Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ressmplbas2 Structured version   Unicode version

Theorem ressmplbas2 16510
 Description: The base set of a restricted polynomial algebra consists of power series in the subring which are also polynomials (in the parent ring). (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ressmpl.s mPoly
ressmpl.h s
ressmpl.u mPoly
ressmpl.b
ressmpl.1
ressmpl.2 SubRing
ressmplbas2.w mPwSer
ressmplbas2.c
ressmplbas2.k
Assertion
Ref Expression
ressmplbas2

Proof of Theorem ressmplbas2
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ressmpl.1 . . . . . . 7
2 ressmpl.2 . . . . . . 7 SubRing
3 eqid 2435 . . . . . . . 8 mPwSer mPwSer
4 ressmpl.h . . . . . . . 8 s
5 ressmplbas2.w . . . . . . . 8 mPwSer
6 ressmplbas2.c . . . . . . . 8
73, 4, 5, 6subrgpsr 16474 . . . . . . 7 SubRing SubRing mPwSer
81, 2, 7syl2anc 643 . . . . . 6 SubRing mPwSer
9 eqid 2435 . . . . . . 7 mPwSer mPwSer
109subrgss 15861 . . . . . 6 SubRing mPwSer mPwSer
118, 10syl 16 . . . . 5 mPwSer
12 df-ss 3326 . . . . 5 mPwSer mPwSer
1311, 12sylib 189 . . . 4 mPwSer
14 eqid 2435 . . . . . . . . . . 11
154, 14subrg0 15867 . . . . . . . . . 10 SubRing
162, 15syl 16 . . . . . . . . 9
1716sneqd 3819 . . . . . . . 8
1817difeq2d 3457 . . . . . . 7
1918imaeq2d 5195 . . . . . 6
2019eleq1d 2501 . . . . 5
2120abbidv 2549 . . . 4
2213, 21ineq12d 3535 . . 3 mPwSer
2322eqcomd 2440 . 2 mPwSer
24 ressmpl.u . . . 4 mPoly
25 eqid 2435 . . . 4
26 ressmpl.b . . . 4
2724, 5, 6, 25, 26mplbas 16485 . . 3
28 dfrab3 3609 . . 3
2927, 28eqtri 2455 . 2
30 ressmpl.s . . . . . 6 mPoly
31 ressmplbas2.k . . . . . 6
3230, 3, 9, 14, 31mplbas 16485 . . . . 5 mPwSer
33 dfrab3 3609 . . . . 5 mPwSer mPwSer
3432, 33eqtri 2455 . . . 4 mPwSer
3534ineq2i 3531 . . 3 mPwSer
36 inass 3543 . . 3 mPwSer mPwSer
3735, 36eqtr4i 2458 . 2 mPwSer
3823, 29, 373eqtr4g 2492 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wceq 1652   wcel 1725  cab 2421  crab 2701  cvv 2948   cdif 3309   cin 3311   wss 3312  csn 3806  ccnv 4869  cima 4873  cfv 5446  (class class class)co 6073  cfn 7101  cbs 13461   ↾s cress 13462  c0g 13715  SubRingcsubrg 15856   mPwSer cmps 16398   mPoly cmpl 16400 This theorem is referenced by:  ressmplbas  16511  subrgmpl  16515  ressply1bas2  16614 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-ofr 6298  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-ixp 7056  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-oi 7471  df-card 7818  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-seq 11316  df-hash 11611  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-sca 13537  df-vsca 13538  df-tset 13540  df-0g 13719  df-gsum 13720  df-mre 13803  df-mrc 13804  df-acs 13806  df-mnd 14682  df-mhm 14730  df-submnd 14731  df-grp 14804  df-minusg 14805  df-mulg 14807  df-subg 14933  df-ghm 14996  df-cntz 15108  df-cmn 15406  df-abl 15407  df-mgp 15641  df-rng 15655  df-ur 15657  df-subrg 15858  df-psr 16409  df-mpl 16411
 Copyright terms: Public domain W3C validator