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Theorem ressprdsds 18031
Description: Restriction of a product metric. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ressprdsds.y  |-  ( ph  ->  Y  =  ( S
X_s ( x  e.  I  |->  R ) ) )
ressprdsds.h  |-  ( ph  ->  H  =  ( T
X_s ( x  e.  I  |->  ( Rs  A ) ) ) )
ressprdsds.b  |-  B  =  ( Base `  H
)
ressprdsds.d  |-  D  =  ( dist `  Y
)
ressprdsds.e  |-  E  =  ( dist `  H
)
ressprdsds.s  |-  ( ph  ->  S  e.  U )
ressprdsds.t  |-  ( ph  ->  T  e.  V )
ressprdsds.i  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
ressprdsds.r  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  R  e.  X )
ressprdsds.a  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  A  e.  Z )
Assertion
Ref Expression
ressprdsds  |-  ( ph  ->  E  =  ( D  |`  ( B  X.  B
) ) )
Distinct variable groups:    x, I    ph, x
Allowed substitution hints:    A( x)    B( x)    D( x)    R( x)    S( x)    T( x)    U( x)    E( x)    H( x)    V( x)    W( x)    X( x)    Y( x)    Z( x)

Proof of Theorem ressprdsds
Dummy variables  f 
g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovres 6071 . . . . 5  |-  ( ( f  e.  B  /\  g  e.  B )  ->  ( f ( D  |`  ( B  X.  B
) ) g )  =  ( f D g ) )
21adantl 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
( f ( D  |`  ( B  X.  B
) ) g )  =  ( f D g ) )
3 ressprdsds.a . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  A  e.  Z )
4 eqid 2358 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Rs  A )  =  ( Rs  A )
5 eqid 2358 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( dist `  R )  =  (
dist `  R )
64, 5ressds 13411 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  Z  ->  ( dist `  R )  =  ( dist `  ( Rs  A ) ) )
73, 6syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( dist `  R )  =  ( dist `  ( Rs  A ) ) )
87oveqd 5959 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  (
( f `  x
) ( dist `  R
) ( g `  x ) )  =  ( ( f `  x ) ( dist `  ( Rs  A ) ) ( g `  x ) ) )
98mpteq2dva 4185 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( dist `  R ) ( g `
 x ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( dist `  ( Rs  A ) ) ( g `  x ) ) ) )
109adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( dist `  R ) ( g `
 x ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( dist `  ( Rs  A ) ) ( g `  x ) ) ) )
1110rneqd 4985 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  ->  ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( dist `  R ) ( g `
 x ) ) )  =  ran  (
x  e.  I  |->  ( ( f `  x
) ( dist `  ( Rs  A ) ) ( g `  x ) ) ) )
1211uneq1d 3404 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( dist `  R
) ( g `  x ) ) )  u.  { 0 } )  =  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( dist `  ( Rs  A ) ) ( g `  x ) ) )  u.  {
0 } ) )
1312supeq1d 7286 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  ->  sup ( ( ran  (
x  e.  I  |->  ( ( f `  x
) ( dist `  R
) ( g `  x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  )  =  sup ( ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `
 x ) (
dist `  ( Rs  A
) ) ( g `
 x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  ) )
14 eqid 2358 . . . . . . 7  |-  ( S
X_s ( x  e.  I  |->  R ) )  =  ( S X_s ( x  e.  I  |->  R ) )
15 eqid 2358 . . . . . . 7  |-  ( Base `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  R ) ) )  =  ( Base `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  R ) ) )
16 ressprdsds.s . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S  e.  U )
1716adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  ->  S  e.  U )
18 ressprdsds.i . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
1918adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  ->  I  e.  W )
20 ressprdsds.r . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  R  e.  X )
2120ralrimiva 2702 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. x  e.  I  R  e.  X )
2221adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  ->  A. x  e.  I  R  e.  X )
23 eqid 2358 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
244, 23ressbasss 13291 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Base `  ( Rs  A ) )  C_  ( Base `  R )
2524a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( Base `  ( Rs  A ) )  C_  ( Base `  R ) )
2625ralrimiva 2702 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A. x  e.  I 
( Base `  ( Rs  A
) )  C_  ( Base `  R ) )
27 ss2ixp 6914 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. x  e.  I  ( Base `  ( Rs  A ) )  C_  ( Base `  R )  ->  X_ x  e.  I  ( Base `  ( Rs  A ) )  C_  X_ x  e.  I  (
Base `  R )
)
2826, 27syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  -> 
X_ x  e.  I 
( Base `  ( Rs  A
) )  C_  X_ x  e.  I  ( Base `  R ) )
29 eqid 2358 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( T
X_s ( x  e.  I  |->  ( Rs  A ) ) )  =  ( T X_s (
x  e.  I  |->  ( Rs  A ) ) )
30 eqid 2358 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Base `  ( T X_s ( x  e.  I  |->  ( Rs  A ) ) ) )  =  ( Base `  ( T X_s ( x  e.  I  |->  ( Rs  A ) ) ) )
31 ressprdsds.t . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  T  e.  V )
32 ovex 5967 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Rs  A )  e.  _V
3332rgenw 2686 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  A. x  e.  I  ( Rs  A
)  e.  _V
3433a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A. x  e.  I 
( Rs  A )  e.  _V )
35 eqid 2358 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Base `  ( Rs  A ) )  =  ( Base `  ( Rs  A ) )
3629, 30, 31, 18, 34, 35prdsbas3 13473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( Base `  ( T X_s ( x  e.  I  |->  ( Rs  A ) ) ) )  =  X_ x  e.  I  ( Base `  ( Rs  A ) ) )
3714, 15, 16, 18, 21, 23prdsbas3 13473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( Base `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  R ) ) )  =  X_ x  e.  I 
( Base `  R )
)
3828, 36, 373sstr4d 3297 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( Base `  ( T X_s ( x  e.  I  |->  ( Rs  A ) ) ) )  C_  ( Base `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  R ) ) ) )
39 ressprdsds.b . . . . . . . . . . . 12  |-  B  =  ( Base `  H
)
40 ressprdsds.h . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  H  =  ( T
X_s ( x  e.  I  |->  ( Rs  A ) ) ) )
4140fveq2d 5609 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( Base `  H
)  =  ( Base `  ( T X_s ( x  e.  I  |->  ( Rs  A ) ) ) ) )
4239, 41syl5eq 2402 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  ( T X_s ( x  e.  I  |->  ( Rs  A ) ) ) ) )
43 ressprdsds.y . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  Y  =  ( S
X_s ( x  e.  I  |->  R ) ) )
4443fveq2d 5609 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( Base `  Y
)  =  ( Base `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  R ) ) ) )
4538, 42, 443sstr4d 3297 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  B  C_  ( Base `  Y ) )
4645adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  ->  B  C_  ( Base `  Y
) )
4744adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
( Base `  Y )  =  ( Base `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  R ) ) ) )
4846, 47sseqtrd 3290 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  ->  B  C_  ( Base `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  R ) ) ) )
49 simprl 732 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
f  e.  B )
5048, 49sseldd 3257 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
f  e.  ( Base `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  R ) ) ) )
51 simprr 733 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
g  e.  B )
5248, 51sseldd 3257 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
g  e.  ( Base `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  R ) ) ) )
53 eqid 2358 . . . . . . 7  |-  ( dist `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  R ) ) )  =  ( dist `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  R ) ) )
5414, 15, 17, 19, 22, 50, 52, 5, 53prdsdsval2 13476 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
( f ( dist `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  R ) ) ) g )  =  sup ( ( ran  (
x  e.  I  |->  ( ( f `  x
) ( dist `  R
) ( g `  x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  ) )
5531adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  ->  T  e.  V )
5633a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  ->  A. x  e.  I 
( Rs  A )  e.  _V )
5742adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  ->  B  =  ( Base `  ( T X_s ( x  e.  I  |->  ( Rs  A ) ) ) ) )
5849, 57eleqtrd 2434 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
f  e.  ( Base `  ( T X_s ( x  e.  I  |->  ( Rs  A ) ) ) ) )
5951, 57eleqtrd 2434 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
g  e.  ( Base `  ( T X_s ( x  e.  I  |->  ( Rs  A ) ) ) ) )
60 eqid 2358 . . . . . . 7  |-  ( dist `  ( Rs  A ) )  =  ( dist `  ( Rs  A ) )
61 eqid 2358 . . . . . . 7  |-  ( dist `  ( T X_s ( x  e.  I  |->  ( Rs  A ) ) ) )  =  ( dist `  ( T X_s ( x  e.  I  |->  ( Rs  A ) ) ) )
6229, 30, 55, 19, 56, 58, 59, 60, 61prdsdsval2 13476 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
( f ( dist `  ( T X_s ( x  e.  I  |->  ( Rs  A ) ) ) ) g )  =  sup ( ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( dist `  ( Rs  A ) ) ( g `  x ) ) )  u.  {
0 } ) , 
RR* ,  <  ) )
6313, 54, 623eqtr4d 2400 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
( f ( dist `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  R ) ) ) g )  =  ( f ( dist `  ( T X_s ( x  e.  I  |->  ( Rs  A ) ) ) ) g ) )
64 ressprdsds.d . . . . . . 7  |-  D  =  ( dist `  Y
)
6543fveq2d 5609 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( dist `  Y
)  =  ( dist `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  R ) ) ) )
6664, 65syl5eq 2402 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  D  =  ( dist `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  R ) ) ) )
6766proplem3 13686 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
( f D g )  =  ( f ( dist `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  R ) ) ) g ) )
68 ressprdsds.e . . . . . . 7  |-  E  =  ( dist `  H
)
6940fveq2d 5609 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( dist `  H
)  =  ( dist `  ( T X_s ( x  e.  I  |->  ( Rs  A ) ) ) ) )
7068, 69syl5eq 2402 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  E  =  ( dist `  ( T X_s ( x  e.  I  |->  ( Rs  A ) ) ) ) )
7170proplem3 13686 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
( f E g )  =  ( f ( dist `  ( T X_s ( x  e.  I  |->  ( Rs  A ) ) ) ) g ) )
7263, 67, 713eqtr4d 2400 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
( f D g )  =  ( f E g ) )
732, 72eqtr2d 2391 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
( f E g )  =  ( f ( D  |`  ( B  X.  B ) ) g ) )
7473ralrimivva 2711 . 2  |-  ( ph  ->  A. f  e.  B  A. g  e.  B  ( f E g )  =  ( f ( D  |`  ( B  X.  B ) ) g ) )
75 mptexg 5828 . . . . . 6  |-  ( I  e.  W  ->  (
x  e.  I  |->  ( Rs  A ) )  e. 
_V )
7618, 75syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  I  |->  ( Rs  A ) )  e. 
_V )
77 eqid 2358 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  I  |->  ( Rs  A ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( Rs  A ) )
7832, 77dmmpti 5452 . . . . . 6  |-  dom  (
x  e.  I  |->  ( Rs  A ) )  =  I
7978a1i 10 . . . . 5  |-  ( ph  ->  dom  ( x  e.  I  |->  ( Rs  A ) )  =  I )
8029, 31, 76, 30, 79, 61prdsdsfn 13457 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( dist `  ( T X_s ( x  e.  I  |->  ( Rs  A ) ) ) )  Fn  ( (
Base `  ( T X_s ( x  e.  I  |->  ( Rs  A ) ) ) )  X.  ( Base `  ( T X_s ( x  e.  I  |->  ( Rs  A ) ) ) ) ) )
8142, 42xpeq12d 4793 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( B  X.  B
)  =  ( (
Base `  ( T X_s ( x  e.  I  |->  ( Rs  A ) ) ) )  X.  ( Base `  ( T X_s ( x  e.  I  |->  ( Rs  A ) ) ) ) ) )
8270, 81fneq12d 5416 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E  Fn  ( B  X.  B )  <->  ( dist `  ( T X_s ( x  e.  I  |->  ( Rs  A ) ) ) )  Fn  ( (
Base `  ( T X_s ( x  e.  I  |->  ( Rs  A ) ) ) )  X.  ( Base `  ( T X_s ( x  e.  I  |->  ( Rs  A ) ) ) ) ) ) )
8380, 82mpbird 223 . . 3  |-  ( ph  ->  E  Fn  ( B  X.  B ) )
84 mptexg 5828 . . . . . . 7  |-  ( I  e.  W  ->  (
x  e.  I  |->  R )  e.  _V )
8518, 84syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  I  |->  R )  e.  _V )
86 dmmptg 5249 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  I  R  e.  X  ->  dom  (
x  e.  I  |->  R )  =  I )
8721, 86syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  dom  ( x  e.  I  |->  R )  =  I )
8814, 16, 85, 15, 87, 53prdsdsfn 13457 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( dist `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  R ) ) )  Fn  ( ( Base `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  R ) ) )  X.  ( Base `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  R ) ) ) ) )
8944, 44xpeq12d 4793 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( Base `  Y
)  X.  ( Base `  Y ) )  =  ( ( Base `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  R ) ) )  X.  ( Base `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  R ) ) ) ) )
9066, 89fneq12d 5416 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( D  Fn  (
( Base `  Y )  X.  ( Base `  Y
) )  <->  ( dist `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  R ) ) )  Fn  ( ( Base `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  R ) ) )  X.  ( Base `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  R ) ) ) ) ) )
9188, 90mpbird 223 . . . 4  |-  ( ph  ->  D  Fn  ( (
Base `  Y )  X.  ( Base `  Y
) ) )
92 xpss12 4871 . . . . 5  |-  ( ( B  C_  ( Base `  Y )  /\  B  C_  ( Base `  Y
) )  ->  ( B  X.  B )  C_  ( ( Base `  Y
)  X.  ( Base `  Y ) ) )
9345, 45, 92syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( B  X.  B
)  C_  ( ( Base `  Y )  X.  ( Base `  Y
) ) )
94 fnssres 5436 . . . 4  |-  ( ( D  Fn  ( (
Base `  Y )  X.  ( Base `  Y
) )  /\  ( B  X.  B )  C_  ( ( Base `  Y
)  X.  ( Base `  Y ) ) )  ->  ( D  |`  ( B  X.  B
) )  Fn  ( B  X.  B ) )
9591, 93, 94syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  ->  ( D  |`  ( B  X.  B ) )  Fn  ( B  X.  B ) )
96 eqfnov2 6035 . . 3  |-  ( ( E  Fn  ( B  X.  B )  /\  ( D  |`  ( B  X.  B ) )  Fn  ( B  X.  B ) )  -> 
( E  =  ( D  |`  ( B  X.  B ) )  <->  A. f  e.  B  A. g  e.  B  ( f E g )  =  ( f ( D  |`  ( B  X.  B
) ) g ) ) )
9783, 95, 96syl2anc 642 . 2  |-  ( ph  ->  ( E  =  ( D  |`  ( B  X.  B ) )  <->  A. f  e.  B  A. g  e.  B  ( f E g )  =  ( f ( D  |`  ( B  X.  B
) ) g ) ) )
9874, 97mpbird 223 1  |-  ( ph  ->  E  =  ( D  |`  ( B  X.  B
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1642    e. wcel 1710   A.wral 2619   _Vcvv 2864    u. cun 3226    C_ wss 3228   {csn 3716    e. cmpt 4156    X. cxp 4766   dom cdm 4768   ran crn 4769    |` cres 4770    Fn wfn 5329   ` cfv 5334  (class class class)co 5942   X_cixp 6902   supcsup 7280   0cc0 8824   RR*cxr 8953    < clt 8954   Basecbs 13239   ↾s cress 13240   distcds 13308   X_scprds 13439
This theorem is referenced by:  resspwsds  18032  prdsbnd2  25842
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4210  ax-sep 4220  ax-nul 4228  ax-pow 4267  ax-pr 4293  ax-un 4591  ax-cnex 8880  ax-resscn 8881  ax-1cn 8882  ax-icn 8883  ax-addcl 8884  ax-addrcl 8885  ax-mulcl 8886  ax-mulrcl 8887  ax-mulcom 8888  ax-addass 8889  ax-mulass 8890  ax-distr 8891  ax-i2m1 8892  ax-1ne0 8893  ax-1rid 8894  ax-rnegex 8895  ax-rrecex 8896  ax-cnre 8897  ax-pre-lttri 8898  ax-pre-lttrn 8899  ax-pre-ltadd 8900  ax-pre-mulgt0 8901
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3907  df-int 3942  df-iun 3986  df-br 4103  df-opab 4157  df-mpt 4158  df-tr 4193  df-eprel 4384  df-id 4388  df-po 4393  df-so 4394  df-fr 4431  df-we 4433  df-ord 4474  df-on 4475  df-lim 4476  df-suc 4477  df-om 4736  df-xp 4774  df-rel 4775  df-cnv 4776  df-co 4777  df-dm 4778  df-rn 4779  df-res 4780  df-ima 4781  df-iota 5298  df-fun 5336  df-fn 5337  df-f 5338  df-f1 5339  df-fo 5340  df-f1o 5341  df-fv 5342  df-ov 5945  df-oprab 5946  df-mpt2 5947  df-1st 6206  df-2nd 6207  df-riota 6388  df-recs 6472  df-rdg 6507  df-1o 6563  df-oadd 6567  df-er 6744  df-map 6859  df-ixp 6903  df-en 6949  df-dom 6950  df-sdom 6951  df-fin 6952  df-sup 7281  df-pnf 8956  df-mnf 8957  df-xr 8958  df-ltxr 8959  df-le 8960  df-sub 9126  df-neg 9127  df-nn 9834  df-2 9891  df-3 9892  df-4 9893  df-5 9894  df-6 9895  df-7 9896  df-8 9897  df-9 9898  df-10 9899  df-n0 10055  df-z 10114  df-dec 10214  df-uz 10320  df-fz 10872  df-struct 13241  df-ndx 13242  df-slot 13243  df-base 13244  df-sets 13245  df-ress 13246  df-plusg 13312  df-mulr 13313  df-sca 13315  df-vsca 13316  df-tset 13318  df-ple 13319  df-ds 13321  df-hom 13323  df-cco 13324  df-prds 13441
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