MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ressply1bas2 Unicode version

Theorem ressply1bas2 16405
Description: The base set of a restricted polynomial algebra consists of power series in the subring which are also polynomials (in the parent ring). (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ressply1.s  |-  S  =  (Poly1 `  R )
ressply1.h  |-  H  =  ( Rs  T )
ressply1.u  |-  U  =  (Poly1 `  H )
ressply1.b  |-  B  =  ( Base `  U
)
ressply1.2  |-  ( ph  ->  T  e.  (SubRing `  R
) )
ressply1bas2.w  |-  W  =  (PwSer1 `  H )
ressply1bas2.c  |-  C  =  ( Base `  W
)
ressply1bas2.k  |-  K  =  ( Base `  S
)
Assertion
Ref Expression
ressply1bas2  |-  ( ph  ->  B  =  ( C  i^i  K ) )

Proof of Theorem ressply1bas2
StepHypRef Expression
1 eqid 2358 . 2  |-  ( 1o mPoly  R )  =  ( 1o mPoly  R )
2 ressply1.h . 2  |-  H  =  ( Rs  T )
3 eqid 2358 . 2  |-  ( 1o mPoly  H )  =  ( 1o mPoly  H )
4 ressply1.u . . 3  |-  U  =  (Poly1 `  H )
5 ressply1bas2.w . . 3  |-  W  =  (PwSer1 `  H )
6 ressply1.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  U
)
74, 5, 6ply1bas 16373 . 2  |-  B  =  ( Base `  ( 1o mPoly  H ) )
8 1on 6573 . . 3  |-  1o  e.  On
98a1i 10 . 2  |-  ( ph  ->  1o  e.  On )
10 ressply1.2 . 2  |-  ( ph  ->  T  e.  (SubRing `  R
) )
11 eqid 2358 . 2  |-  ( 1o mPwSer  H )  =  ( 1o mPwSer  H )
12 ressply1bas2.c . . 3  |-  C  =  ( Base `  W
)
135, 12, 11psr1bas2 16368 . 2  |-  C  =  ( Base `  ( 1o mPwSer  H ) )
14 ressply1.s . . 3  |-  S  =  (Poly1 `  R )
15 eqid 2358 . . 3  |-  (PwSer1 `  R
)  =  (PwSer1 `  R
)
16 ressply1bas2.k . . 3  |-  K  =  ( Base `  S
)
1714, 15, 16ply1bas 16373 . 2  |-  K  =  ( Base `  ( 1o mPoly  R ) )
181, 2, 3, 7, 9, 10, 11, 13, 17ressmplbas2 16298 1  |-  ( ph  ->  B  =  ( C  i^i  K ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1642    e. wcel 1710    i^i cin 3227   Oncon0 4474   ` cfv 5337  (class class class)co 5945   1oc1o 6559   Basecbs 13245   ↾s cress 13246  SubRingcsubrg 15640   mPwSer cmps 16186   mPoly cmpl 16188  PwSer1cps1 16349  Poly1cpl1 16351
This theorem is referenced by:  ressply1bas  16406
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4212  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-inf2 7432  ax-cnex 8883  ax-resscn 8884  ax-1cn 8885  ax-icn 8886  ax-addcl 8887  ax-addrcl 8888  ax-mulcl 8889  ax-mulrcl 8890  ax-mulcom 8891  ax-addass 8892  ax-mulass 8893  ax-distr 8894  ax-i2m1 8895  ax-1ne0 8896  ax-1rid 8897  ax-rnegex 8898  ax-rrecex 8899  ax-cnre 8900  ax-pre-lttri 8901  ax-pre-lttrn 8902  ax-pre-ltadd 8903  ax-pre-mulgt0 8904
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3909  df-int 3944  df-iun 3988  df-iin 3989  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-tr 4195  df-eprel 4387  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-fr 4434  df-se 4435  df-we 4436  df-ord 4477  df-on 4478  df-lim 4479  df-suc 4480  df-om 4739  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-isom 5346  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-of 6165  df-ofr 6166  df-1st 6209  df-2nd 6210  df-riota 6391  df-recs 6475  df-rdg 6510  df-1o 6566  df-2o 6567  df-oadd 6570  df-er 6747  df-map 6862  df-pm 6863  df-ixp 6906  df-en 6952  df-dom 6953  df-sdom 6954  df-fin 6955  df-oi 7315  df-card 7662  df-pnf 8959  df-mnf 8960  df-xr 8961  df-ltxr 8962  df-le 8963  df-sub 9129  df-neg 9130  df-nn 9837  df-2 9894  df-3 9895  df-4 9896  df-5 9897  df-6 9898  df-7 9899  df-8 9900  df-9 9901  df-10 9902  df-n0 10058  df-z 10117  df-uz 10323  df-fz 10875  df-fzo 10963  df-seq 11139  df-hash 11431  df-struct 13247  df-ndx 13248  df-slot 13249  df-base 13250  df-sets 13251  df-ress 13252  df-plusg 13318  df-mulr 13319  df-sca 13321  df-vsca 13322  df-tset 13324  df-ple 13325  df-0g 13503  df-gsum 13504  df-mre 13587  df-mrc 13588  df-acs 13590  df-mnd 14466  df-mhm 14514  df-submnd 14515  df-grp 14588  df-minusg 14589  df-mulg 14591  df-subg 14717  df-ghm 14780  df-cntz 14892  df-cmn 15190  df-abl 15191  df-mgp 15425  df-rng 15439  df-ur 15441  df-subrg 15642  df-psr 16197  df-mpl 16199  df-opsr 16205  df-psr1 16356  df-ply1 16358
  Copyright terms: Public domain W3C validator