MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  resspsrbas Unicode version

Theorem resspsrbas 16159
Description: A restricted power series algebra has the same base set. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
resspsr.s  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
resspsr.h  |-  H  =  ( Rs  T )
resspsr.u  |-  U  =  ( I mPwSer  H )
resspsr.b  |-  B  =  ( Base `  U
)
resspsr.p  |-  P  =  ( Ss  B )
resspsr.2  |-  ( ph  ->  T  e.  (SubRing `  R
) )
Assertion
Ref Expression
resspsrbas  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  P ) )

Proof of Theorem resspsrbas
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvex 5539 . . . . 5  |-  ( Base `  R )  e.  _V
2 resspsr.2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  T  e.  (SubRing `  R
) )
3 resspsr.h . . . . . . . . 9  |-  H  =  ( Rs  T )
43subrgbas 15554 . . . . . . . 8  |-  ( T  e.  (SubRing `  R
)  ->  T  =  ( Base `  H )
)
52, 4syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  T  =  ( Base `  H ) )
6 eqid 2283 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
76subrgss 15546 . . . . . . . 8  |-  ( T  e.  (SubRing `  R
)  ->  T  C_  ( Base `  R ) )
82, 7syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  T  C_  ( Base `  R ) )
95, 8eqsstr3d 3213 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Base `  H
)  C_  ( Base `  R ) )
109adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  I  e.  _V )  ->  ( Base `  H )  C_  ( Base `  R ) )
11 mapss 6810 . . . . 5  |-  ( ( ( Base `  R
)  e.  _V  /\  ( Base `  H )  C_  ( Base `  R
) )  ->  (
( Base `  H )  ^m  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  C_  (
( Base `  R )  ^m  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } ) )
121, 10, 11sylancr 644 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  I  e.  _V )  ->  ( (
Base `  H )  ^m  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  C_  (
( Base `  R )  ^m  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } ) )
13 resspsr.u . . . . 5  |-  U  =  ( I mPwSer  H )
14 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( Base `  H )  =  (
Base `  H )
15 eqid 2283 . . . . 5  |-  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
16 resspsr.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  U
)
17 simpr 447 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  I  e.  _V )  ->  I  e. 
_V )
1813, 14, 15, 16, 17psrbas 16124 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  I  e.  _V )  ->  B  =  ( ( Base `  H
)  ^m  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } ) )
19 resspsr.s . . . . 5  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
20 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( Base `  S )  =  (
Base `  S )
2119, 6, 15, 20, 17psrbas 16124 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  I  e.  _V )  ->  ( Base `  S )  =  ( ( Base `  R
)  ^m  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } ) )
2212, 18, 213sstr4d 3221 . . 3  |-  ( (
ph  /\  I  e.  _V )  ->  B  C_  ( Base `  S )
)
23 0ss 3483 . . . 4  |-  (/)  C_  ( Base `  S )
24 reldmpsr 16109 . . . . . . . . . 10  |-  Rel  dom mPwSer
2524ovprc1 5886 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  ( I mPwSer  H )  =  (/) )
2613, 25syl5eq 2327 . . . . . . . 8  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  U  =  (/) )
2726adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  I  e.  _V )  ->  U  =  (/) )
2827fveq2d 5529 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  I  e.  _V )  ->  ( Base `  U )  =  ( Base `  (/) ) )
29 base0 13185 . . . . . 6  |-  (/)  =  (
Base `  (/) )
3028, 16, 293eqtr4g 2340 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  I  e.  _V )  ->  B  =  (/) )
3130sseq1d 3205 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  I  e.  _V )  ->  ( B  C_  ( Base `  S
)  <->  (/)  C_  ( Base `  S ) ) )
3223, 31mpbiri 224 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  I  e.  _V )  ->  B  C_  ( Base `  S
) )
3322, 32pm2.61dan 766 . 2  |-  ( ph  ->  B  C_  ( Base `  S ) )
34 resspsr.p . . 3  |-  P  =  ( Ss  B )
3534, 20ressbas2 13199 . 2  |-  ( B 
C_  ( Base `  S
)  ->  B  =  ( Base `  P )
)
3633, 35syl 15 1  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  P ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   {crab 2547   _Vcvv 2788    C_ wss 3152   (/)c0 3455   `'ccnv 4688   "cima 4692   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    ^m cmap 6772   Fincfn 6863   NNcn 9746   NN0cn0 9965   Basecbs 13148   ↾s cress 13149  SubRingcsubrg 15541   mPwSer cmps 16087
This theorem is referenced by:  resspsrvsca  16162  subrgpsr  16163
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-subg 14618  df-rng 15340  df-subrg 15543  df-psr 16098
  Copyright terms: Public domain W3C validator