  ( E `  W ) )
32 resslem.e . 2  |-  C  =  ( E `  W
)
3331, 32syl6reqr 2486 1  |-  ( A  e.  V  ->  C  =  ( E `  R ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   _Vcvv 2948    i^i cin 3311    C_ wss 3312   (/)c0 3620   <.cop 3809   class class class wbr 4204   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   1c1 8983    < clt 9112   NNcn 9992   ndxcnx 13458   sSet csts 13459  Slot cslot 13460   Basecbs 13461   ↾s cress 13462
This theorem is referenced by:  ressplusg  13563  ressmulr  13574  ressstarv  13575  resssca  13596  ressvsca  13597  resstset  13612  ressle  13619  ressds  13633  resshom  13638  ressco  13639  ressunif  18284
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-ltxr 9117  df-nn 9993  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468
  Copyright terms: Public domain W3C validator