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Theorem resssetc 13940
Description: The restriction of the category of sets to a subset is the category of sets in the subset. Thus, the  SetCat `
 U categories for different  U are full subcategories of each other. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
resssetc.c  |-  C  =  ( SetCat `  U )
resssetc.d  |-  D  =  ( SetCat `  V )
resssetc.1  |-  ( ph  ->  U  e.  W )
resssetc.2  |-  ( ph  ->  V  C_  U )
Assertion
Ref Expression
resssetc  |-  ( ph  ->  ( (  Homf  `  ( Cs  V ) )  =  (  Homf 
`  D )  /\  (compf `  ( Cs  V ) )  =  (compf `  D ) ) )

Proof of Theorem resssetc
Dummy variables  f 
g  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 resssetc.d . . . . . 6  |-  D  =  ( SetCat `  V )
2 resssetc.2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  V  C_  U )
3 resssetc.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  e.  W )
4 ssexg 4176 . . . . . . . 8  |-  ( ( V  C_  U  /\  U  e.  W )  ->  V  e.  _V )
52, 3, 4syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  V  e.  _V )
65adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V ) )  ->  V  e.  _V )
7 eqid 2296 . . . . . 6  |-  (  Hom  `  D )  =  (  Hom  `  D )
8 simprl 732 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V ) )  ->  x  e.  V )
9 simprr 733 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V ) )  -> 
y  e.  V )
101, 6, 7, 8, 9setchom 13928 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V ) )  -> 
( x (  Hom  `  D ) y )  =  ( y  ^m  x ) )
11 resssetc.c . . . . . 6  |-  C  =  ( SetCat `  U )
123adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V ) )  ->  U  e.  W )
13 eqid 2296 . . . . . 6  |-  (  Hom  `  C )  =  (  Hom  `  C )
142adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V ) )  ->  V  C_  U )
1514, 8sseldd 3194 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V ) )  ->  x  e.  U )
1614, 9sseldd 3194 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V ) )  -> 
y  e.  U )
1711, 12, 13, 15, 16setchom 13928 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V ) )  -> 
( x (  Hom  `  C ) y )  =  ( y  ^m  x ) )
18 eqid 2296 . . . . . . . 8  |-  ( Cs  V )  =  ( Cs  V )
1918, 13resshom 13339 . . . . . . 7  |-  ( V  e.  _V  ->  (  Hom  `  C )  =  (  Hom  `  ( Cs  V ) ) )
205, 19syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (  Hom  `  C
)  =  (  Hom  `  ( Cs  V ) ) )
2120proplem3 13609 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V ) )  -> 
( x (  Hom  `  C ) y )  =  ( x (  Hom  `  ( Cs  V
) ) y ) )
2210, 17, 213eqtr2rd 2335 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V ) )  -> 
( x (  Hom  `  ( Cs  V ) ) y )  =  ( x (  Hom  `  D
) y ) )
2322ralrimivva 2648 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  V  A. y  e.  V  ( x (  Hom  `  ( Cs  V ) ) y )  =  ( x (  Hom  `  D
) y ) )
24 eqid 2296 . . . 4  |-  (  Hom  `  ( Cs  V ) )  =  (  Hom  `  ( Cs  V ) )
2511, 3setcbas 13926 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U  =  ( Base `  C ) )
262, 25sseqtrd 3227 . . . . 5  |-  ( ph  ->  V  C_  ( Base `  C ) )
27 eqid 2296 . . . . . 6  |-  ( Base `  C )  =  (
Base `  C )
2818, 27ressbas2 13215 . . . . 5  |-  ( V 
C_  ( Base `  C
)  ->  V  =  ( Base `  ( Cs  V
) ) )
2926, 28syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  V  =  ( Base `  ( Cs  V ) ) )
301, 5setcbas 13926 . . . 4  |-  ( ph  ->  V  =  ( Base `  D ) )
3124, 7, 29, 30homfeq 13613 . . 3  |-  ( ph  ->  ( (  Homf  `  ( Cs  V ) )  =  (  Homf 
`  D )  <->  A. x  e.  V  A. y  e.  V  ( x
(  Hom  `  ( Cs  V ) ) y )  =  ( x (  Hom  `  D )
y ) ) )
3223, 31mpbird 223 . 2  |-  ( ph  ->  (  Homf 
`  ( Cs  V ) )  =  (  Homf  `  D ) )
335ad2antrr 706 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  D ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  D
) z ) ) )  ->  V  e.  _V )
34 eqid 2296 . . . . . . . 8  |-  (comp `  D )  =  (comp `  D )
35 simplr1 997 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  D ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  D
) z ) ) )  ->  x  e.  V )
36 simplr2 998 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  D ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  D
) z ) ) )  ->  y  e.  V )
37 simplr3 999 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  D ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  D
) z ) ) )  ->  z  e.  V )
38 simprl 732 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  D ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  D
) z ) ) )  ->  f  e.  ( x (  Hom  `  D ) y ) )
391, 33, 7, 35, 36elsetchom 13929 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  D ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  D
) z ) ) )  ->  ( f  e.  ( x (  Hom  `  D ) y )  <-> 
f : x --> y ) )
4038, 39mpbid 201 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  D ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  D
) z ) ) )  ->  f :
x --> y )
41 simprr 733 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  D ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  D
) z ) ) )  ->  g  e.  ( y (  Hom  `  D ) z ) )
421, 33, 7, 36, 37elsetchom 13929 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  D ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  D
) z ) ) )  ->  ( g  e.  ( y (  Hom  `  D ) z )  <-> 
g : y --> z ) )
4341, 42mpbid 201 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  D ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  D
) z ) ) )  ->  g :
y --> z )
441, 33, 34, 35, 36, 37, 40, 43setcco 13931 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  D ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  D
) z ) ) )  ->  ( g
( <. x ,  y
>. (comp `  D )
z ) f )  =  ( g  o.  f ) )
453ad2antrr 706 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  D ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  D
) z ) ) )  ->  U  e.  W )
46 eqid 2296 . . . . . . . 8  |-  (comp `  C )  =  (comp `  C )
472ad2antrr 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  D ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  D
) z ) ) )  ->  V  C_  U
)
4847, 35sseldd 3194 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  D ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  D
) z ) ) )  ->  x  e.  U )
4947, 36sseldd 3194 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  D ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  D
) z ) ) )  ->  y  e.  U )
5047, 37sseldd 3194 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  D ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  D
) z ) ) )  ->  z  e.  U )
5111, 45, 46, 48, 49, 50, 40, 43setcco 13931 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  D ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  D
) z ) ) )  ->  ( g
( <. x ,  y
>. (comp `  C )
z ) f )  =  ( g  o.  f ) )
5218, 46ressco 13340 . . . . . . . . . . 11  |-  ( V  e.  _V  ->  (comp `  C )  =  (comp `  ( Cs  V ) ) )
535, 52syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  (comp `  C )  =  (comp `  ( Cs  V
) ) )
5453ad2antrr 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  D ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  D
) z ) ) )  ->  (comp `  C
)  =  (comp `  ( Cs  V ) ) )
5554oveqd 5891 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  D ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  D
) z ) ) )  ->  ( <. x ,  y >. (comp `  C ) z )  =  ( <. x ,  y >. (comp `  ( Cs  V ) ) z ) )
5655oveqd 5891 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  D ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  D
) z ) ) )  ->  ( g
( <. x ,  y
>. (comp `  C )
z ) f )  =  ( g (
<. x ,  y >.
(comp `  ( Cs  V
) ) z ) f ) )
5744, 51, 563eqtr2d 2334 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  D ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  D
) z ) ) )  ->  ( g
( <. x ,  y
>. (comp `  D )
z ) f )  =  ( g (
<. x ,  y >.
(comp `  ( Cs  V
) ) z ) f ) )
5857ralrimivva 2648 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  ->  A. f  e.  (
x (  Hom  `  D
) y ) A. g  e.  ( y
(  Hom  `  D ) z ) ( g ( <. x ,  y
>. (comp `  D )
z ) f )  =  ( g (
<. x ,  y >.
(comp `  ( Cs  V
) ) z ) f ) )
5958ralrimivvva 2649 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x  e.  V  A. y  e.  V  A. z  e.  V  A. f  e.  (
x (  Hom  `  D
) y ) A. g  e.  ( y
(  Hom  `  D ) z ) ( g ( <. x ,  y
>. (comp `  D )
z ) f )  =  ( g (
<. x ,  y >.
(comp `  ( Cs  V
) ) z ) f ) )
60 eqid 2296 . . . . 5  |-  (comp `  ( Cs  V ) )  =  (comp `  ( Cs  V
) )
6132eqcomd 2301 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (  Homf 
`  D )  =  (  Homf 
`  ( Cs  V ) ) )
6234, 60, 7, 30, 29, 61comfeq 13625 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (compf `  D )  =  (compf `  ( Cs  V ) )  <->  A. x  e.  V  A. y  e.  V  A. z  e.  V  A. f  e.  ( x (  Hom  `  D ) y ) A. g  e.  ( y (  Hom  `  D
) z ) ( g ( <. x ,  y >. (comp `  D ) z ) f )  =  ( g ( <. x ,  y >. (comp `  ( Cs  V ) ) z ) f ) ) )
6359, 62mpbird 223 . . 3  |-  ( ph  ->  (compf `  D )  =  (compf `  ( Cs  V ) ) )
6463eqcomd 2301 . 2  |-  ( ph  ->  (compf `  ( Cs  V ) )  =  (compf `  D ) )
6532, 64jca 518 1  |-  ( ph  ->  ( (  Homf  `  ( Cs  V ) )  =  (  Homf 
`  D )  /\  (compf `  ( Cs  V ) )  =  (compf `  D ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   _Vcvv 2801    C_ wss 3165   <.cop 3656    o. ccom 4709   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    ^m cmap 6788   Basecbs 13164   ↾s cress 13165    Hom chom 13235  compcco 13236    Homf chomf 13584  compfccomf 13585   SetCatcsetc 13923
This theorem is referenced by:  funcsetcres2  13941
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-fz 10799  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-hom 13248  df-cco 13249  df-homf 13588  df-comf 13589  df-setc 13924
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