MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  resstopn Unicode version

Theorem resstopn 16932
Description: The topology of a restricted structure. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
resstopn.1  |-  H  =  ( Ks  A )
resstopn.2  |-  J  =  ( TopOpen `  K )
Assertion
Ref Expression
resstopn  |-  ( Jt  A )  =  ( TopOpen `  H )

Proof of Theorem resstopn
StepHypRef Expression
1 fvex 5555 . . . . 5  |-  (TopSet `  K )  e.  _V
2 fvex 5555 . . . . 5  |-  ( Base `  K )  e.  _V
3 restco 16911 . . . . 5  |-  ( ( (TopSet `  K )  e.  _V  /\  ( Base `  K )  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  ( ( (TopSet `  K )t  ( Base `  K
) )t  A )  =  ( (TopSet `  K )t  (
( Base `  K )  i^i  A ) ) )
41, 2, 3mp3an12 1267 . . . 4  |-  ( A  e.  _V  ->  (
( (TopSet `  K
)t  ( Base `  K
) )t  A )  =  ( (TopSet `  K )t  (
( Base `  K )  i^i  A ) ) )
5 resstopn.1 . . . . . 6  |-  H  =  ( Ks  A )
6 eqid 2296 . . . . . 6  |-  (TopSet `  K )  =  (TopSet `  K )
75, 6resstset 13315 . . . . 5  |-  ( A  e.  _V  ->  (TopSet `  K )  =  (TopSet `  H ) )
8 incom 3374 . . . . . 6  |-  ( (
Base `  K )  i^i  A )  =  ( A  i^i  ( Base `  K ) )
9 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
105, 9ressbas 13214 . . . . . 6  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A  i^i  ( Base `  K
) )  =  (
Base `  H )
)
118, 10syl5eq 2340 . . . . 5  |-  ( A  e.  _V  ->  (
( Base `  K )  i^i  A )  =  (
Base `  H )
)
127, 11oveq12d 5892 . . . 4  |-  ( A  e.  _V  ->  (
(TopSet `  K )t  (
( Base `  K )  i^i  A ) )  =  ( (TopSet `  H
)t  ( Base `  H
) ) )
134, 12eqtrd 2328 . . 3  |-  ( A  e.  _V  ->  (
( (TopSet `  K
)t  ( Base `  K
) )t  A )  =  ( (TopSet `  H )t  ( Base `  H ) ) )
149, 6topnval 13355 . . . . 5  |-  ( (TopSet `  K )t  ( Base `  K
) )  =  (
TopOpen `  K )
15 resstopn.2 . . . . 5  |-  J  =  ( TopOpen `  K )
1614, 15eqtr4i 2319 . . . 4  |-  ( (TopSet `  K )t  ( Base `  K
) )  =  J
1716oveq1i 5884 . . 3  |-  ( ( (TopSet `  K )t  ( Base `  K ) )t  A )  =  ( Jt  A )
18 eqid 2296 . . . 4  |-  ( Base `  H )  =  (
Base `  H )
19 eqid 2296 . . . 4  |-  (TopSet `  H )  =  (TopSet `  H )
2018, 19topnval 13355 . . 3  |-  ( (TopSet `  H )t  ( Base `  H
) )  =  (
TopOpen `  H )
2113, 17, 203eqtr3g 2351 . 2  |-  ( A  e.  _V  ->  ( Jt  A )  =  (
TopOpen `  H ) )
22 simpr 447 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  A  e.  _V )
2322con3i 127 . . . 4  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  -.  ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )
)
24 restfn 13345 . . . . . 6  |-t  Fn  ( _V  X.  _V )
25 fndm 5359 . . . . . 6  |-  (t  Fn  ( _V  X.  _V )  ->  domt  =  ( _V  X.  _V ) )
2624, 25ax-mp 8 . . . . 5  |-  domt  =  ( _V  X.  _V )
2726ndmov 6020 . . . 4  |-  ( -.  ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  ( Jt  A )  =  (/) )
2823, 27syl 15 . . 3  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( Jt  A )  =  (/) )
29 reldmress 13210 . . . . . . . . 9  |-  Rel  doms
3029ovprc2 5903 . . . . . . . 8  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( Ks  A )  =  (/) )
315, 30syl5eq 2340 . . . . . . 7  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  H  =  (/) )
3231fveq2d 5545 . . . . . 6  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  (TopSet `  H )  =  (TopSet `  (/) ) )
33 df-tset 13243 . . . . . . 7  |- TopSet  = Slot  9
3433str0 13200 . . . . . 6  |-  (/)  =  (TopSet `  (/) )
3532, 34syl6eqr 2346 . . . . 5  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  (TopSet `  H )  =  (/) )
3635oveq1d 5889 . . . 4  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( (TopSet `  H )t  ( Base `  H ) )  =  ( (/)t  ( Base `  H
) ) )
37 0rest 13350 . . . 4  |-  ( (/)t  ( Base `  H ) )  =  (/)
3836, 20, 373eqtr3g 2351 . . 3  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  (
TopOpen `  H )  =  (/) )
3928, 38eqtr4d 2331 . 2  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( Jt  A )  =  (
TopOpen `  H ) )
4021, 39pm2.61i 156 1  |-  ( Jt  A )  =  ( TopOpen `  H )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   _Vcvv 2801    i^i cin 3164   (/)c0 3468    X. cxp 4703   dom cdm 4705    Fn wfn 5266   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   9c9 9818   Basecbs 13164   ↾s cress 13165  TopSetcts 13230   ↾t crest 13341   TopOpenctopn 13342
This theorem is referenced by:  resstps  16933  submtmd  17803  subgtgp  17804  tsmssubm  17841  invrcn2  17878  ressxms  18087  ressms  18088  nrgtdrg  18219  tgioo3  18327  dfii4  18404  xrge0topn  23340  lmxrge0  23390
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-tset 13243  df-rest 13343  df-topn 13344
  Copyright terms: Public domain W3C validator