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Theorem resssetc 13924
Description: The restriction of the category of sets to a subset is the category of sets in the subset. Thus the  SetCat `
 U categories for different  U are full subcategories of each other. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
resssetc.c  |-  C  =  ( SetCat `  U )
resssetc.d  |-  D  =  ( SetCat `  V )
resssetc.1  |-  ( ph  ->  U  e.  W )
resssetc.2  |-  ( ph  ->  V  C_  U )
Assertion
Ref Expression
resssetc  |-  ( ph  ->  ( (  Homf  `  ( Cs  V ) )  =  (  Homf 
`  D )  /\  (compf `  ( Cs  V ) )  =  (compf `  D ) ) )

Proof of Theorem resssetc
Dummy variables  f 
g  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 resssetc.d . . . . . 6  |-  D  =  ( SetCat `  V )
2 resssetc.2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  V  C_  U )
3 resssetc.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  e.  W )
4 ssexg 4160 . . . . . . . 8  |-  ( ( V  C_  U  /\  U  e.  W )  ->  V  e.  _V )
52, 3, 4syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  V  e.  _V )
65adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V ) )  ->  V  e.  _V )
7 eqid 2283 . . . . . 6  |-  (  Hom  `  D )  =  (  Hom  `  D )
8 simprl 732 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V ) )  ->  x  e.  V )
9 simprr 733 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V ) )  -> 
y  e.  V )
101, 6, 7, 8, 9setchom 13912 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V ) )  -> 
( x (  Hom  `  D ) y )  =  ( y  ^m  x ) )
11 resssetc.c . . . . . 6  |-  C  =  ( SetCat `  U )
123adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V ) )  ->  U  e.  W )
13 eqid 2283 . . . . . 6  |-  (  Hom  `  C )  =  (  Hom  `  C )
142adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V ) )  ->  V  C_  U )
1514, 8sseldd 3181 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V ) )  ->  x  e.  U )
1614, 9sseldd 3181 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V ) )  -> 
y  e.  U )
1711, 12, 13, 15, 16setchom 13912 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V ) )  -> 
( x (  Hom  `  C ) y )  =  ( y  ^m  x ) )
18 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  ( Cs  V )  =  ( Cs  V )
1918, 13resshom 13323 . . . . . . 7  |-  ( V  e.  _V  ->  (  Hom  `  C )  =  (  Hom  `  ( Cs  V ) ) )
205, 19syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (  Hom  `  C
)  =  (  Hom  `  ( Cs  V ) ) )
2120proplem3 13593 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V ) )  -> 
( x (  Hom  `  C ) y )  =  ( x (  Hom  `  ( Cs  V
) ) y ) )
2210, 17, 213eqtr2rd 2322 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V ) )  -> 
( x (  Hom  `  ( Cs  V ) ) y )  =  ( x (  Hom  `  D
) y ) )
2322ralrimivva 2635 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  V  A. y  e.  V  ( x (  Hom  `  ( Cs  V ) ) y )  =  ( x (  Hom  `  D
) y ) )
24 eqid 2283 . . . 4  |-  (  Hom  `  ( Cs  V ) )  =  (  Hom  `  ( Cs  V ) )
2511, 3setcbas 13910 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U  =  ( Base `  C ) )
262, 25sseqtrd 3214 . . . . 5  |-  ( ph  ->  V  C_  ( Base `  C ) )
27 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( Base `  C )  =  (
Base `  C )
2818, 27ressbas2 13199 . . . . 5  |-  ( V 
C_  ( Base `  C
)  ->  V  =  ( Base `  ( Cs  V
) ) )
2926, 28syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  V  =  ( Base `  ( Cs  V ) ) )
301, 5setcbas 13910 . . . 4  |-  ( ph  ->  V  =  ( Base `  D ) )
3124, 7, 29, 30homfeq 13597 . . 3  |-  ( ph  ->  ( (  Homf  `  ( Cs  V ) )  =  (  Homf 
`  D )  <->  A. x  e.  V  A. y  e.  V  ( x
(  Hom  `  ( Cs  V ) ) y )  =  ( x (  Hom  `  D )
y ) ) )
3223, 31mpbird 223 . 2  |-  ( ph  ->  (  Homf 
`  ( Cs  V ) )  =  (  Homf  `  D ) )
335ad2antrr 706 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  D ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  D
) z ) ) )  ->  V  e.  _V )
34 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  (comp `  D )  =  (comp `  D )
35 simplr1 997 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  D ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  D
) z ) ) )  ->  x  e.  V )
36 simplr2 998 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  D ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  D
) z ) ) )  ->  y  e.  V )
37 simplr3 999 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  D ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  D
) z ) ) )  ->  z  e.  V )
38 simprl 732 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  D ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  D
) z ) ) )  ->  f  e.  ( x (  Hom  `  D ) y ) )
391, 33, 7, 35, 36elsetchom 13913 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  D ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  D
) z ) ) )  ->  ( f  e.  ( x (  Hom  `  D ) y )  <-> 
f : x --> y ) )
4038, 39mpbid 201 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  D ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  D
) z ) ) )  ->  f :
x --> y )
41 simprr 733 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  D ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  D
) z ) ) )  ->  g  e.  ( y (  Hom  `  D ) z ) )
421, 33, 7, 36, 37elsetchom 13913 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  D ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  D
) z ) ) )  ->  ( g  e.  ( y (  Hom  `  D ) z )  <-> 
g : y --> z ) )
4341, 42mpbid 201 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  D ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  D
) z ) ) )  ->  g :
y --> z )
441, 33, 34, 35, 36, 37, 40, 43setcco 13915 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  D ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  D
) z ) ) )  ->  ( g
( <. x ,  y
>. (comp `  D )
z ) f )  =  ( g  o.  f ) )
453ad2antrr 706 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  D ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  D
) z ) ) )  ->  U  e.  W )
46 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  (comp `  C )  =  (comp `  C )
472ad2antrr 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  D ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  D
) z ) ) )  ->  V  C_  U
)
4847, 35sseldd 3181 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  D ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  D
) z ) ) )  ->  x  e.  U )
4947, 36sseldd 3181 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  D ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  D
) z ) ) )  ->  y  e.  U )
5047, 37sseldd 3181 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  D ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  D
) z ) ) )  ->  z  e.  U )
5111, 45, 46, 48, 49, 50, 40, 43setcco 13915 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  D ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  D
) z ) ) )  ->  ( g
( <. x ,  y
>. (comp `  C )
z ) f )  =  ( g  o.  f ) )
5218, 46ressco 13324 . . . . . . . . . . 11  |-  ( V  e.  _V  ->  (comp `  C )  =  (comp `  ( Cs  V ) ) )
535, 52syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  (comp `  C )  =  (comp `  ( Cs  V
) ) )
5453ad2antrr 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  D ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  D
) z ) ) )  ->  (comp `  C
)  =  (comp `  ( Cs  V ) ) )
5554oveqd 5875 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  D ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  D
) z ) ) )  ->  ( <. x ,  y >. (comp `  C ) z )  =  ( <. x ,  y >. (comp `  ( Cs  V ) ) z ) )
5655oveqd 5875 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  D ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  D
) z ) ) )  ->  ( g
( <. x ,  y
>. (comp `  C )
z ) f )  =  ( g (
<. x ,  y >.
(comp `  ( Cs  V
) ) z ) f ) )
5744, 51, 563eqtr2d 2321 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  D ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  D
) z ) ) )  ->  ( g
( <. x ,  y
>. (comp `  D )
z ) f )  =  ( g (
<. x ,  y >.
(comp `  ( Cs  V
) ) z ) f ) )
5857ralrimivva 2635 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  ->  A. f  e.  (
x (  Hom  `  D
) y ) A. g  e.  ( y
(  Hom  `  D ) z ) ( g ( <. x ,  y
>. (comp `  D )
z ) f )  =  ( g (
<. x ,  y >.
(comp `  ( Cs  V
) ) z ) f ) )
5958ralrimivvva 2636 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x  e.  V  A. y  e.  V  A. z  e.  V  A. f  e.  (
x (  Hom  `  D
) y ) A. g  e.  ( y
(  Hom  `  D ) z ) ( g ( <. x ,  y
>. (comp `  D )
z ) f )  =  ( g (
<. x ,  y >.
(comp `  ( Cs  V
) ) z ) f ) )
60 eqid 2283 . . . . 5  |-  (comp `  ( Cs  V ) )  =  (comp `  ( Cs  V
) )
6132eqcomd 2288 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (  Homf 
`  D )  =  (  Homf 
`  ( Cs  V ) ) )
6234, 60, 7, 30, 29, 61comfeq 13609 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (compf `  D )  =  (compf `  ( Cs  V ) )  <->  A. x  e.  V  A. y  e.  V  A. z  e.  V  A. f  e.  ( x (  Hom  `  D ) y ) A. g  e.  ( y (  Hom  `  D
) z ) ( g ( <. x ,  y >. (comp `  D ) z ) f )  =  ( g ( <. x ,  y >. (comp `  ( Cs  V ) ) z ) f ) ) )
6359, 62mpbird 223 . . 3  |-  ( ph  ->  (compf `  D )  =  (compf `  ( Cs  V ) ) )
6463eqcomd 2288 . 2  |-  ( ph  ->  (compf `  ( Cs  V ) )  =  (compf `  D ) )
6532, 64jca 518 1  |-  ( ph  ->  ( (  Homf  `  ( Cs  V ) )  =  (  Homf 
`  D )  /\  (compf `  ( Cs  V ) )  =  (compf `  D ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   _Vcvv 2788    C_ wss 3152   <.cop 3643    o. ccom 4693   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    ^m cmap 6772   Basecbs 13148   ↾s cress 13149    Hom chom 13219  compcco 13220    Homf chomf 13568  compfccomf 13569   SetCatcsetc 13907
This theorem is referenced by:  funcsetcres2  13925
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-fz 10783  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-hom 13232  df-cco 13233  df-homf 13572  df-comf 13573  df-setc 13908
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