Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  resssetc Structured version   Unicode version

Theorem resssetc 14248
 Description: The restriction of the category of sets to a subset is the category of sets in the subset. Thus, the categories for different are full subcategories of each other. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
resssetc.c
resssetc.d
resssetc.1
resssetc.2
Assertion
Ref Expression
resssetc f s f compfs compf

Proof of Theorem resssetc
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 resssetc.d . . . . . 6
2 resssetc.1 . . . . . . . 8
3 resssetc.2 . . . . . . . 8
42, 3ssexd 4351 . . . . . . 7
54adantr 453 . . . . . 6
6 eqid 2437 . . . . . 6
7 simprl 734 . . . . . 6
8 simprr 735 . . . . . 6
91, 5, 6, 7, 8setchom 14236 . . . . 5
10 resssetc.c . . . . . 6
112adantr 453 . . . . . 6
12 eqid 2437 . . . . . 6
133adantr 453 . . . . . . 7
1413, 7sseldd 3350 . . . . . 6
1513, 8sseldd 3350 . . . . . 6
1610, 11, 12, 14, 15setchom 14236 . . . . 5
17 eqid 2437 . . . . . . . 8 s s
1817, 12resshom 13647 . . . . . . 7 s
194, 18syl 16 . . . . . 6 s
2019proplem3 13917 . . . . 5 s
219, 16, 203eqtr2rd 2476 . . . 4 s
2221ralrimivva 2799 . . 3 s
23 eqid 2437 . . . 4 s s
2410, 2setcbas 14234 . . . . . 6
253, 24sseqtrd 3385 . . . . 5
26 eqid 2437 . . . . . 6
2717, 26ressbas2 13521 . . . . 5 s
2825, 27syl 16 . . . 4 s
291, 4setcbas 14234 . . . 4
3023, 6, 28, 29homfeq 13921 . . 3 f s f s
3122, 30mpbird 225 . 2 f s f
324ad2antrr 708 . . . . . . . 8
33 eqid 2437 . . . . . . . 8 comp comp
34 simplr1 1000 . . . . . . . 8
35 simplr2 1001 . . . . . . . 8
36 simplr3 1002 . . . . . . . 8
37 simprl 734 . . . . . . . . 9
381, 32, 6, 34, 35elsetchom 14237 . . . . . . . . 9
3937, 38mpbid 203 . . . . . . . 8
40 simprr 735 . . . . . . . . 9
411, 32, 6, 35, 36elsetchom 14237 . . . . . . . . 9
4240, 41mpbid 203 . . . . . . . 8
431, 32, 33, 34, 35, 36, 39, 42setcco 14239 . . . . . . 7 comp
442ad2antrr 708 . . . . . . . 8
45 eqid 2437 . . . . . . . 8 comp comp
463ad2antrr 708 . . . . . . . . 9
4746, 34sseldd 3350 . . . . . . . 8
4846, 35sseldd 3350 . . . . . . . 8
4946, 36sseldd 3350 . . . . . . . 8
5010, 44, 45, 47, 48, 49, 39, 42setcco 14239 . . . . . . 7 comp
5117, 45ressco 13648 . . . . . . . . . . 11 comp comps
524, 51syl 16 . . . . . . . . . 10 comp comps
5352ad2antrr 708 . . . . . . . . 9 comp comps
5453oveqd 6099 . . . . . . . 8 comp comps
5554oveqd 6099 . . . . . . 7 comp comps
5643, 50, 553eqtr2d 2475 . . . . . 6 comp comps
5756ralrimivva 2799 . . . . 5 comp comps
5857ralrimivvva 2800 . . . 4 comp comps
59 eqid 2437 . . . . 5 comps comps
6031eqcomd 2442 . . . . 5 f f s
6133, 59, 6, 29, 28, 60comfeq 13933 . . . 4 compf compfs comp comps
6258, 61mpbird 225 . . 3 compf compfs
6362eqcomd 2442 . 2 compfs compf
6431, 63jca 520 1 f s f compfs compf
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 360   w3a 937   wceq 1653   wcel 1726  wral 2706  cvv 2957   wss 3321  cop 3818   ccom 4883  wf 5451  cfv 5455  (class class class)co 6082   cmap 7019  cbs 13470   ↾s cress 13471   chom 13541  compcco 13542   f chomf 13892  compfccomf 13893  csetc 14231 This theorem is referenced by:  funcsetcres2  14249 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-rep 4321  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-cnex 9047  ax-resscn 9048  ax-1cn 9049  ax-icn 9050  ax-addcl 9051  ax-addrcl 9052  ax-mulcl 9053  ax-mulrcl 9054  ax-mulcom 9055  ax-addass 9056  ax-mulass 9057  ax-distr 9058  ax-i2m1 9059  ax-1ne0 9060  ax-1rid 9061  ax-rnegex 9062  ax-rrecex 9063  ax-cnre 9064  ax-pre-lttri 9065  ax-pre-lttrn 9066  ax-pre-ltadd 9067  ax-pre-mulgt0 9068 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-int 4052  df-iun 4096  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-riota 6550  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-1o 6725  df-oadd 6729  df-er 6906  df-map 7021  df-en 7111  df-dom 7112  df-sdom 7113  df-fin 7114  df-pnf 9123  df-mnf 9124  df-xr 9125  df-ltxr 9126  df-le 9127  df-sub 9294  df-neg 9295  df-nn 10002  df-2 10059  df-3 10060  df-4 10061  df-5 10062  df-6 10063  df-7 10064  df-8 10065  df-9 10066  df-10 10067  df-n0 10223  df-z 10284  df-dec 10384  df-uz 10490  df-fz 11045  df-struct 13472  df-ndx 13473  df-slot 13474  df-base 13475  df-sets 13476  df-ress 13477  df-hom 13554  df-cco 13555  df-homf 13896  df-comf 13897  df-setc 14232
 Copyright terms: Public domain W3C validator