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Theorem resspsrmul 16177
Description: A restricted power series algebra has the same multiplication operation. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
resspsr.s  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
resspsr.h  |-  H  =  ( Rs  T )
resspsr.u  |-  U  =  ( I mPwSer  H )
resspsr.b  |-  B  =  ( Base `  U
)
resspsr.p  |-  P  =  ( Ss  B )
resspsr.2  |-  ( ph  ->  T  e.  (SubRing `  R
) )
Assertion
Ref Expression
resspsrmul  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( X ( .r
`  U ) Y )  =  ( X ( .r `  P
) Y ) )

Proof of Theorem resspsrmul
Dummy variables  x  k  f  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reldmpsr 16125 . . . . . . . . . 10  |-  Rel  dom mPwSer
2 resspsr.u . . . . . . . . . 10  |-  U  =  ( I mPwSer  H )
3 resspsr.b . . . . . . . . . 10  |-  B  =  ( Base `  U
)
41, 2, 3elbasov 13208 . . . . . . . . 9  |-  ( X  e.  B  ->  (
I  e.  _V  /\  H  e.  _V )
)
54ad2antrl 708 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( I  e.  _V  /\  H  e.  _V )
)
65simpld 445 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  ->  I  e.  _V )
7 eqid 2296 . . . . . . . 8  |-  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
87psrbaglefi 16134 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  _V  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } )  ->  { y  e. 
{ f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  |  y  o R  <_  k }  e.  Fin )
96, 8sylan 457 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } )  ->  { y  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  |  y  o R  <_  k }  e.  Fin )
10 resspsr.2 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  T  e.  (SubRing `  R
) )
11 subrgsubg 15567 . . . . . . . . 9  |-  ( T  e.  (SubRing `  R
)  ->  T  e.  (SubGrp `  R ) )
1210, 11syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  T  e.  (SubGrp `  R ) )
13 subgsubm 14655 . . . . . . . 8  |-  ( T  e.  (SubGrp `  R
)  ->  T  e.  (SubMnd `  R ) )
1412, 13syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  T  e.  (SubMnd `  R ) )
1514ad2antrr 706 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } )  ->  T  e.  (SubMnd `  R ) )
1610ad3antrrr 710 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  /\  x  e.  { y  e.  {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |  y  o R  <_  k } )  ->  T  e.  (SubRing `  R ) )
17 eqid 2296 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Base `  H )  =  (
Base `  H )
18 simprl 732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  ->  X  e.  B )
192, 17, 7, 3, 18psrelbas 16141 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  ->  X : { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } --> ( Base `  H ) )
2019adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } )  ->  X : { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } --> ( Base `  H
) )
21 ssrab2 3271 . . . . . . . . . . 11  |-  { y  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  | 
y  o R  <_ 
k }  C_  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }
2221sseli 3189 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  { y  e. 
{ f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  |  y  o R  <_  k }  ->  x  e.  {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } )
23 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X : { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } --> ( Base `  H )  /\  x  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  ->  ( X `  x )  e.  ( Base `  H
) )
2420, 22, 23syl2an 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  /\  x  e.  { y  e.  {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |  y  o R  <_  k } )  ->  ( X `  x )  e.  (
Base `  H )
)
25 resspsr.h . . . . . . . . . . 11  |-  H  =  ( Rs  T )
2625subrgbas 15570 . . . . . . . . . 10  |-  ( T  e.  (SubRing `  R
)  ->  T  =  ( Base `  H )
)
2716, 26syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  /\  x  e.  { y  e.  {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |  y  o R  <_  k } )  ->  T  =  (
Base `  H )
)
2824, 27eleqtrrd 2373 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  /\  x  e.  { y  e.  {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |  y  o R  <_  k } )  ->  ( X `  x )  e.  T
)
29 simprr 733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  ->  Y  e.  B )
302, 17, 7, 3, 29psrelbas 16141 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  ->  Y : { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } --> ( Base `  H ) )
3130ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  /\  x  e.  { y  e.  {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |  y  o R  <_  k } )  ->  Y : {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } --> ( Base `  H
) )
326ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  /\  x  e.  { y  e.  {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |  y  o R  <_  k } )  ->  I  e.  _V )
33 simplr 731 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  /\  x  e.  { y  e.  {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |  y  o R  <_  k } )  ->  k  e.  {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } )
34 simpr 447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  /\  x  e.  { y  e.  {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |  y  o R  <_  k } )  ->  x  e.  {
y  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  | 
y  o R  <_ 
k } )
35 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { y  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  | 
y  o R  <_ 
k }  =  {
y  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  | 
y  o R  <_ 
k }
367, 35psrbagconcl 16135 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( I  e.  _V  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  /\  x  e.  { y  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  |  y  o R  <_  k } )  ->  ( k  o F  -  x
)  e.  { y  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  | 
y  o R  <_ 
k } )
3732, 33, 34, 36syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  /\  x  e.  { y  e.  {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |  y  o R  <_  k } )  ->  ( k  o F  -  x )  e.  { y  e. 
{ f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  |  y  o R  <_  k } )
3821, 37sseldi 3191 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  /\  x  e.  { y  e.  {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |  y  o R  <_  k } )  ->  ( k  o F  -  x )  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } )
39 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Y : { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } --> ( Base `  H )  /\  (
k  o F  -  x )  e.  {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } )  ->  ( Y `  ( k  o F  -  x ) )  e.  ( Base `  H
) )
4031, 38, 39syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  /\  x  e.  { y  e.  {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |  y  o R  <_  k } )  ->  ( Y `  ( k  o F  -  x ) )  e.  ( Base `  H
) )
4140, 27eleqtrrd 2373 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  /\  x  e.  { y  e.  {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |  y  o R  <_  k } )  ->  ( Y `  ( k  o F  -  x ) )  e.  T )
42 eqid 2296 . . . . . . . . 9  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
4342subrgmcl 15573 . . . . . . . 8  |-  ( ( T  e.  (SubRing `  R
)  /\  ( X `  x )  e.  T  /\  ( Y `  (
k  o F  -  x ) )  e.  T )  ->  (
( X `  x
) ( .r `  R ) ( Y `
 ( k  o F  -  x ) ) )  e.  T
)
4416, 28, 41, 43syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  /\  x  e.  { y  e.  {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |  y  o R  <_  k } )  ->  ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Y `  (
k  o F  -  x ) ) )  e.  T )
45 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  { y  e. 
{ f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  |  y  o R  <_  k } 
|->  ( ( X `  x ) ( .r
`  R ) ( Y `  ( k  o F  -  x
) ) ) )  =  ( x  e. 
{ y  e.  {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( X `  x
) ( .r `  R ) ( Y `
 ( k  o F  -  x ) ) ) )
4644, 45fmptd 5700 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } )  ->  ( x  e.  { y  e.  {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( X `  x
) ( .r `  R ) ( Y `
 ( k  o F  -  x ) ) ) ) : { y  e.  {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |  y  o R  <_  k } --> T )
479, 15, 46, 25gsumsubm 14471 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } )  ->  ( R  gsumg  ( x  e.  { y  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  | 
y  o R  <_ 
k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Y `  ( k  o F  -  x ) ) ) ) )  =  ( H  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  | 
y  o R  <_ 
k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Y `  ( k  o F  -  x ) ) ) ) ) )
4825, 42ressmulr 13277 . . . . . . . . . 10  |-  ( T  e.  (SubRing `  R
)  ->  ( .r `  R )  =  ( .r `  H ) )
4910, 48syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( .r `  R
)  =  ( .r
`  H ) )
5049ad3antrrr 710 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  /\  x  e.  { y  e.  {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |  y  o R  <_  k } )  ->  ( .r `  R )  =  ( .r `  H ) )
5150oveqd 5891 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  /\  x  e.  { y  e.  {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |  y  o R  <_  k } )  ->  ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Y `  (
k  o F  -  x ) ) )  =  ( ( X `
 x ) ( .r `  H ) ( Y `  (
k  o F  -  x ) ) ) )
5251mpteq2dva 4122 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } )  ->  ( x  e.  { y  e.  {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( X `  x
) ( .r `  R ) ( Y `
 ( k  o F  -  x ) ) ) )  =  ( x  e.  {
y  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  | 
y  o R  <_ 
k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  H
) ( Y `  ( k  o F  -  x ) ) ) ) )
5352oveq2d 5890 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } )  ->  ( H  gsumg  ( x  e.  { y  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  | 
y  o R  <_ 
k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Y `  ( k  o F  -  x ) ) ) ) )  =  ( H  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  | 
y  o R  <_ 
k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  H
) ( Y `  ( k  o F  -  x ) ) ) ) ) )
5447, 53eqtrd 2328 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } )  ->  ( R  gsumg  ( x  e.  { y  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  | 
y  o R  <_ 
k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Y `  ( k  o F  -  x ) ) ) ) )  =  ( H  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  | 
y  o R  <_ 
k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  H
) ( Y `  ( k  o F  -  x ) ) ) ) ) )
5554mpteq2dva 4122 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( k  e.  {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } 
|->  ( R  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  | 
y  o R  <_ 
k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Y `  ( k  o F  -  x ) ) ) ) ) )  =  ( k  e. 
{ f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  |->  ( H 
gsumg  ( x  e.  { y  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  | 
y  o R  <_ 
k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  H
) ( Y `  ( k  o F  -  x ) ) ) ) ) ) )
56 resspsr.s . . . 4  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
57 eqid 2296 . . . 4  |-  ( Base `  S )  =  (
Base `  S )
58 eqid 2296 . . . 4  |-  ( .r
`  S )  =  ( .r `  S
)
59 fvex 5555 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  R )  e.  _V
6010, 26syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  T  =  ( Base `  H ) )
61 eqid 2296 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
6261subrgss 15562 . . . . . . . . . 10  |-  ( T  e.  (SubRing `  R
)  ->  T  C_  ( Base `  R ) )
6310, 62syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  T  C_  ( Base `  R ) )
6460, 63eqsstr3d 3226 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Base `  H
)  C_  ( Base `  R ) )
65 mapss 6826 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Base `  R
)  e.  _V  /\  ( Base `  H )  C_  ( Base `  R
) )  ->  (
( Base `  H )  ^m  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  C_  (
( Base `  R )  ^m  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } ) )
6659, 64, 65sylancr 644 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( Base `  H
)  ^m  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } ) 
C_  ( ( Base `  R )  ^m  {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } ) )
6766adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( ( Base `  H
)  ^m  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } ) 
C_  ( ( Base `  R )  ^m  {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } ) )
682, 17, 7, 3, 6psrbas 16140 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  ->  B  =  ( ( Base `  H )  ^m  { f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } ) )
6956, 61, 7, 57, 6psrbas 16140 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( Base `  S )  =  ( ( Base `  R )  ^m  {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } ) )
7067, 68, 693sstr4d 3234 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  ->  B  C_  ( Base `  S
) )
7170, 18sseldd 3194 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  ->  X  e.  ( Base `  S ) )
7270, 29sseldd 3194 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  ->  Y  e.  ( Base `  S ) )
7356, 57, 42, 58, 7, 71, 72psrmulfval 16146 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( X ( .r
`  S ) Y )  =  ( k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |->  ( R  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  | 
y  o R  <_ 
k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Y `  ( k  o F  -  x ) ) ) ) ) ) )
74 eqid 2296 . . . 4  |-  ( .r
`  H )  =  ( .r `  H
)
75 eqid 2296 . . . 4  |-  ( .r
`  U )  =  ( .r `  U
)
762, 3, 74, 75, 7, 18, 29psrmulfval 16146 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( X ( .r
`  U ) Y )  =  ( k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |->  ( H  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  | 
y  o R  <_ 
k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  H
) ( Y `  ( k  o F  -  x ) ) ) ) ) ) )
7755, 73, 763eqtr4rd 2339 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( X ( .r
`  U ) Y )  =  ( X ( .r `  S
) Y ) )
78 fvex 5555 . . . . 5  |-  ( Base `  U )  e.  _V
793, 78eqeltri 2366 . . . 4  |-  B  e. 
_V
80 resspsr.p . . . . 5  |-  P  =  ( Ss  B )
8180, 58ressmulr 13277 . . . 4  |-  ( B  e.  _V  ->  ( .r `  S )  =  ( .r `  P
) )
8279, 81mp1i 11 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( .r `  S
)  =  ( .r
`  P ) )
8382oveqd 5891 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( X ( .r
`  S ) Y )  =  ( X ( .r `  P
) Y ) )
8477, 83eqtrd 2328 1  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( X ( .r
`  U ) Y )  =  ( X ( .r `  P
) Y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   {crab 2560   _Vcvv 2801    C_ wss 3165   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   `'ccnv 4704   "cima 4708   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    o Fcof 6092    o Rcofr 6093    ^m cmap 6788   Fincfn 6879    <_ cle 8884    - cmin 9053   NNcn 9762   NN0cn0 9981   Basecbs 13164   ↾s cress 13165   .rcmulr 13225    gsumg cgsu 13417  SubMndcsubmnd 14430  SubGrpcsubg 14631  SubRingcsubrg 15557   mPwSer cmps 16103
This theorem is referenced by:  subrgpsr  16179  ressmplmul  16218
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-ofr 6095  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-fz 10799  df-seq 11063  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-mnd 14383  df-submnd 14432  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-subg 14634  df-mgp 15342  df-rng 15356  df-subrg 15559  df-psr 16114
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