MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ressply1add Unicode version

Theorem ressply1add 16553
Description: A restricted polynomial algebra has the same addition operation. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ressply1.s  |-  S  =  (Poly1 `  R )
ressply1.h  |-  H  =  ( Rs  T )
ressply1.u  |-  U  =  (Poly1 `  H )
ressply1.b  |-  B  =  ( Base `  U
)
ressply1.2  |-  ( ph  ->  T  e.  (SubRing `  R
) )
ressply1.p  |-  P  =  ( Ss  B )
Assertion
Ref Expression
ressply1add  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( X ( +g  `  U ) Y )  =  ( X ( +g  `  P ) Y ) )

Proof of Theorem ressply1add
StepHypRef Expression
1 eqid 2389 . . 3  |-  ( 1o mPoly  R )  =  ( 1o mPoly  R )
2 ressply1.h . . 3  |-  H  =  ( Rs  T )
3 eqid 2389 . . 3  |-  ( 1o mPoly  H )  =  ( 1o mPoly  H )
4 ressply1.u . . . 4  |-  U  =  (Poly1 `  H )
5 eqid 2389 . . . 4  |-  (PwSer1 `  H
)  =  (PwSer1 `  H
)
6 ressply1.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  U
)
74, 5, 6ply1bas 16522 . . 3  |-  B  =  ( Base `  ( 1o mPoly  H ) )
8 1on 6669 . . . 4  |-  1o  e.  On
98a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  1o  e.  On )
10 ressply1.2 . . 3  |-  ( ph  ->  T  e.  (SubRing `  R
) )
11 eqid 2389 . . 3  |-  ( ( 1o mPoly  R )s  B )  =  ( ( 1o mPoly  R )s  B )
121, 2, 3, 7, 9, 10, 11ressmpladd 16449 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( X ( +g  `  ( 1o mPoly  H )
) Y )  =  ( X ( +g  `  ( ( 1o mPoly  R
)s 
B ) ) Y ) )
13 eqid 2389 . . . 4  |-  ( +g  `  U )  =  ( +g  `  U )
144, 3, 13ply1plusg 16548 . . 3  |-  ( +g  `  U )  =  ( +g  `  ( 1o mPoly  H ) )
1514oveqi 6035 . 2  |-  ( X ( +g  `  U
) Y )  =  ( X ( +g  `  ( 1o mPoly  H )
) Y )
16 ressply1.s . . . . 5  |-  S  =  (Poly1 `  R )
17 eqid 2389 . . . . 5  |-  ( +g  `  S )  =  ( +g  `  S )
1816, 1, 17ply1plusg 16548 . . . 4  |-  ( +g  `  S )  =  ( +g  `  ( 1o mPoly  R ) )
19 fvex 5684 . . . . . 6  |-  ( Base `  U )  e.  _V
206, 19eqeltri 2459 . . . . 5  |-  B  e. 
_V
21 ressply1.p . . . . . 6  |-  P  =  ( Ss  B )
2221, 17ressplusg 13500 . . . . 5  |-  ( B  e.  _V  ->  ( +g  `  S )  =  ( +g  `  P
) )
2320, 22ax-mp 8 . . . 4  |-  ( +g  `  S )  =  ( +g  `  P )
24 eqid 2389 . . . . . 6  |-  ( +g  `  ( 1o mPoly  R )
)  =  ( +g  `  ( 1o mPoly  R )
)
2511, 24ressplusg 13500 . . . . 5  |-  ( B  e.  _V  ->  ( +g  `  ( 1o mPoly  R
) )  =  ( +g  `  ( ( 1o mPoly  R )s  B ) ) )
2620, 25ax-mp 8 . . . 4  |-  ( +g  `  ( 1o mPoly  R )
)  =  ( +g  `  ( ( 1o mPoly  R
)s 
B ) )
2718, 23, 263eqtr3i 2417 . . 3  |-  ( +g  `  P )  =  ( +g  `  ( ( 1o mPoly  R )s  B ) )
2827oveqi 6035 . 2  |-  ( X ( +g  `  P
) Y )  =  ( X ( +g  `  ( ( 1o mPoly  R
)s 
B ) ) Y )
2912, 15, 283eqtr4g 2446 1  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( X ( +g  `  U ) Y )  =  ( X ( +g  `  P ) Y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   _Vcvv 2901   Oncon0 4524   ` cfv 5396  (class class class)co 6022   1oc1o 6655   Basecbs 13398   ↾s cress 13399   +g cplusg 13458  SubRingcsubrg 15793   mPoly cmpl 16337  PwSer1cps1 16498  Poly1cpl1 16500
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-rep 4263  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643  ax-cnex 8981  ax-resscn 8982  ax-1cn 8983  ax-icn 8984  ax-addcl 8985  ax-addrcl 8986  ax-mulcl 8987  ax-mulrcl 8988  ax-mulcom 8989  ax-addass 8990  ax-mulass 8991  ax-distr 8992  ax-i2m1 8993  ax-1ne0 8994  ax-1rid 8995  ax-rnegex 8996  ax-rrecex 8997  ax-cnre 8998  ax-pre-lttri 8999  ax-pre-lttrn 9000  ax-pre-ltadd 9001  ax-pre-mulgt0 9002
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-nel 2555  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-pss 3281  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-tp 3767  df-op 3768  df-uni 3960  df-int 3995  df-iun 4039  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-tr 4246  df-eprel 4437  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-fr 4484  df-we 4486  df-ord 4527  df-on 4528  df-lim 4529  df-suc 4530  df-om 4788  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-of 6246  df-1st 6290  df-2nd 6291  df-riota 6487  df-recs 6571  df-rdg 6606  df-1o 6662  df-oadd 6666  df-er 6843  df-map 6958  df-en 7048  df-dom 7049  df-sdom 7050  df-fin 7051  df-pnf 9057  df-mnf 9058  df-xr 9059  df-ltxr 9060  df-le 9061  df-sub 9227  df-neg 9228  df-nn 9935  df-2 9992  df-3 9993  df-4 9994  df-5 9995  df-6 9996  df-7 9997  df-8 9998  df-9 9999  df-10 10000  df-n0 10156  df-z 10217  df-uz 10423  df-fz 10978  df-struct 13400  df-ndx 13401  df-slot 13402  df-base 13403  df-sets 13404  df-ress 13405  df-plusg 13471  df-mulr 13472  df-sca 13474  df-vsca 13475  df-tset 13477  df-ple 13478  df-subg 14870  df-rng 15592  df-subrg 15795  df-psr 16346  df-mpl 16348  df-opsr 16354  df-psr1 16505  df-ply1 16507
  Copyright terms: Public domain W3C validator