Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  resspsradd Structured version   Unicode version

 Description: A restricted power series algebra has the same addition operation. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
resspsr.s mPwSer
resspsr.h s
resspsr.u mPwSer
resspsr.b
resspsr.p s
resspsr.2 SubRing
Assertion
Ref Expression

Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 resspsr.u . . 3 mPwSer
2 resspsr.b . . 3
3 eqid 2436 . . 3
4 eqid 2436 . . 3
5 simprl 733 . . 3
6 simprr 734 . . 3
71, 2, 3, 4, 5, 6psradd 16446 . 2
8 resspsr.s . . . 4 mPwSer
9 eqid 2436 . . . 4
10 eqid 2436 . . . 4
11 eqid 2436 . . . 4
12 fvex 5742 . . . . . . . 8
13 resspsr.2 . . . . . . . . . 10 SubRing
14 resspsr.h . . . . . . . . . . 11 s
1514subrgbas 15877 . . . . . . . . . 10 SubRing
1613, 15syl 16 . . . . . . . . 9
17 eqid 2436 . . . . . . . . . . 11
1817subrgss 15869 . . . . . . . . . 10 SubRing
1913, 18syl 16 . . . . . . . . 9
2016, 19eqsstr3d 3383 . . . . . . . 8
21 mapss 7056 . . . . . . . 8
2212, 20, 21sylancr 645 . . . . . . 7
2322adantr 452 . . . . . 6
24 eqid 2436 . . . . . . 7
25 eqid 2436 . . . . . . 7
26 reldmpsr 16428 . . . . . . . . . 10 mPwSer
2726, 1, 2elbasov 13513 . . . . . . . . 9
2827ad2antrl 709 . . . . . . . 8
2928simpld 446 . . . . . . 7
301, 24, 25, 2, 29psrbas 16443 . . . . . 6
318, 17, 25, 9, 29psrbas 16443 . . . . . 6
3223, 30, 313sstr4d 3391 . . . . 5
3332, 5sseldd 3349 . . . 4
3432, 6sseldd 3349 . . . 4
358, 9, 10, 11, 33, 34psradd 16446 . . 3
3614, 10ressplusg 13571 . . . . . . 7 SubRing
3713, 36syl 16 . . . . . 6
3837adantr 452 . . . . 5
39 ofeq 6307 . . . . 5
4038, 39syl 16 . . . 4
4140oveqd 6098 . . 3
4235, 41eqtrd 2468 . 2
43 fvex 5742 . . . . 5
442, 43eqeltri 2506 . . . 4
45 resspsr.p . . . . 5 s
4645, 11ressplusg 13571 . . . 4
4744, 46mp1i 12 . . 3
4847oveqd 6098 . 2
497, 42, 483eqtr2d 2474 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  crab 2709  cvv 2956   wss 3320  ccnv 4877  cima 4881  cfv 5454  (class class class)co 6081   cof 6303   cmap 7018  cfn 7109  cn 10000  cn0 10221  cbs 13469   ↾s cress 13470   cplusg 13529  SubRingcsubrg 15864   mPwSer cmps 16406 This theorem is referenced by:  subrgpsr  16482  ressmpladd  16520 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-of 6305  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-fz 11044  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-sca 13545  df-vsca 13546  df-tset 13548  df-subg 14941  df-rng 15663  df-subrg 15866  df-psr 16417
 Copyright terms: Public domain W3C validator