Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  resspsrvsca Structured version   Unicode version

Theorem resspsrvsca 16482
 Description: A restricted power series algebra has the same scalar multiplication operation. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
resspsr.s mPwSer
resspsr.h s
resspsr.u mPwSer
resspsr.b
resspsr.p s
resspsr.2 SubRing
Assertion
Ref Expression
resspsrvsca

Proof of Theorem resspsrvsca
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 resspsr.u . . 3 mPwSer
2 eqid 2437 . . 3
3 eqid 2437 . . 3
4 resspsr.b . . 3
5 eqid 2437 . . 3
6 eqid 2437 . . 3
7 simprl 734 . . . 4
8 resspsr.2 . . . . . 6 SubRing
98adantr 453 . . . . 5 SubRing
10 resspsr.h . . . . . 6 s
1110subrgbas 15878 . . . . 5 SubRing
129, 11syl 16 . . . 4
137, 12eleqtrd 2513 . . 3
14 simprr 735 . . 3
151, 2, 3, 4, 5, 6, 13, 14psrvsca 16456 . 2
16 resspsr.s . . . 4 mPwSer
17 eqid 2437 . . . 4
18 eqid 2437 . . . 4
19 eqid 2437 . . . 4
20 eqid 2437 . . . 4
2118subrgss 15870 . . . . . 6 SubRing
229, 21syl 16 . . . . 5
2322, 7sseldd 3350 . . . 4
24 resspsr.p . . . . . . . 8 s
2516, 10, 1, 4, 24, 8resspsrbas 16479 . . . . . . 7
2624, 19ressbasss 13522 . . . . . . 7
2725, 26syl6eqss 3399 . . . . . 6
2827adantr 453 . . . . 5
2928, 14sseldd 3350 . . . 4
3016, 17, 18, 19, 20, 6, 23, 29psrvsca 16456 . . 3
3110, 20ressmulr 13583 . . . . 5 SubRing
32 ofeq 6308 . . . . 5
339, 31, 323syl 19 . . . 4
3433oveqd 6099 . . 3
3530, 34eqtrd 2469 . 2
36 fvex 5743 . . . . 5
374, 36eqeltri 2507 . . . 4
3824, 17ressvsca 13606 . . . 4
3937, 38mp1i 12 . . 3
4039oveqd 6099 . 2
4115, 35, 403eqtr2d 2475 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 360   wceq 1653   wcel 1726  crab 2710  cvv 2957   wss 3321  csn 3815   cxp 4877  ccnv 4878  cima 4882  cfv 5455  (class class class)co 6082   cof 6304   cmap 7019  cfn 7110  cn 10001  cn0 10222  cbs 13470   ↾s cress 13471  cmulr 13531  cvsca 13534  SubRingcsubrg 15865   mPwSer cmps 16407 This theorem is referenced by:  ressmplvsca  16523 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-rep 4321  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-cnex 9047  ax-resscn 9048  ax-1cn 9049  ax-icn 9050  ax-addcl 9051  ax-addrcl 9052  ax-mulcl 9053  ax-mulrcl 9054  ax-mulcom 9055  ax-addass 9056  ax-mulass 9057  ax-distr 9058  ax-i2m1 9059  ax-1ne0 9060  ax-1rid 9061  ax-rnegex 9062  ax-rrecex 9063  ax-cnre 9064  ax-pre-lttri 9065  ax-pre-lttrn 9066  ax-pre-ltadd 9067  ax-pre-mulgt0 9068 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-int 4052  df-iun 4096  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-of 6306  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-riota 6550  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-1o 6725  df-oadd 6729  df-er 6906  df-map 7021  df-en 7111  df-dom 7112  df-sdom 7113  df-fin 7114  df-pnf 9123  df-mnf 9124  df-xr 9125  df-ltxr 9126  df-le 9127  df-sub 9294  df-neg 9295  df-nn 10002  df-2 10059  df-3 10060  df-4 10061  df-5 10062  df-6 10063  df-7 10064  df-8 10065  df-9 10066  df-n0 10223  df-z 10284  df-uz 10490  df-fz 11045  df-struct 13472  df-ndx 13473  df-slot 13474  df-base 13475  df-sets 13476  df-ress 13477  df-plusg 13543  df-mulr 13544  df-sca 13546  df-vsca 13547  df-tset 13549  df-subg 14942  df-rng 15664  df-subrg 15867  df-psr 16418
 Copyright terms: Public domain W3C validator