MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  resspsrbas Unicode version

Theorem resspsrbas 16398
Description: A restricted power series algebra has the same base set. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
resspsr.s  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
resspsr.h  |-  H  =  ( Rs  T )
resspsr.u  |-  U  =  ( I mPwSer  H )
resspsr.b  |-  B  =  ( Base `  U
)
resspsr.p  |-  P  =  ( Ss  B )
resspsr.2  |-  ( ph  ->  T  e.  (SubRing `  R
) )
Assertion
Ref Expression
resspsrbas  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  P ) )

Proof of Theorem resspsrbas
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvex 5675 . . . . 5  |-  ( Base `  R )  e.  _V
2 resspsr.2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  T  e.  (SubRing `  R
) )
3 resspsr.h . . . . . . . . 9  |-  H  =  ( Rs  T )
43subrgbas 15797 . . . . . . . 8  |-  ( T  e.  (SubRing `  R
)  ->  T  =  ( Base `  H )
)
52, 4syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  T  =  ( Base `  H ) )
6 eqid 2380 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
76subrgss 15789 . . . . . . . 8  |-  ( T  e.  (SubRing `  R
)  ->  T  C_  ( Base `  R ) )
82, 7syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  T  C_  ( Base `  R ) )
95, 8eqsstr3d 3319 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Base `  H
)  C_  ( Base `  R ) )
109adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  I  e.  _V )  ->  ( Base `  H )  C_  ( Base `  R ) )
11 mapss 6985 . . . . 5  |-  ( ( ( Base `  R
)  e.  _V  /\  ( Base `  H )  C_  ( Base `  R
) )  ->  (
( Base `  H )  ^m  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  C_  (
( Base `  R )  ^m  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } ) )
121, 10, 11sylancr 645 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  I  e.  _V )  ->  ( (
Base `  H )  ^m  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  C_  (
( Base `  R )  ^m  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } ) )
13 resspsr.u . . . . 5  |-  U  =  ( I mPwSer  H )
14 eqid 2380 . . . . 5  |-  ( Base `  H )  =  (
Base `  H )
15 eqid 2380 . . . . 5  |-  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
16 resspsr.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  U
)
17 simpr 448 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  I  e.  _V )  ->  I  e. 
_V )
1813, 14, 15, 16, 17psrbas 16363 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  I  e.  _V )  ->  B  =  ( ( Base `  H
)  ^m  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } ) )
19 resspsr.s . . . . 5  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
20 eqid 2380 . . . . 5  |-  ( Base `  S )  =  (
Base `  S )
2119, 6, 15, 20, 17psrbas 16363 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  I  e.  _V )  ->  ( Base `  S )  =  ( ( Base `  R
)  ^m  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } ) )
2212, 18, 213sstr4d 3327 . . 3  |-  ( (
ph  /\  I  e.  _V )  ->  B  C_  ( Base `  S )
)
23 reldmpsr 16348 . . . . . . . . 9  |-  Rel  dom mPwSer
2423ovprc1 6041 . . . . . . . 8  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  ( I mPwSer  H )  =  (/) )
2513, 24syl5eq 2424 . . . . . . 7  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  U  =  (/) )
2625adantl 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  I  e.  _V )  ->  U  =  (/) )
2726fveq2d 5665 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  I  e.  _V )  ->  ( Base `  U )  =  ( Base `  (/) ) )
28 base0 13426 . . . . 5  |-  (/)  =  (
Base `  (/) )
2927, 16, 283eqtr4g 2437 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  I  e.  _V )  ->  B  =  (/) )
30 0ss 3592 . . . 4  |-  (/)  C_  ( Base `  S )
3129, 30syl6eqss 3334 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  I  e.  _V )  ->  B  C_  ( Base `  S
) )
3222, 31pm2.61dan 767 . 2  |-  ( ph  ->  B  C_  ( Base `  S ) )
33 resspsr.p . . 3  |-  P  =  ( Ss  B )
3433, 20ressbas2 13440 . 2  |-  ( B 
C_  ( Base `  S
)  ->  B  =  ( Base `  P )
)
3532, 34syl 16 1  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  P ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   {crab 2646   _Vcvv 2892    C_ wss 3256   (/)c0 3564   `'ccnv 4810   "cima 4814   ` cfv 5387  (class class class)co 6013    ^m cmap 6947   Fincfn 7038   NNcn 9925   NN0cn0 10146   Basecbs 13389   ↾s cress 13390  SubRingcsubrg 15784   mPwSer cmps 16326
This theorem is referenced by:  resspsrvsca  16401  subrgpsr  16402
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634  ax-cnex 8972  ax-resscn 8973  ax-1cn 8974  ax-icn 8975  ax-addcl 8976  ax-addrcl 8977  ax-mulcl 8978  ax-mulrcl 8979  ax-mulcom 8980  ax-addass 8981  ax-mulass 8982  ax-distr 8983  ax-i2m1 8984  ax-1ne0 8985  ax-1rid 8986  ax-rnegex 8987  ax-rrecex 8988  ax-cnre 8989  ax-pre-lttri 8990  ax-pre-lttrn 8991  ax-pre-ltadd 8992  ax-pre-mulgt0 8993
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-nel 2546  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-pss 3272  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-tp 3758  df-op 3759  df-uni 3951  df-int 3986  df-iun 4030  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-tr 4237  df-eprel 4428  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-fr 4475  df-we 4477  df-ord 4518  df-on 4519  df-lim 4520  df-suc 4521  df-om 4779  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-of 6237  df-1st 6281  df-2nd 6282  df-riota 6478  df-recs 6562  df-rdg 6597  df-1o 6653  df-oadd 6657  df-er 6834  df-map 6949  df-en 7039  df-dom 7040  df-sdom 7041  df-fin 7042  df-pnf 9048  df-mnf 9049  df-xr 9050  df-ltxr 9051  df-le 9052  df-sub 9218  df-neg 9219  df-nn 9926  df-2 9983  df-3 9984  df-4 9985  df-5 9986  df-6 9987  df-7 9988  df-8 9989  df-9 9990  df-n0 10147  df-z 10208  df-uz 10414  df-fz 10969  df-struct 13391  df-ndx 13392  df-slot 13393  df-base 13394  df-sets 13395  df-ress 13396  df-plusg 13462  df-mulr 13463  df-sca 13465  df-vsca 13466  df-tset 13468  df-subg 14861  df-rng 15583  df-subrg 15786  df-psr 16337
  Copyright terms: Public domain W3C validator