Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  resspsrvsca Unicode version

Theorem resspsrvsca 16162
 Description: A restricted power series algebra has the same scalar multiplication operation. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
resspsr.s mPwSer
resspsr.h s
resspsr.u mPwSer
resspsr.b
resspsr.p s
resspsr.2 SubRing
Assertion
Ref Expression
resspsrvsca

Proof of Theorem resspsrvsca
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 resspsr.u . . 3 mPwSer
2 eqid 2283 . . 3
3 eqid 2283 . . 3
4 resspsr.b . . 3
5 eqid 2283 . . 3
6 eqid 2283 . . 3
7 simprl 732 . . . 4
8 resspsr.2 . . . . . 6 SubRing
98adantr 451 . . . . 5 SubRing
10 resspsr.h . . . . . 6 s
1110subrgbas 15554 . . . . 5 SubRing
129, 11syl 15 . . . 4
137, 12eleqtrd 2359 . . 3
14 simprr 733 . . 3
151, 2, 3, 4, 5, 6, 13, 14psrvsca 16136 . 2
16 resspsr.s . . . 4 mPwSer
17 eqid 2283 . . . 4
18 eqid 2283 . . . 4
19 eqid 2283 . . . 4
20 eqid 2283 . . . 4
2118subrgss 15546 . . . . . 6 SubRing
229, 21syl 15 . . . . 5
2322, 7sseldd 3181 . . . 4
24 resspsr.p . . . . . . . 8 s
2524, 19ressbasss 13200 . . . . . . 7
2616, 10, 1, 4, 24, 8resspsrbas 16159 . . . . . . . 8
2726sseq1d 3205 . . . . . . 7
2825, 27mpbiri 224 . . . . . 6
2928adantr 451 . . . . 5
3029, 14sseldd 3181 . . . 4
3116, 17, 18, 19, 20, 6, 23, 30psrvsca 16136 . . 3
3210, 20ressmulr 13261 . . . . 5 SubRing
33 ofeq 6080 . . . . 5
349, 32, 333syl 18 . . . 4
3534oveqd 5875 . . 3
3631, 35eqtrd 2315 . 2
37 fvex 5539 . . . . 5
384, 37eqeltri 2353 . . . 4
3924, 17ressvsca 13284 . . . 4
4038, 39mp1i 11 . . 3
4140oveqd 5875 . 2
4215, 36, 413eqtr2d 2321 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 358   wceq 1623   wcel 1684  crab 2547  cvv 2788   wss 3152  csn 3640   cxp 4687  ccnv 4688  cima 4692  cfv 5255  (class class class)co 5858   cof 6076   cmap 6772  cfn 6863  cn 9746  cn0 9965  cbs 13148   ↾s cress 13149  cmulr 13209  cvsca 13212  SubRingcsubrg 15541   mPwSer cmps 16087 This theorem is referenced by:  ressmplvsca  16203 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-subg 14618  df-rng 15340  df-subrg 15543  df-psr 16098
 Copyright terms: Public domain W3C validator