MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ressply1add Structured version   Unicode version

Theorem ressply1add 16616
Description: A restricted polynomial algebra has the same addition operation. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ressply1.s  |-  S  =  (Poly1 `  R )
ressply1.h  |-  H  =  ( Rs  T )
ressply1.u  |-  U  =  (Poly1 `  H )
ressply1.b  |-  B  =  ( Base `  U
)
ressply1.2  |-  ( ph  ->  T  e.  (SubRing `  R
) )
ressply1.p  |-  P  =  ( Ss  B )
Assertion
Ref Expression
ressply1add  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( X ( +g  `  U ) Y )  =  ( X ( +g  `  P ) Y ) )

Proof of Theorem ressply1add
StepHypRef Expression
1 eqid 2435 . . 3  |-  ( 1o mPoly  R )  =  ( 1o mPoly  R )
2 ressply1.h . . 3  |-  H  =  ( Rs  T )
3 eqid 2435 . . 3  |-  ( 1o mPoly  H )  =  ( 1o mPoly  H )
4 ressply1.u . . . 4  |-  U  =  (Poly1 `  H )
5 eqid 2435 . . . 4  |-  (PwSer1 `  H
)  =  (PwSer1 `  H
)
6 ressply1.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  U
)
74, 5, 6ply1bas 16585 . . 3  |-  B  =  ( Base `  ( 1o mPoly  H ) )
8 1on 6723 . . . 4  |-  1o  e.  On
98a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  1o  e.  On )
10 ressply1.2 . . 3  |-  ( ph  ->  T  e.  (SubRing `  R
) )
11 eqid 2435 . . 3  |-  ( ( 1o mPoly  R )s  B )  =  ( ( 1o mPoly  R )s  B )
121, 2, 3, 7, 9, 10, 11ressmpladd 16512 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( X ( +g  `  ( 1o mPoly  H )
) Y )  =  ( X ( +g  `  ( ( 1o mPoly  R
)s 
B ) ) Y ) )
13 eqid 2435 . . . 4  |-  ( +g  `  U )  =  ( +g  `  U )
144, 3, 13ply1plusg 16611 . . 3  |-  ( +g  `  U )  =  ( +g  `  ( 1o mPoly  H ) )
1514oveqi 6086 . 2  |-  ( X ( +g  `  U
) Y )  =  ( X ( +g  `  ( 1o mPoly  H )
) Y )
16 ressply1.s . . . . 5  |-  S  =  (Poly1 `  R )
17 eqid 2435 . . . . 5  |-  ( +g  `  S )  =  ( +g  `  S )
1816, 1, 17ply1plusg 16611 . . . 4  |-  ( +g  `  S )  =  ( +g  `  ( 1o mPoly  R ) )
19 fvex 5734 . . . . . 6  |-  ( Base `  U )  e.  _V
206, 19eqeltri 2505 . . . . 5  |-  B  e. 
_V
21 ressply1.p . . . . . 6  |-  P  =  ( Ss  B )
2221, 17ressplusg 13563 . . . . 5  |-  ( B  e.  _V  ->  ( +g  `  S )  =  ( +g  `  P
) )
2320, 22ax-mp 8 . . . 4  |-  ( +g  `  S )  =  ( +g  `  P )
24 eqid 2435 . . . . . 6  |-  ( +g  `  ( 1o mPoly  R )
)  =  ( +g  `  ( 1o mPoly  R )
)
2511, 24ressplusg 13563 . . . . 5  |-  ( B  e.  _V  ->  ( +g  `  ( 1o mPoly  R
) )  =  ( +g  `  ( ( 1o mPoly  R )s  B ) ) )
2620, 25ax-mp 8 . . . 4  |-  ( +g  `  ( 1o mPoly  R )
)  =  ( +g  `  ( ( 1o mPoly  R
)s 
B ) )
2718, 23, 263eqtr3i 2463 . . 3  |-  ( +g  `  P )  =  ( +g  `  ( ( 1o mPoly  R )s  B ) )
2827oveqi 6086 . 2  |-  ( X ( +g  `  P
) Y )  =  ( X ( +g  `  ( ( 1o mPoly  R
)s 
B ) ) Y )
2912, 15, 283eqtr4g 2492 1  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( X ( +g  `  U ) Y )  =  ( X ( +g  `  P ) Y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   _Vcvv 2948   Oncon0 4573   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   1oc1o 6709   Basecbs 13461   ↾s cress 13462   +g cplusg 13521  SubRingcsubrg 15856   mPoly cmpl 16400  PwSer1cps1 16561  Poly1cpl1 16563
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-10 10058  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-fz 11036  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-sca 13537  df-vsca 13538  df-tset 13540  df-ple 13541  df-subg 14933  df-rng 15655  df-subrg 15858  df-psr 16409  df-mpl 16411  df-opsr 16417  df-psr1 16568  df-ply1 16570
  Copyright terms: Public domain W3C validator