MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  resssetc Structured version   Unicode version

Theorem resssetc 14248
Description: The restriction of the category of sets to a subset is the category of sets in the subset. Thus, the  SetCat `
 U categories for different  U are full subcategories of each other. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
resssetc.c  |-  C  =  ( SetCat `  U )
resssetc.d  |-  D  =  ( SetCat `  V )
resssetc.1  |-  ( ph  ->  U  e.  W )
resssetc.2  |-  ( ph  ->  V  C_  U )
Assertion
Ref Expression
resssetc  |-  ( ph  ->  ( (  Homf  `  ( Cs  V ) )  =  (  Homf 
`  D )  /\  (compf `  ( Cs  V ) )  =  (compf `  D ) ) )

Proof of Theorem resssetc
Dummy variables  f 
g  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 resssetc.d . . . . . 6  |-  D  =  ( SetCat `  V )
2 resssetc.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  e.  W )
3 resssetc.2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  V  C_  U )
42, 3ssexd 4351 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  V  e.  _V )
54adantr 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V ) )  ->  V  e.  _V )
6 eqid 2437 . . . . . 6  |-  (  Hom  `  D )  =  (  Hom  `  D )
7 simprl 734 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V ) )  ->  x  e.  V )
8 simprr 735 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V ) )  -> 
y  e.  V )
91, 5, 6, 7, 8setchom 14236 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V ) )  -> 
( x (  Hom  `  D ) y )  =  ( y  ^m  x ) )
10 resssetc.c . . . . . 6  |-  C  =  ( SetCat `  U )
112adantr 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V ) )  ->  U  e.  W )
12 eqid 2437 . . . . . 6  |-  (  Hom  `  C )  =  (  Hom  `  C )
133adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V ) )  ->  V  C_  U )
1413, 7sseldd 3350 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V ) )  ->  x  e.  U )
1513, 8sseldd 3350 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V ) )  -> 
y  e.  U )
1610, 11, 12, 14, 15setchom 14236 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V ) )  -> 
( x (  Hom  `  C ) y )  =  ( y  ^m  x ) )
17 eqid 2437 . . . . . . . 8  |-  ( Cs  V )  =  ( Cs  V )
1817, 12resshom 13647 . . . . . . 7  |-  ( V  e.  _V  ->  (  Hom  `  C )  =  (  Hom  `  ( Cs  V ) ) )
194, 18syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (  Hom  `  C
)  =  (  Hom  `  ( Cs  V ) ) )
2019proplem3 13917 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V ) )  -> 
( x (  Hom  `  C ) y )  =  ( x (  Hom  `  ( Cs  V
) ) y ) )
219, 16, 203eqtr2rd 2476 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V ) )  -> 
( x (  Hom  `  ( Cs  V ) ) y )  =  ( x (  Hom  `  D
) y ) )
2221ralrimivva 2799 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  V  A. y  e.  V  ( x (  Hom  `  ( Cs  V ) ) y )  =  ( x (  Hom  `  D
) y ) )
23 eqid 2437 . . . 4  |-  (  Hom  `  ( Cs  V ) )  =  (  Hom  `  ( Cs  V ) )
2410, 2setcbas 14234 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U  =  ( Base `  C ) )
253, 24sseqtrd 3385 . . . . 5  |-  ( ph  ->  V  C_  ( Base `  C ) )
26 eqid 2437 . . . . . 6  |-  ( Base `  C )  =  (
Base `  C )
2717, 26ressbas2 13521 . . . . 5  |-  ( V 
C_  ( Base `  C
)  ->  V  =  ( Base `  ( Cs  V
) ) )
2825, 27syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  V  =  ( Base `  ( Cs  V ) ) )
291, 4setcbas 14234 . . . 4  |-  ( ph  ->  V  =  ( Base `  D ) )
3023, 6, 28, 29homfeq 13921 . . 3  |-  ( ph  ->  ( (  Homf  `  ( Cs  V ) )  =  (  Homf 
`  D )  <->  A. x  e.  V  A. y  e.  V  ( x
(  Hom  `  ( Cs  V ) ) y )  =  ( x (  Hom  `  D )
y ) ) )
3122, 30mpbird 225 . 2  |-  ( ph  ->  (  Homf 
`  ( Cs  V ) )  =  (  Homf  `  D ) )
324ad2antrr 708 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  D ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  D
) z ) ) )  ->  V  e.  _V )
33 eqid 2437 . . . . . . . 8  |-  (comp `  D )  =  (comp `  D )
34 simplr1 1000 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  D ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  D
) z ) ) )  ->  x  e.  V )
35 simplr2 1001 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  D ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  D
) z ) ) )  ->  y  e.  V )
36 simplr3 1002 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  D ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  D
) z ) ) )  ->  z  e.  V )
37 simprl 734 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  D ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  D
) z ) ) )  ->  f  e.  ( x (  Hom  `  D ) y ) )
381, 32, 6, 34, 35elsetchom 14237 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  D ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  D
) z ) ) )  ->  ( f  e.  ( x (  Hom  `  D ) y )  <-> 
f : x --> y ) )
3937, 38mpbid 203 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  D ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  D
) z ) ) )  ->  f :
x --> y )
40 simprr 735 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  D ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  D
) z ) ) )  ->  g  e.  ( y (  Hom  `  D ) z ) )
411, 32, 6, 35, 36elsetchom 14237 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  D ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  D
) z ) ) )  ->  ( g  e.  ( y (  Hom  `  D ) z )  <-> 
g : y --> z ) )
4240, 41mpbid 203 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  D ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  D
) z ) ) )  ->  g :
y --> z )
431, 32, 33, 34, 35, 36, 39, 42setcco 14239 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  D ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  D
) z ) ) )  ->  ( g
( <. x ,  y
>. (comp `  D )
z ) f )  =  ( g  o.  f ) )
442ad2antrr 708 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  D ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  D
) z ) ) )  ->  U  e.  W )
45 eqid 2437 . . . . . . . 8  |-  (comp `  C )  =  (comp `  C )
463ad2antrr 708 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  D ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  D
) z ) ) )  ->  V  C_  U
)
4746, 34sseldd 3350 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  D ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  D
) z ) ) )  ->  x  e.  U )
4846, 35sseldd 3350 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  D ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  D
) z ) ) )  ->  y  e.  U )
4946, 36sseldd 3350 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  D ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  D
) z ) ) )  ->  z  e.  U )
5010, 44, 45, 47, 48, 49, 39, 42setcco 14239 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  D ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  D
) z ) ) )  ->  ( g
( <. x ,  y
>. (comp `  C )
z ) f )  =  ( g  o.  f ) )
5117, 45ressco 13648 . . . . . . . . . . 11  |-  ( V  e.  _V  ->  (comp `  C )  =  (comp `  ( Cs  V ) ) )
524, 51syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  (comp `  C )  =  (comp `  ( Cs  V
) ) )
5352ad2antrr 708 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  D ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  D
) z ) ) )  ->  (comp `  C
)  =  (comp `  ( Cs  V ) ) )
5453oveqd 6099 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  D ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  D
) z ) ) )  ->  ( <. x ,  y >. (comp `  C ) z )  =  ( <. x ,  y >. (comp `  ( Cs  V ) ) z ) )
5554oveqd 6099 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  D ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  D
) z ) ) )  ->  ( g
( <. x ,  y
>. (comp `  C )
z ) f )  =  ( g (
<. x ,  y >.
(comp `  ( Cs  V
) ) z ) f ) )
5643, 50, 553eqtr2d 2475 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  D ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  D
) z ) ) )  ->  ( g
( <. x ,  y
>. (comp `  D )
z ) f )  =  ( g (
<. x ,  y >.
(comp `  ( Cs  V
) ) z ) f ) )
5756ralrimivva 2799 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  ->  A. f  e.  (
x (  Hom  `  D
) y ) A. g  e.  ( y
(  Hom  `  D ) z ) ( g ( <. x ,  y
>. (comp `  D )
z ) f )  =  ( g (
<. x ,  y >.
(comp `  ( Cs  V
) ) z ) f ) )
5857ralrimivvva 2800 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x  e.  V  A. y  e.  V  A. z  e.  V  A. f  e.  (
x (  Hom  `  D
) y ) A. g  e.  ( y
(  Hom  `  D ) z ) ( g ( <. x ,  y
>. (comp `  D )
z ) f )  =  ( g (
<. x ,  y >.
(comp `  ( Cs  V
) ) z ) f ) )
59 eqid 2437 . . . . 5  |-  (comp `  ( Cs  V ) )  =  (comp `  ( Cs  V
) )
6031eqcomd 2442 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (  Homf 
`  D )  =  (  Homf 
`  ( Cs  V ) ) )
6133, 59, 6, 29, 28, 60comfeq 13933 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (compf `  D )  =  (compf `  ( Cs  V ) )  <->  A. x  e.  V  A. y  e.  V  A. z  e.  V  A. f  e.  ( x (  Hom  `  D ) y ) A. g  e.  ( y (  Hom  `  D
) z ) ( g ( <. x ,  y >. (comp `  D ) z ) f )  =  ( g ( <. x ,  y >. (comp `  ( Cs  V ) ) z ) f ) ) )
6258, 61mpbird 225 . . 3  |-  ( ph  ->  (compf `  D )  =  (compf `  ( Cs  V ) ) )
6362eqcomd 2442 . 2  |-  ( ph  ->  (compf `  ( Cs  V ) )  =  (compf `  D ) )
6431, 63jca 520 1  |-  ( ph  ->  ( (  Homf  `  ( Cs  V ) )  =  (  Homf 
`  D )  /\  (compf `  ( Cs  V ) )  =  (compf `  D ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2706   _Vcvv 2957    C_ wss 3321   <.cop 3818    o. ccom 4883   -->wf 5451   ` cfv 5455  (class class class)co 6082    ^m cmap 7019   Basecbs 13470   ↾s cress 13471    Hom chom 13541  compcco 13542    Homf chomf 13892  compfccomf 13893   SetCatcsetc 14231
This theorem is referenced by:  funcsetcres2  14249
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-rep 4321  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-cnex 9047  ax-resscn 9048  ax-1cn 9049  ax-icn 9050  ax-addcl 9051  ax-addrcl 9052  ax-mulcl 9053  ax-mulrcl 9054  ax-mulcom 9055  ax-addass 9056  ax-mulass 9057  ax-distr 9058  ax-i2m1 9059  ax-1ne0 9060  ax-1rid 9061  ax-rnegex 9062  ax-rrecex 9063  ax-cnre 9064  ax-pre-lttri 9065  ax-pre-lttrn 9066  ax-pre-ltadd 9067  ax-pre-mulgt0 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-int 4052  df-iun 4096  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-riota 6550  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-1o 6725  df-oadd 6729  df-er 6906  df-map 7021  df-en 7111  df-dom 7112  df-sdom 7113  df-fin 7114  df-pnf 9123  df-mnf 9124  df-xr 9125  df-ltxr 9126  df-le 9127  df-sub 9294  df-neg 9295  df-nn 10002  df-2 10059  df-3 10060  df-4 10061  df-5 10062  df-6 10063  df-7 10064  df-8 10065  df-9 10066  df-10 10067  df-n0 10223  df-z 10284  df-dec 10384  df-uz 10490  df-fz 11045  df-struct 13472  df-ndx 13473  df-slot 13474  df-base 13475  df-sets 13476  df-ress 13477  df-hom 13554  df-cco 13555  df-homf 13896  df-comf 13897  df-setc 14232
  Copyright terms: Public domain W3C validator