Theorem resslogrn 8753

Description: The range of the natural logarithm function includes the real numbers. (Contributed by Paul Chapman, 21-Apr-2008.)

Assertion

Ref	Expression
resslogrn	|- RR (_ ran log

Proof of Theorem resslogrn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rabid 1769	. . . . 5 |- (x e. {x e. CC | (Im` x) e. (-upi[,)pi)} <-> (x e. CC /\ (Im` x) e. (-upi[,)pi)))
2	1	biimpr 152	. . . 4 |- ((x e. CC /\ (Im` x) e. (-upi[,)pi)) -> x e. {x e. CC | (Im` x) e. (-upi[,)pi)})
3		recnt 5313	. . . 4 |- (x e. RR -> x e. CC)
4		reim0t 6774	. . . . 5 |- (x e. RR -> (Im` x) = 0)
5		0re 5440	. . . . . 6 |- 0 e. RR
6		pire 8677	. . . . . . . 8 |- pi e. RR
7	6	renegcl 5416	. . . . . . 7 |- -upi e. RR
8		pipos 8678	. . . . . . . 8 |- 0 < pi
9		lt0neg2t 5669	. . . . . . . . 9 |- (pi e. RR -> (0 < pi <-> -upi < 0))
10	6, 9	ax-mp 7	. . . . . . . 8 |- (0 < pi <-> -upi < 0)
11	8, 10	mpbi 189	. . . . . . 7 |- -upi < 0
12	7, 5, 11	ltlei 5581	. . . . . 6 |- -upi <_ 0
13		elico2t 6391	. . . . . . . 8 |- ((-upi e. RR /\ pi e. RR) -> (0 e. (-upi[,)pi) <-> (0 e. RR /\ -upi <_ 0 /\ 0 < pi)))
14	7, 6, 13	mp2an 697	. . . . . . 7 |- (0 e. (-upi[,)pi) <-> (0 e. RR /\ -upi <_ 0 /\ 0 < pi))
15	14	biimpr 152	. . . . . 6 |- ((0 e. RR /\ -upi <_ 0 /\ 0 < pi) -> 0 e. (-upi[,)pi))
16	5, 12, 8, 15	mp3an 916	. . . . 5 |- 0 e. (-upi[,)pi)
17	4, 16	syl6eqel 1556	. . . 4 |- (x e. RR -> (Im` x) e. (-upi[,)pi))
18	2, 3, 17	sylanc 471	. . 3 |- (x e. RR -> x e. {x e. CC | (Im` x) e. (-upi[,)pi)})
19		logrn 8751	. . 3 |- ran log = {x e. CC | (Im` x) e. (-upi[,)pi)}
20	18, 19	syl6eleqr 1559	. 2 |- (x e. RR -> x e. ran log)
21	20	ssriv 2069	1 |- RR (_ ran log

Syntax hints:   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 775   e. wcel 958  {crab 1648   (_ wss 2047   class class class wbr 2619  ran crn 3171  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  CCcc 5232  RRcr 5233  0cc0 5234  -ucneg 5293   <_ cle 5295   < clt 5486  [,)cico 6359  Imcim 6748  picpi 7297  logclog 8749

This theorem is referenced by:  dfrelog 8756  relogf1o 8757  relogeft 8763  relogeftb 8765

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-reg 4593  ax-inf2 4625  ax-ac 4744

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-iin 2569  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-map 4324  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-sup 4574  df-r1 4643  df-rank 4644  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-div 5703  df-n 5925  df-2 5970  df-3 5971  df-4 5972  df-5 5973  df-6 5974  df-7 5975  df-8 5976  df-9 5977  df-n0 6100  df-z 6136  df-fl 6224  df-q 6256  df-rp 6281  df-seq1 6308  df-shft 6341  df-ioo 6361  df-ioc 6362  df-ico 6363  df-icc 6364  df-uz 6418  df-fz 6468  df-seqz 6533  df-seq0 6534  df-exp 6569  df-sqr 6670  df-re 6751  df-im 6752  df-cj 6753  df-abs 6754  df-fac 6932  df-bc 6957  df-clim 6975  df-sum 6980  df-cncf 7263  df-ef 7298  df-sin 7300  df-cos 7301  df-pi 7302  df-top 7592  df-cn 7754  df-cnp 7755  df-met 7793  df-bl 7795  df-opn 7796  df-lm 7922  df-grp 8037  df-gid 8038  df-ginv 8039  df-gdiv 8040  df-abl 8100  df-subg 8115  df-log 8750

Copyright terms: Public domain