MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ressply1bas2 Unicode version

Theorem ressply1bas2 16577
Description: The base set of a restricted polynomial algebra consists of power series in the subring which are also polynomials (in the parent ring). (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ressply1.s  |-  S  =  (Poly1 `  R )
ressply1.h  |-  H  =  ( Rs  T )
ressply1.u  |-  U  =  (Poly1 `  H )
ressply1.b  |-  B  =  ( Base `  U
)
ressply1.2  |-  ( ph  ->  T  e.  (SubRing `  R
) )
ressply1bas2.w  |-  W  =  (PwSer1 `  H )
ressply1bas2.c  |-  C  =  ( Base `  W
)
ressply1bas2.k  |-  K  =  ( Base `  S
)
Assertion
Ref Expression
ressply1bas2  |-  ( ph  ->  B  =  ( C  i^i  K ) )

Proof of Theorem ressply1bas2
StepHypRef Expression
1 eqid 2404 . 2  |-  ( 1o mPoly  R )  =  ( 1o mPoly  R )
2 ressply1.h . 2  |-  H  =  ( Rs  T )
3 eqid 2404 . 2  |-  ( 1o mPoly  H )  =  ( 1o mPoly  H )
4 ressply1.u . . 3  |-  U  =  (Poly1 `  H )
5 ressply1bas2.w . . 3  |-  W  =  (PwSer1 `  H )
6 ressply1.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  U
)
74, 5, 6ply1bas 16548 . 2  |-  B  =  ( Base `  ( 1o mPoly  H ) )
8 1on 6690 . . 3  |-  1o  e.  On
98a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  1o  e.  On )
10 ressply1.2 . 2  |-  ( ph  ->  T  e.  (SubRing `  R
) )
11 eqid 2404 . 2  |-  ( 1o mPwSer  H )  =  ( 1o mPwSer  H )
12 ressply1bas2.c . . 3  |-  C  =  ( Base `  W
)
135, 12, 11psr1bas2 16543 . 2  |-  C  =  ( Base `  ( 1o mPwSer  H ) )
14 ressply1.s . . 3  |-  S  =  (Poly1 `  R )
15 eqid 2404 . . 3  |-  (PwSer1 `  R
)  =  (PwSer1 `  R
)
16 ressply1bas2.k . . 3  |-  K  =  ( Base `  S
)
1714, 15, 16ply1bas 16548 . 2  |-  K  =  ( Base `  ( 1o mPoly  R ) )
181, 2, 3, 7, 9, 10, 11, 13, 17ressmplbas2 16473 1  |-  ( ph  ->  B  =  ( C  i^i  K ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1649    e. wcel 1721    i^i cin 3279   Oncon0 4541   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   1oc1o 6676   Basecbs 13424   ↾s cress 13425  SubRingcsubrg 15819   mPwSer cmps 16361   mPoly cmpl 16363  PwSer1cps1 16524  Poly1cpl1 16526
This theorem is referenced by:  ressply1bas  16578
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-ofr 6265  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-oi 7435  df-card 7782  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-seq 11279  df-hash 11574  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-mhm 14693  df-submnd 14694  df-grp 14767  df-minusg 14768  df-mulg 14770  df-subg 14896  df-ghm 14959  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-abl 15370  df-mgp 15604  df-rng 15618  df-ur 15620  df-subrg 15821  df-psr 16372  df-mpl 16374  df-opsr 16380  df-psr1 16531  df-ply1 16533
  Copyright terms: Public domain W3C validator