Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ressmpladd Structured version   Unicode version

 Description: A restricted polynomial algebra has the same addition operation. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ressmpl.s mPoly
ressmpl.h s
ressmpl.u mPoly
ressmpl.b
ressmpl.1
ressmpl.2 SubRing
ressmpl.p s
Assertion
Ref Expression

StepHypRef Expression
1 ressmpl.u . . . . . 6 mPoly
2 eqid 2435 . . . . . 6 mPwSer mPwSer
3 ressmpl.b . . . . . 6
4 eqid 2435 . . . . . 6 mPwSer mPwSer
51, 2, 3, 4mplbasss 16488 . . . . 5 mPwSer
65sseli 3336 . . . 4 mPwSer
75sseli 3336 . . . 4 mPwSer
86, 7anim12i 550 . . 3 mPwSer mPwSer
9 eqid 2435 . . . 4 mPwSer mPwSer
10 ressmpl.h . . . 4 s
11 eqid 2435 . . . 4 mPwSer s mPwSer mPwSer s mPwSer
12 ressmpl.2 . . . 4 SubRing
139, 10, 2, 4, 11, 12resspsradd 16471 . . 3 mPwSer mPwSer mPwSer mPwSer s mPwSer
148, 13sylan2 461 . 2 mPwSer mPwSer s mPwSer
15 fvex 5734 . . . . 5
163, 15eqeltri 2505 . . . 4
171, 2, 3mplval2 16487 . . . . 5 mPwSer s
18 eqid 2435 . . . . 5 mPwSer mPwSer
1917, 18ressplusg 13563 . . . 4 mPwSer
2016, 19ax-mp 8 . . 3 mPwSer
2120oveqi 6086 . 2 mPwSer
22 fvex 5734 . . . . 5
23 ressmpl.s . . . . . . 7 mPoly
24 eqid 2435 . . . . . . 7
2523, 9, 24mplval2 16487 . . . . . 6 mPwSer s
26 eqid 2435 . . . . . 6 mPwSer mPwSer
2725, 26ressplusg 13563 . . . . 5 mPwSer
2822, 27ax-mp 8 . . . 4 mPwSer
29 fvex 5734 . . . . 5 mPwSer
3011, 26ressplusg 13563 . . . . 5 mPwSer mPwSer mPwSer s mPwSer
3129, 30ax-mp 8 . . . 4 mPwSer mPwSer s mPwSer
32 ressmpl.p . . . . . 6 s
33 eqid 2435 . . . . . 6
3432, 33ressplusg 13563 . . . . 5
3516, 34ax-mp 8 . . . 4
3628, 31, 353eqtr3i 2463 . . 3 mPwSer s mPwSer
3736oveqi 6086 . 2 mPwSer s mPwSer
3814, 21, 373eqtr3g 2490 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  cvv 2948  cfv 5446  (class class class)co 6073  cbs 13461   ↾s cress 13462   cplusg 13521  SubRingcsubrg 15856   mPwSer cmps 16398   mPoly cmpl 16400 This theorem is referenced by:  ressply1add  16616 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-fz 11036  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-sca 13537  df-vsca 13538  df-tset 13540  df-subg 14933  df-rng 15655  df-subrg 15858  df-psr 16409  df-mpl 16411
 Copyright terms: Public domain W3C validator