Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  resspsrbas Unicode version

Theorem resspsrbas 16159
 Description: A restricted power series algebra has the same base set. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
resspsr.s mPwSer
resspsr.h s
resspsr.u mPwSer
resspsr.b
resspsr.p s
resspsr.2 SubRing
Assertion
Ref Expression
resspsrbas

Proof of Theorem resspsrbas
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvex 5539 . . . . 5
2 resspsr.2 . . . . . . . 8 SubRing
3 resspsr.h . . . . . . . . 9 s
43subrgbas 15554 . . . . . . . 8 SubRing
52, 4syl 15 . . . . . . 7
6 eqid 2283 . . . . . . . . 9
76subrgss 15546 . . . . . . . 8 SubRing
82, 7syl 15 . . . . . . 7
95, 8eqsstr3d 3213 . . . . . 6
109adantr 451 . . . . 5
11 mapss 6810 . . . . 5
121, 10, 11sylancr 644 . . . 4
13 resspsr.u . . . . 5 mPwSer
14 eqid 2283 . . . . 5
15 eqid 2283 . . . . 5
16 resspsr.b . . . . 5
17 simpr 447 . . . . 5
1813, 14, 15, 16, 17psrbas 16124 . . . 4
19 resspsr.s . . . . 5 mPwSer
20 eqid 2283 . . . . 5
2119, 6, 15, 20, 17psrbas 16124 . . . 4
2212, 18, 213sstr4d 3221 . . 3
23 0ss 3483 . . . 4
24 reldmpsr 16109 . . . . . . . . . 10 mPwSer
2524ovprc1 5886 . . . . . . . . 9 mPwSer
2613, 25syl5eq 2327 . . . . . . . 8
2726adantl 452 . . . . . . 7
2827fveq2d 5529 . . . . . 6
29 base0 13185 . . . . . 6
3028, 16, 293eqtr4g 2340 . . . . 5
3130sseq1d 3205 . . . 4
3223, 31mpbiri 224 . . 3
3322, 32pm2.61dan 766 . 2
34 resspsr.p . . 3 s
3534, 20ressbas2 13199 . 2
3633, 35syl 15 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 358   wceq 1623   wcel 1684  crab 2547  cvv 2788   wss 3152  c0 3455  ccnv 4688  cima 4692  cfv 5255  (class class class)co 5858   cmap 6772  cfn 6863  cn 9746  cn0 9965  cbs 13148   ↾s cress 13149  SubRingcsubrg 15541   mPwSer cmps 16087 This theorem is referenced by:  resspsrvsca  16162  subrgpsr  16163 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-subg 14618  df-rng 15340  df-subrg 15543  df-psr 16098
 Copyright terms: Public domain W3C validator