MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ressply1mul Structured version   Unicode version

Theorem ressply1mul 16618
Description: A restricted polynomial algebra has the same multiplication operation. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ressply1.s  |-  S  =  (Poly1 `  R )
ressply1.h  |-  H  =  ( Rs  T )
ressply1.u  |-  U  =  (Poly1 `  H )
ressply1.b  |-  B  =  ( Base `  U
)
ressply1.2  |-  ( ph  ->  T  e.  (SubRing `  R
) )
ressply1.p  |-  P  =  ( Ss  B )
Assertion
Ref Expression
ressply1mul  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( X ( .r
`  U ) Y )  =  ( X ( .r `  P
) Y ) )

Proof of Theorem ressply1mul
StepHypRef Expression
1 eqid 2436 . . 3  |-  ( 1o mPoly  R )  =  ( 1o mPoly  R )
2 ressply1.h . . 3  |-  H  =  ( Rs  T )
3 eqid 2436 . . 3  |-  ( 1o mPoly  H )  =  ( 1o mPoly  H )
4 ressply1.u . . . 4  |-  U  =  (Poly1 `  H )
5 eqid 2436 . . . 4  |-  (PwSer1 `  H
)  =  (PwSer1 `  H
)
6 ressply1.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  U
)
74, 5, 6ply1bas 16586 . . 3  |-  B  =  ( Base `  ( 1o mPoly  H ) )
8 1on 6724 . . . 4  |-  1o  e.  On
98a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  1o  e.  On )
10 ressply1.2 . . 3  |-  ( ph  ->  T  e.  (SubRing `  R
) )
11 eqid 2436 . . 3  |-  ( ( 1o mPoly  R )s  B )  =  ( ( 1o mPoly  R )s  B )
121, 2, 3, 7, 9, 10, 11ressmplmul 16514 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( X ( .r
`  ( 1o mPoly  H
) ) Y )  =  ( X ( .r `  ( ( 1o mPoly  R )s  B ) ) Y ) )
13 eqid 2436 . . . 4  |-  ( .r
`  U )  =  ( .r `  U
)
144, 3, 13ply1mulr 16614 . . 3  |-  ( .r
`  U )  =  ( .r `  ( 1o mPoly  H ) )
1514oveqi 6087 . 2  |-  ( X ( .r `  U
) Y )  =  ( X ( .r
`  ( 1o mPoly  H
) ) Y )
16 ressply1.s . . . . 5  |-  S  =  (Poly1 `  R )
17 eqid 2436 . . . . 5  |-  ( .r
`  S )  =  ( .r `  S
)
1816, 1, 17ply1mulr 16614 . . . 4  |-  ( .r
`  S )  =  ( .r `  ( 1o mPoly  R ) )
19 fvex 5735 . . . . . 6  |-  ( Base `  U )  e.  _V
206, 19eqeltri 2506 . . . . 5  |-  B  e. 
_V
21 ressply1.p . . . . . 6  |-  P  =  ( Ss  B )
2221, 17ressmulr 13575 . . . . 5  |-  ( B  e.  _V  ->  ( .r `  S )  =  ( .r `  P
) )
2320, 22ax-mp 8 . . . 4  |-  ( .r
`  S )  =  ( .r `  P
)
24 eqid 2436 . . . . . 6  |-  ( .r
`  ( 1o mPoly  R
) )  =  ( .r `  ( 1o mPoly  R ) )
2511, 24ressmulr 13575 . . . . 5  |-  ( B  e.  _V  ->  ( .r `  ( 1o mPoly  R
) )  =  ( .r `  ( ( 1o mPoly  R )s  B ) ) )
2620, 25ax-mp 8 . . . 4  |-  ( .r
`  ( 1o mPoly  R
) )  =  ( .r `  ( ( 1o mPoly  R )s  B ) )
2718, 23, 263eqtr3i 2464 . . 3  |-  ( .r
`  P )  =  ( .r `  (
( 1o mPoly  R )s  B
) )
2827oveqi 6087 . 2  |-  ( X ( .r `  P
) Y )  =  ( X ( .r
`  ( ( 1o mPoly  R )s  B ) ) Y )
2912, 15, 283eqtr4g 2493 1  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( X ( .r
`  U ) Y )  =  ( X ( .r `  P
) Y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   _Vcvv 2949   Oncon0 4574   ` cfv 5447  (class class class)co 6074   1oc1o 6710   Basecbs 13462   ↾s cress 13463   .rcmulr 13523  SubRingcsubrg 15857   mPoly cmpl 16401  PwSer1cps1 16562  Poly1cpl1 16564
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4313  ax-sep 4323  ax-nul 4331  ax-pow 4370  ax-pr 4396  ax-un 4694  ax-cnex 9039  ax-resscn 9040  ax-1cn 9041  ax-icn 9042  ax-addcl 9043  ax-addrcl 9044  ax-mulcl 9045  ax-mulrcl 9046  ax-mulcom 9047  ax-addass 9048  ax-mulass 9049  ax-distr 9050  ax-i2m1 9051  ax-1ne0 9052  ax-1rid 9053  ax-rnegex 9054  ax-rrecex 9055  ax-cnre 9056  ax-pre-lttri 9057  ax-pre-lttrn 9058  ax-pre-ltadd 9059  ax-pre-mulgt0 9060
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2703  df-rex 2704  df-reu 2705  df-rmo 2706  df-rab 2707  df-v 2951  df-sbc 3155  df-csb 3245  df-dif 3316  df-un 3318  df-in 3320  df-ss 3327  df-pss 3329  df-nul 3622  df-if 3733  df-pw 3794  df-sn 3813  df-pr 3814  df-tp 3815  df-op 3816  df-uni 4009  df-int 4044  df-iun 4088  df-br 4206  df-opab 4260  df-mpt 4261  df-tr 4296  df-eprel 4487  df-id 4491  df-po 4496  df-so 4497  df-fr 4534  df-we 4536  df-ord 4577  df-on 4578  df-lim 4579  df-suc 4580  df-om 4839  df-xp 4877  df-rel 4878  df-cnv 4879  df-co 4880  df-dm 4881  df-rn 4882  df-res 4883  df-ima 4884  df-iota 5411  df-fun 5449  df-fn 5450  df-f 5451  df-f1 5452  df-fo 5453  df-f1o 5454  df-fv 5455  df-ov 6077  df-oprab 6078  df-mpt2 6079  df-of 6298  df-ofr 6299  df-1st 6342  df-2nd 6343  df-riota 6542  df-recs 6626  df-rdg 6661  df-1o 6717  df-2o 6718  df-oadd 6721  df-er 6898  df-map 7013  df-pm 7014  df-ixp 7057  df-en 7103  df-dom 7104  df-sdom 7105  df-fin 7106  df-pnf 9115  df-mnf 9116  df-xr 9117  df-ltxr 9118  df-le 9119  df-sub 9286  df-neg 9287  df-nn 9994  df-2 10051  df-3 10052  df-4 10053  df-5 10054  df-6 10055  df-7 10056  df-8 10057  df-9 10058  df-10 10059  df-n0 10215  df-z 10276  df-uz 10482  df-fz 11037  df-seq 11317  df-struct 13464  df-ndx 13465  df-slot 13466  df-base 13467  df-sets 13468  df-ress 13469  df-plusg 13535  df-mulr 13536  df-sca 13538  df-vsca 13539  df-tset 13541  df-ple 13542  df-0g 13720  df-gsum 13721  df-mnd 14683  df-submnd 14732  df-grp 14805  df-minusg 14806  df-subg 14934  df-mgp 15642  df-rng 15656  df-subrg 15859  df-psr 16410  df-mpl 16412  df-opsr 16418  df-psr1 16569  df-ply1 16571
  Copyright terms: Public domain W3C validator