MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  resspsrbas Structured version   Unicode version

Theorem resspsrbas 16470
Description: A restricted power series algebra has the same base set. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
resspsr.s  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
resspsr.h  |-  H  =  ( Rs  T )
resspsr.u  |-  U  =  ( I mPwSer  H )
resspsr.b  |-  B  =  ( Base `  U
)
resspsr.p  |-  P  =  ( Ss  B )
resspsr.2  |-  ( ph  ->  T  e.  (SubRing `  R
) )
Assertion
Ref Expression
resspsrbas  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  P ) )

Proof of Theorem resspsrbas
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvex 5734 . . . . 5  |-  ( Base `  R )  e.  _V
2 resspsr.2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  T  e.  (SubRing `  R
) )
3 resspsr.h . . . . . . . . 9  |-  H  =  ( Rs  T )
43subrgbas 15869 . . . . . . . 8  |-  ( T  e.  (SubRing `  R
)  ->  T  =  ( Base `  H )
)
52, 4syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  T  =  ( Base `  H ) )
6 eqid 2435 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
76subrgss 15861 . . . . . . . 8  |-  ( T  e.  (SubRing `  R
)  ->  T  C_  ( Base `  R ) )
82, 7syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  T  C_  ( Base `  R ) )
95, 8eqsstr3d 3375 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Base `  H
)  C_  ( Base `  R ) )
109adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  I  e.  _V )  ->  ( Base `  H )  C_  ( Base `  R ) )
11 mapss 7048 . . . . 5  |-  ( ( ( Base `  R
)  e.  _V  /\  ( Base `  H )  C_  ( Base `  R
) )  ->  (
( Base `  H )  ^m  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  C_  (
( Base `  R )  ^m  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } ) )
121, 10, 11sylancr 645 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  I  e.  _V )  ->  ( (
Base `  H )  ^m  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  C_  (
( Base `  R )  ^m  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } ) )
13 resspsr.u . . . . 5  |-  U  =  ( I mPwSer  H )
14 eqid 2435 . . . . 5  |-  ( Base `  H )  =  (
Base `  H )
15 eqid 2435 . . . . 5  |-  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
16 resspsr.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  U
)
17 simpr 448 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  I  e.  _V )  ->  I  e. 
_V )
1813, 14, 15, 16, 17psrbas 16435 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  I  e.  _V )  ->  B  =  ( ( Base `  H
)  ^m  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } ) )
19 resspsr.s . . . . 5  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
20 eqid 2435 . . . . 5  |-  ( Base `  S )  =  (
Base `  S )
2119, 6, 15, 20, 17psrbas 16435 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  I  e.  _V )  ->  ( Base `  S )  =  ( ( Base `  R
)  ^m  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } ) )
2212, 18, 213sstr4d 3383 . . 3  |-  ( (
ph  /\  I  e.  _V )  ->  B  C_  ( Base `  S )
)
23 reldmpsr 16420 . . . . . . . . 9  |-  Rel  dom mPwSer
2423ovprc1 6101 . . . . . . . 8  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  ( I mPwSer  H )  =  (/) )
2513, 24syl5eq 2479 . . . . . . 7  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  U  =  (/) )
2625adantl 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  I  e.  _V )  ->  U  =  (/) )
2726fveq2d 5724 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  I  e.  _V )  ->  ( Base `  U )  =  ( Base `  (/) ) )
28 base0 13498 . . . . 5  |-  (/)  =  (
Base `  (/) )
2927, 16, 283eqtr4g 2492 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  I  e.  _V )  ->  B  =  (/) )
30 0ss 3648 . . . 4  |-  (/)  C_  ( Base `  S )
3129, 30syl6eqss 3390 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  I  e.  _V )  ->  B  C_  ( Base `  S
) )
3222, 31pm2.61dan 767 . 2  |-  ( ph  ->  B  C_  ( Base `  S ) )
33 resspsr.p . . 3  |-  P  =  ( Ss  B )
3433, 20ressbas2 13512 . 2  |-  ( B 
C_  ( Base `  S
)  ->  B  =  ( Base `  P )
)
3532, 34syl 16 1  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  P ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   {crab 2701   _Vcvv 2948    C_ wss 3312   (/)c0 3620   `'ccnv 4869   "cima 4873   ` cfv 5446  (class class class)co 6073    ^m cmap 7010   Fincfn 7101   NNcn 9992   NN0cn0 10213   Basecbs 13461   ↾s cress 13462  SubRingcsubrg 15856   mPwSer cmps 16398
This theorem is referenced by:  resspsrvsca  16473  subrgpsr  16474
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-fz 11036  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-sca 13537  df-vsca 13538  df-tset 13540  df-subg 14933  df-rng 15655  df-subrg 15858  df-psr 16409
  Copyright terms: Public domain W3C validator