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Theorem ressprdsds 18406
Description: Restriction of a product metric. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ressprdsds.y  |-  ( ph  ->  Y  =  ( S
X_s ( x  e.  I  |->  R ) ) )
ressprdsds.h  |-  ( ph  ->  H  =  ( T
X_s ( x  e.  I  |->  ( Rs  A ) ) ) )
ressprdsds.b  |-  B  =  ( Base `  H
)
ressprdsds.d  |-  D  =  ( dist `  Y
)
ressprdsds.e  |-  E  =  ( dist `  H
)
ressprdsds.s  |-  ( ph  ->  S  e.  U )
ressprdsds.t  |-  ( ph  ->  T  e.  V )
ressprdsds.i  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
ressprdsds.r  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  R  e.  X )
ressprdsds.a  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  A  e.  Z )
Assertion
Ref Expression
ressprdsds  |-  ( ph  ->  E  =  ( D  |`  ( B  X.  B
) ) )
Distinct variable groups:    x, I    ph, x
Allowed substitution hints:    A( x)    B( x)    D( x)    R( x)    S( x)    T( x)    U( x)    E( x)    H( x)    V( x)    W( x)    X( x)    Y( x)    Z( x)

Proof of Theorem ressprdsds
Dummy variables  f 
g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovres 6216 . . . . 5  |-  ( ( f  e.  B  /\  g  e.  B )  ->  ( f ( D  |`  ( B  X.  B
) ) g )  =  ( f D g ) )
21adantl 454 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
( f ( D  |`  ( B  X.  B
) ) g )  =  ( f D g ) )
3 ressprdsds.a . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  A  e.  Z )
4 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Rs  A )  =  ( Rs  A )
5 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( dist `  R )  =  (
dist `  R )
64, 5ressds 13646 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  Z  ->  ( dist `  R )  =  ( dist `  ( Rs  A ) ) )
73, 6syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( dist `  R )  =  ( dist `  ( Rs  A ) ) )
87oveqd 6101 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  (
( f `  x
) ( dist `  R
) ( g `  x ) )  =  ( ( f `  x ) ( dist `  ( Rs  A ) ) ( g `  x ) ) )
98mpteq2dva 4298 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( dist `  R ) ( g `
 x ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( dist `  ( Rs  A ) ) ( g `  x ) ) ) )
109adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( dist `  R ) ( g `
 x ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( dist `  ( Rs  A ) ) ( g `  x ) ) ) )
1110rneqd 5100 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  ->  ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( dist `  R ) ( g `
 x ) ) )  =  ran  (
x  e.  I  |->  ( ( f `  x
) ( dist `  ( Rs  A ) ) ( g `  x ) ) ) )
1211uneq1d 3502 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( dist `  R
) ( g `  x ) ) )  u.  { 0 } )  =  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( dist `  ( Rs  A ) ) ( g `  x ) ) )  u.  {
0 } ) )
1312supeq1d 7454 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  ->  sup ( ( ran  (
x  e.  I  |->  ( ( f `  x
) ( dist `  R
) ( g `  x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  )  =  sup ( ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `
 x ) (
dist `  ( Rs  A
) ) ( g `
 x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  ) )
14 eqid 2438 . . . . . . 7  |-  ( S
X_s ( x  e.  I  |->  R ) )  =  ( S X_s ( x  e.  I  |->  R ) )
15 eqid 2438 . . . . . . 7  |-  ( Base `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  R ) ) )  =  ( Base `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  R ) ) )
16 ressprdsds.s . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S  e.  U )
1716adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  ->  S  e.  U )
18 ressprdsds.i . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
1918adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  ->  I  e.  W )
20 ressprdsds.r . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  R  e.  X )
2120ralrimiva 2791 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. x  e.  I  R  e.  X )
2221adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  ->  A. x  e.  I  R  e.  X )
23 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
244, 23ressbasss 13526 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Base `  ( Rs  A ) )  C_  ( Base `  R )
2524a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( Base `  ( Rs  A ) )  C_  ( Base `  R ) )
2625ralrimiva 2791 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A. x  e.  I 
( Base `  ( Rs  A
) )  C_  ( Base `  R ) )
27 ss2ixp 7078 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. x  e.  I  ( Base `  ( Rs  A ) )  C_  ( Base `  R )  ->  X_ x  e.  I  ( Base `  ( Rs  A ) )  C_  X_ x  e.  I  (
Base `  R )
)
2826, 27syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  -> 
X_ x  e.  I 
( Base `  ( Rs  A
) )  C_  X_ x  e.  I  ( Base `  R ) )
29 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( T
X_s ( x  e.  I  |->  ( Rs  A ) ) )  =  ( T X_s (
x  e.  I  |->  ( Rs  A ) ) )
30 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Base `  ( T X_s ( x  e.  I  |->  ( Rs  A ) ) ) )  =  ( Base `  ( T X_s ( x  e.  I  |->  ( Rs  A ) ) ) )
31 ressprdsds.t . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  T  e.  V )
32 ovex 6109 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Rs  A )  e.  _V
3332rgenw 2775 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  A. x  e.  I  ( Rs  A
)  e.  _V
3433a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A. x  e.  I 
( Rs  A )  e.  _V )
35 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Base `  ( Rs  A ) )  =  ( Base `  ( Rs  A ) )
3629, 30, 31, 18, 34, 35prdsbas3 13708 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( Base `  ( T X_s ( x  e.  I  |->  ( Rs  A ) ) ) )  =  X_ x  e.  I  ( Base `  ( Rs  A ) ) )
3714, 15, 16, 18, 21, 23prdsbas3 13708 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( Base `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  R ) ) )  =  X_ x  e.  I 
( Base `  R )
)
3828, 36, 373sstr4d 3393 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( Base `  ( T X_s ( x  e.  I  |->  ( Rs  A ) ) ) )  C_  ( Base `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  R ) ) ) )
39 ressprdsds.b . . . . . . . . . . . 12  |-  B  =  ( Base `  H
)
40 ressprdsds.h . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  H  =  ( T
X_s ( x  e.  I  |->  ( Rs  A ) ) ) )
4140fveq2d 5735 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( Base `  H
)  =  ( Base `  ( T X_s ( x  e.  I  |->  ( Rs  A ) ) ) ) )
4239, 41syl5eq 2482 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  ( T X_s ( x  e.  I  |->  ( Rs  A ) ) ) ) )
43 ressprdsds.y . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  Y  =  ( S
X_s ( x  e.  I  |->  R ) ) )
4443fveq2d 5735 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( Base `  Y
)  =  ( Base `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  R ) ) ) )
4538, 42, 443sstr4d 3393 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  B  C_  ( Base `  Y ) )
4645adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  ->  B  C_  ( Base `  Y
) )
4744adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
( Base `  Y )  =  ( Base `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  R ) ) ) )
4846, 47sseqtrd 3386 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  ->  B  C_  ( Base `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  R ) ) ) )
49 simprl 734 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
f  e.  B )
5048, 49sseldd 3351 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
f  e.  ( Base `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  R ) ) ) )
51 simprr 735 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
g  e.  B )
5248, 51sseldd 3351 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
g  e.  ( Base `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  R ) ) ) )
53 eqid 2438 . . . . . . 7  |-  ( dist `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  R ) ) )  =  ( dist `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  R ) ) )
5414, 15, 17, 19, 22, 50, 52, 5, 53prdsdsval2 13711 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
( f ( dist `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  R ) ) ) g )  =  sup ( ( ran  (
x  e.  I  |->  ( ( f `  x
) ( dist `  R
) ( g `  x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  ) )
5531adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  ->  T  e.  V )
5633a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  ->  A. x  e.  I 
( Rs  A )  e.  _V )
5742adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  ->  B  =  ( Base `  ( T X_s ( x  e.  I  |->  ( Rs  A ) ) ) ) )
5849, 57eleqtrd 2514 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
f  e.  ( Base `  ( T X_s ( x  e.  I  |->  ( Rs  A ) ) ) ) )
5951, 57eleqtrd 2514 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
g  e.  ( Base `  ( T X_s ( x  e.  I  |->  ( Rs  A ) ) ) ) )
60 eqid 2438 . . . . . . 7  |-  ( dist `  ( Rs  A ) )  =  ( dist `  ( Rs  A ) )
61 eqid 2438 . . . . . . 7  |-  ( dist `  ( T X_s ( x  e.  I  |->  ( Rs  A ) ) ) )  =  ( dist `  ( T X_s ( x  e.  I  |->  ( Rs  A ) ) ) )
6229, 30, 55, 19, 56, 58, 59, 60, 61prdsdsval2 13711 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
( f ( dist `  ( T X_s ( x  e.  I  |->  ( Rs  A ) ) ) ) g )  =  sup ( ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( dist `  ( Rs  A ) ) ( g `  x ) ) )  u.  {
0 } ) , 
RR* ,  <  ) )
6313, 54, 623eqtr4d 2480 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
( f ( dist `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  R ) ) ) g )  =  ( f ( dist `  ( T X_s ( x  e.  I  |->  ( Rs  A ) ) ) ) g ) )
64 ressprdsds.d . . . . . . 7  |-  D  =  ( dist `  Y
)
6543fveq2d 5735 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( dist `  Y
)  =  ( dist `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  R ) ) ) )
6664, 65syl5eq 2482 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  D  =  ( dist `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  R ) ) ) )
6766proplem3 13921 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
( f D g )  =  ( f ( dist `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  R ) ) ) g ) )
68 ressprdsds.e . . . . . . 7  |-  E  =  ( dist `  H
)
6940fveq2d 5735 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( dist `  H
)  =  ( dist `  ( T X_s ( x  e.  I  |->  ( Rs  A ) ) ) ) )
7068, 69syl5eq 2482 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  E  =  ( dist `  ( T X_s ( x  e.  I  |->  ( Rs  A ) ) ) ) )
7170proplem3 13921 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
( f E g )  =  ( f ( dist `  ( T X_s ( x  e.  I  |->  ( Rs  A ) ) ) ) g ) )
7263, 67, 713eqtr4d 2480 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
( f D g )  =  ( f E g ) )
732, 72eqtr2d 2471 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
( f E g )  =  ( f ( D  |`  ( B  X.  B ) ) g ) )
7473ralrimivva 2800 . 2  |-  ( ph  ->  A. f  e.  B  A. g  e.  B  ( f E g )  =  ( f ( D  |`  ( B  X.  B ) ) g ) )
75 mptexg 5968 . . . . . 6  |-  ( I  e.  W  ->  (
x  e.  I  |->  ( Rs  A ) )  e. 
_V )
7618, 75syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  I  |->  ( Rs  A ) )  e. 
_V )
77 eqid 2438 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  I  |->  ( Rs  A ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( Rs  A ) )
7832, 77dmmpti 5577 . . . . . 6  |-  dom  (
x  e.  I  |->  ( Rs  A ) )  =  I
7978a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  dom  ( x  e.  I  |->  ( Rs  A ) )  =  I )
8029, 31, 76, 30, 79, 61prdsdsfn 13692 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( dist `  ( T X_s ( x  e.  I  |->  ( Rs  A ) ) ) )  Fn  ( (
Base `  ( T X_s ( x  e.  I  |->  ( Rs  A ) ) ) )  X.  ( Base `  ( T X_s ( x  e.  I  |->  ( Rs  A ) ) ) ) ) )
8142, 42xpeq12d 4906 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( B  X.  B
)  =  ( (
Base `  ( T X_s ( x  e.  I  |->  ( Rs  A ) ) ) )  X.  ( Base `  ( T X_s ( x  e.  I  |->  ( Rs  A ) ) ) ) ) )
8270, 81fneq12d 5541 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E  Fn  ( B  X.  B )  <->  ( dist `  ( T X_s ( x  e.  I  |->  ( Rs  A ) ) ) )  Fn  ( (
Base `  ( T X_s ( x  e.  I  |->  ( Rs  A ) ) ) )  X.  ( Base `  ( T X_s ( x  e.  I  |->  ( Rs  A ) ) ) ) ) ) )
8380, 82mpbird 225 . . 3  |-  ( ph  ->  E  Fn  ( B  X.  B ) )
84 mptexg 5968 . . . . . . 7  |-  ( I  e.  W  ->  (
x  e.  I  |->  R )  e.  _V )
8518, 84syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  I  |->  R )  e.  _V )
86 dmmptg 5370 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  I  R  e.  X  ->  dom  (
x  e.  I  |->  R )  =  I )
8721, 86syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  dom  ( x  e.  I  |->  R )  =  I )
8814, 16, 85, 15, 87, 53prdsdsfn 13692 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( dist `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  R ) ) )  Fn  ( ( Base `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  R ) ) )  X.  ( Base `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  R ) ) ) ) )
8944, 44xpeq12d 4906 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( Base `  Y
)  X.  ( Base `  Y ) )  =  ( ( Base `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  R ) ) )  X.  ( Base `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  R ) ) ) ) )
9066, 89fneq12d 5541 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( D  Fn  (
( Base `  Y )  X.  ( Base `  Y
) )  <->  ( dist `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  R ) ) )  Fn  ( ( Base `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  R ) ) )  X.  ( Base `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  R ) ) ) ) ) )
9188, 90mpbird 225 . . . 4  |-  ( ph  ->  D  Fn  ( (
Base `  Y )  X.  ( Base `  Y
) ) )
92 xpss12 4984 . . . . 5  |-  ( ( B  C_  ( Base `  Y )  /\  B  C_  ( Base `  Y
) )  ->  ( B  X.  B )  C_  ( ( Base `  Y
)  X.  ( Base `  Y ) ) )
9345, 45, 92syl2anc 644 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( B  X.  B
)  C_  ( ( Base `  Y )  X.  ( Base `  Y
) ) )
94 fnssres 5561 . . . 4  |-  ( ( D  Fn  ( (
Base `  Y )  X.  ( Base `  Y
) )  /\  ( B  X.  B )  C_  ( ( Base `  Y
)  X.  ( Base `  Y ) ) )  ->  ( D  |`  ( B  X.  B
) )  Fn  ( B  X.  B ) )
9591, 93, 94syl2anc 644 . . 3  |-  ( ph  ->  ( D  |`  ( B  X.  B ) )  Fn  ( B  X.  B ) )
96 eqfnov2 6180 . . 3  |-  ( ( E  Fn  ( B  X.  B )  /\  ( D  |`  ( B  X.  B ) )  Fn  ( B  X.  B ) )  -> 
( E  =  ( D  |`  ( B  X.  B ) )  <->  A. f  e.  B  A. g  e.  B  ( f E g )  =  ( f ( D  |`  ( B  X.  B
) ) g ) ) )
9783, 95, 96syl2anc 644 . 2  |-  ( ph  ->  ( E  =  ( D  |`  ( B  X.  B ) )  <->  A. f  e.  B  A. g  e.  B  ( f E g )  =  ( f ( D  |`  ( B  X.  B
) ) g ) ) )
9874, 97mpbird 225 1  |-  ( ph  ->  E  =  ( D  |`  ( B  X.  B
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   _Vcvv 2958    u. cun 3320    C_ wss 3322   {csn 3816    e. cmpt 4269    X. cxp 4879   dom cdm 4881   ran crn 4882    |` cres 4883    Fn wfn 5452   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   X_cixp 7066   supcsup 7448   0cc0 8995   RR*cxr 9124    < clt 9125   Basecbs 13474   ↾s cress 13475   distcds 13543   X_scprds 13674
This theorem is referenced by:  resspwsds  18407  prdsbnd2  26518
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-oadd 6731  df-er 6908  df-map 7023  df-ixp 7067  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-sup 7449  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-4 10065  df-5 10066  df-6 10067  df-7 10068  df-8 10069  df-9 10070  df-10 10071  df-n0 10227  df-z 10288  df-dec 10388  df-uz 10494  df-fz 11049  df-struct 13476  df-ndx 13477  df-slot 13478  df-base 13479  df-sets 13480  df-ress 13481  df-plusg 13547  df-mulr 13548  df-sca 13550  df-vsca 13551  df-tset 13553  df-ple 13554  df-ds 13556  df-hom 13558  df-cco 13559  df-prds 13676
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