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Theorem resspsrmul 16473
Description: A restricted power series algebra has the same multiplication operation. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
resspsr.s  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
resspsr.h  |-  H  =  ( Rs  T )
resspsr.u  |-  U  =  ( I mPwSer  H )
resspsr.b  |-  B  =  ( Base `  U
)
resspsr.p  |-  P  =  ( Ss  B )
resspsr.2  |-  ( ph  ->  T  e.  (SubRing `  R
) )
Assertion
Ref Expression
resspsrmul  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( X ( .r
`  U ) Y )  =  ( X ( .r `  P
) Y ) )

Proof of Theorem resspsrmul
Dummy variables  x  k  f  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reldmpsr 16421 . . . . . . . . . 10  |-  Rel  dom mPwSer
2 resspsr.u . . . . . . . . . 10  |-  U  =  ( I mPwSer  H )
3 resspsr.b . . . . . . . . . 10  |-  B  =  ( Base `  U
)
41, 2, 3elbasov 13506 . . . . . . . . 9  |-  ( X  e.  B  ->  (
I  e.  _V  /\  H  e.  _V )
)
54ad2antrl 709 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( I  e.  _V  /\  H  e.  _V )
)
65simpld 446 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  ->  I  e.  _V )
7 eqid 2436 . . . . . . . 8  |-  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
87psrbaglefi 16430 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  _V  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } )  ->  { y  e. 
{ f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  |  y  o R  <_  k }  e.  Fin )
96, 8sylan 458 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } )  ->  { y  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  |  y  o R  <_  k }  e.  Fin )
10 resspsr.2 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  T  e.  (SubRing `  R
) )
11 subrgsubg 15867 . . . . . . . . 9  |-  ( T  e.  (SubRing `  R
)  ->  T  e.  (SubGrp `  R ) )
1210, 11syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  T  e.  (SubGrp `  R ) )
13 subgsubm 14955 . . . . . . . 8  |-  ( T  e.  (SubGrp `  R
)  ->  T  e.  (SubMnd `  R ) )
1412, 13syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  T  e.  (SubMnd `  R ) )
1514ad2antrr 707 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } )  ->  T  e.  (SubMnd `  R ) )
1610ad3antrrr 711 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  /\  x  e.  { y  e.  {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |  y  o R  <_  k } )  ->  T  e.  (SubRing `  R ) )
17 eqid 2436 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Base `  H )  =  (
Base `  H )
18 simprl 733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  ->  X  e.  B )
192, 17, 7, 3, 18psrelbas 16437 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  ->  X : { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } --> ( Base `  H ) )
2019adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } )  ->  X : { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } --> ( Base `  H
) )
21 elrabi 3083 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  { y  e. 
{ f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  |  y  o R  <_  k }  ->  x  e.  {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } )
22 ffvelrn 5861 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X : { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } --> ( Base `  H )  /\  x  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  ->  ( X `  x )  e.  ( Base `  H
) )
2320, 21, 22syl2an 464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  /\  x  e.  { y  e.  {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |  y  o R  <_  k } )  ->  ( X `  x )  e.  (
Base `  H )
)
24 resspsr.h . . . . . . . . . . 11  |-  H  =  ( Rs  T )
2524subrgbas 15870 . . . . . . . . . 10  |-  ( T  e.  (SubRing `  R
)  ->  T  =  ( Base `  H )
)
2616, 25syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  /\  x  e.  { y  e.  {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |  y  o R  <_  k } )  ->  T  =  (
Base `  H )
)
2723, 26eleqtrrd 2513 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  /\  x  e.  { y  e.  {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |  y  o R  <_  k } )  ->  ( X `  x )  e.  T
)
28 simprr 734 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  ->  Y  e.  B )
292, 17, 7, 3, 28psrelbas 16437 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  ->  Y : { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } --> ( Base `  H ) )
3029ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  /\  x  e.  { y  e.  {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |  y  o R  <_  k } )  ->  Y : {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } --> ( Base `  H
) )
31 ssrab2 3421 . . . . . . . . . . 11  |-  { y  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  | 
y  o R  <_ 
k }  C_  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }
326ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  /\  x  e.  { y  e.  {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |  y  o R  <_  k } )  ->  I  e.  _V )
33 simplr 732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  /\  x  e.  { y  e.  {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |  y  o R  <_  k } )  ->  k  e.  {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } )
34 simpr 448 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  /\  x  e.  { y  e.  {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |  y  o R  <_  k } )  ->  x  e.  {
y  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  | 
y  o R  <_ 
k } )
35 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { y  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  | 
y  o R  <_ 
k }  =  {
y  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  | 
y  o R  <_ 
k }
367, 35psrbagconcl 16431 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( I  e.  _V  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  /\  x  e.  { y  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  |  y  o R  <_  k } )  ->  ( k  o F  -  x
)  e.  { y  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  | 
y  o R  <_ 
k } )
3732, 33, 34, 36syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  /\  x  e.  { y  e.  {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |  y  o R  <_  k } )  ->  ( k  o F  -  x )  e.  { y  e. 
{ f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  |  y  o R  <_  k } )
3831, 37sseldi 3339 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  /\  x  e.  { y  e.  {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |  y  o R  <_  k } )  ->  ( k  o F  -  x )  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } )
3930, 38ffvelrnd 5864 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  /\  x  e.  { y  e.  {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |  y  o R  <_  k } )  ->  ( Y `  ( k  o F  -  x ) )  e.  ( Base `  H
) )
4039, 26eleqtrrd 2513 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  /\  x  e.  { y  e.  {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |  y  o R  <_  k } )  ->  ( Y `  ( k  o F  -  x ) )  e.  T )
41 eqid 2436 . . . . . . . . 9  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
4241subrgmcl 15873 . . . . . . . 8  |-  ( ( T  e.  (SubRing `  R
)  /\  ( X `  x )  e.  T  /\  ( Y `  (
k  o F  -  x ) )  e.  T )  ->  (
( X `  x
) ( .r `  R ) ( Y `
 ( k  o F  -  x ) ) )  e.  T
)
4316, 27, 40, 42syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  /\  x  e.  { y  e.  {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |  y  o R  <_  k } )  ->  ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Y `  (
k  o F  -  x ) ) )  e.  T )
44 eqid 2436 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  { y  e. 
{ f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  |  y  o R  <_  k } 
|->  ( ( X `  x ) ( .r
`  R ) ( Y `  ( k  o F  -  x
) ) ) )  =  ( x  e. 
{ y  e.  {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( X `  x
) ( .r `  R ) ( Y `
 ( k  o F  -  x ) ) ) )
4543, 44fmptd 5886 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } )  ->  ( x  e.  { y  e.  {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( X `  x
) ( .r `  R ) ( Y `
 ( k  o F  -  x ) ) ) ) : { y  e.  {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |  y  o R  <_  k } --> T )
469, 15, 45, 24gsumsubm 14771 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } )  ->  ( R  gsumg  ( x  e.  { y  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  | 
y  o R  <_ 
k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Y `  ( k  o F  -  x ) ) ) ) )  =  ( H  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  | 
y  o R  <_ 
k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Y `  ( k  o F  -  x ) ) ) ) ) )
4724, 41ressmulr 13575 . . . . . . . . . 10  |-  ( T  e.  (SubRing `  R
)  ->  ( .r `  R )  =  ( .r `  H ) )
4810, 47syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( .r `  R
)  =  ( .r
`  H ) )
4948ad3antrrr 711 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  /\  x  e.  { y  e.  {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |  y  o R  <_  k } )  ->  ( .r `  R )  =  ( .r `  H ) )
5049oveqd 6091 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  /\  x  e.  { y  e.  {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |  y  o R  <_  k } )  ->  ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Y `  (
k  o F  -  x ) ) )  =  ( ( X `
 x ) ( .r `  H ) ( Y `  (
k  o F  -  x ) ) ) )
5150mpteq2dva 4288 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } )  ->  ( x  e.  { y  e.  {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( X `  x
) ( .r `  R ) ( Y `
 ( k  o F  -  x ) ) ) )  =  ( x  e.  {
y  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  | 
y  o R  <_ 
k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  H
) ( Y `  ( k  o F  -  x ) ) ) ) )
5251oveq2d 6090 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } )  ->  ( H  gsumg  ( x  e.  { y  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  | 
y  o R  <_ 
k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Y `  ( k  o F  -  x ) ) ) ) )  =  ( H  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  | 
y  o R  <_ 
k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  H
) ( Y `  ( k  o F  -  x ) ) ) ) ) )
5346, 52eqtrd 2468 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } )  ->  ( R  gsumg  ( x  e.  { y  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  | 
y  o R  <_ 
k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Y `  ( k  o F  -  x ) ) ) ) )  =  ( H  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  | 
y  o R  <_ 
k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  H
) ( Y `  ( k  o F  -  x ) ) ) ) ) )
5453mpteq2dva 4288 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( k  e.  {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } 
|->  ( R  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  | 
y  o R  <_ 
k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Y `  ( k  o F  -  x ) ) ) ) ) )  =  ( k  e. 
{ f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  |->  ( H 
gsumg  ( x  e.  { y  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  | 
y  o R  <_ 
k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  H
) ( Y `  ( k  o F  -  x ) ) ) ) ) ) )
55 resspsr.s . . . 4  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
56 eqid 2436 . . . 4  |-  ( Base `  S )  =  (
Base `  S )
57 eqid 2436 . . . 4  |-  ( .r
`  S )  =  ( .r `  S
)
58 fvex 5735 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  R )  e.  _V
5910, 25syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  T  =  ( Base `  H ) )
60 eqid 2436 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
6160subrgss 15862 . . . . . . . . . 10  |-  ( T  e.  (SubRing `  R
)  ->  T  C_  ( Base `  R ) )
6210, 61syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  T  C_  ( Base `  R ) )
6359, 62eqsstr3d 3376 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Base `  H
)  C_  ( Base `  R ) )
64 mapss 7049 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Base `  R
)  e.  _V  /\  ( Base `  H )  C_  ( Base `  R
) )  ->  (
( Base `  H )  ^m  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  C_  (
( Base `  R )  ^m  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } ) )
6558, 63, 64sylancr 645 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( Base `  H
)  ^m  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } ) 
C_  ( ( Base `  R )  ^m  {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } ) )
6665adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( ( Base `  H
)  ^m  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } ) 
C_  ( ( Base `  R )  ^m  {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } ) )
672, 17, 7, 3, 6psrbas 16436 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  ->  B  =  ( ( Base `  H )  ^m  { f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } ) )
6855, 60, 7, 56, 6psrbas 16436 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( Base `  S )  =  ( ( Base `  R )  ^m  {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } ) )
6966, 67, 683sstr4d 3384 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  ->  B  C_  ( Base `  S
) )
7069, 18sseldd 3342 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  ->  X  e.  ( Base `  S ) )
7169, 28sseldd 3342 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  ->  Y  e.  ( Base `  S ) )
7255, 56, 41, 57, 7, 70, 71psrmulfval 16442 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( X ( .r
`  S ) Y )  =  ( k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |->  ( R  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  | 
y  o R  <_ 
k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Y `  ( k  o F  -  x ) ) ) ) ) ) )
73 eqid 2436 . . . 4  |-  ( .r
`  H )  =  ( .r `  H
)
74 eqid 2436 . . . 4  |-  ( .r
`  U )  =  ( .r `  U
)
752, 3, 73, 74, 7, 18, 28psrmulfval 16442 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( X ( .r
`  U ) Y )  =  ( k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |->  ( H  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  | 
y  o R  <_ 
k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  H
) ( Y `  ( k  o F  -  x ) ) ) ) ) ) )
7654, 72, 753eqtr4rd 2479 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( X ( .r
`  U ) Y )  =  ( X ( .r `  S
) Y ) )
77 fvex 5735 . . . . 5  |-  ( Base `  U )  e.  _V
783, 77eqeltri 2506 . . . 4  |-  B  e. 
_V
79 resspsr.p . . . . 5  |-  P  =  ( Ss  B )
8079, 57ressmulr 13575 . . . 4  |-  ( B  e.  _V  ->  ( .r `  S )  =  ( .r `  P
) )
8178, 80mp1i 12 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( .r `  S
)  =  ( .r
`  P ) )
8281oveqd 6091 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( X ( .r
`  S ) Y )  =  ( X ( .r `  P
) Y ) )
8376, 82eqtrd 2468 1  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( X ( .r
`  U ) Y )  =  ( X ( .r `  P
) Y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   {crab 2702   _Vcvv 2949    C_ wss 3313   class class class wbr 4205    e. cmpt 4259   `'ccnv 4870   "cima 4874   -->wf 5443   ` cfv 5447  (class class class)co 6074    o Fcof 6296    o Rcofr 6297    ^m cmap 7011   Fincfn 7102    <_ cle 9114    - cmin 9284   NNcn 9993   NN0cn0 10214   Basecbs 13462   ↾s cress 13463   .rcmulr 13523    gsumg cgsu 13717  SubMndcsubmnd 14730  SubGrpcsubg 14931  SubRingcsubrg 15857   mPwSer cmps 16399
This theorem is referenced by:  subrgpsr  16475  ressmplmul  16514
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4313  ax-sep 4323  ax-nul 4331  ax-pow 4370  ax-pr 4396  ax-un 4694  ax-cnex 9039  ax-resscn 9040  ax-1cn 9041  ax-icn 9042  ax-addcl 9043  ax-addrcl 9044  ax-mulcl 9045  ax-mulrcl 9046  ax-mulcom 9047  ax-addass 9048  ax-mulass 9049  ax-distr 9050  ax-i2m1 9051  ax-1ne0 9052  ax-1rid 9053  ax-rnegex 9054  ax-rrecex 9055  ax-cnre 9056  ax-pre-lttri 9057  ax-pre-lttrn 9058  ax-pre-ltadd 9059  ax-pre-mulgt0 9060
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2703  df-rex 2704  df-reu 2705  df-rmo 2706  df-rab 2707  df-v 2951  df-sbc 3155  df-csb 3245  df-dif 3316  df-un 3318  df-in 3320  df-ss 3327  df-pss 3329  df-nul 3622  df-if 3733  df-pw 3794  df-sn 3813  df-pr 3814  df-tp 3815  df-op 3816  df-uni 4009  df-int 4044  df-iun 4088  df-br 4206  df-opab 4260  df-mpt 4261  df-tr 4296  df-eprel 4487  df-id 4491  df-po 4496  df-so 4497  df-fr 4534  df-we 4536  df-ord 4577  df-on 4578  df-lim 4579  df-suc 4580  df-om 4839  df-xp 4877  df-rel 4878  df-cnv 4879  df-co 4880  df-dm 4881  df-rn 4882  df-res 4883  df-ima 4884  df-iota 5411  df-fun 5449  df-fn 5450  df-f 5451  df-f1 5452  df-fo 5453  df-f1o 5454  df-fv 5455  df-ov 6077  df-oprab 6078  df-mpt2 6079  df-of 6298  df-ofr 6299  df-1st 6342  df-2nd 6343  df-riota 6542  df-recs 6626  df-rdg 6661  df-1o 6717  df-2o 6718  df-oadd 6721  df-er 6898  df-map 7013  df-pm 7014  df-ixp 7057  df-en 7103  df-dom 7104  df-sdom 7105  df-fin 7106  df-pnf 9115  df-mnf 9116  df-xr 9117  df-ltxr 9118  df-le 9119  df-sub 9286  df-neg 9287  df-nn 9994  df-2 10051  df-3 10052  df-4 10053  df-5 10054  df-6 10055  df-7 10056  df-8 10057  df-9 10058  df-n0 10215  df-z 10276  df-uz 10482  df-fz 11037  df-seq 11317  df-struct 13464  df-ndx 13465  df-slot 13466  df-base 13467  df-sets 13468  df-ress 13469  df-plusg 13535  df-mulr 13536  df-sca 13538  df-vsca 13539  df-tset 13541  df-0g 13720  df-gsum 13721  df-mnd 14683  df-submnd 14732  df-grp 14805  df-minusg 14806  df-subg 14934  df-mgp 15642  df-rng 15656  df-subrg 15859  df-psr 16410
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