MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  resstopn Unicode version

Theorem resstopn 16916
Description: The topology of a restricted structure. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
resstopn.1  |-  H  =  ( Ks  A )
resstopn.2  |-  J  =  ( TopOpen `  K )
Assertion
Ref Expression
resstopn  |-  ( Jt  A )  =  ( TopOpen `  H )

Proof of Theorem resstopn
StepHypRef Expression
1 fvex 5539 . . . . 5  |-  (TopSet `  K )  e.  _V
2 fvex 5539 . . . . 5  |-  ( Base `  K )  e.  _V
3 restco 16895 . . . . 5  |-  ( ( (TopSet `  K )  e.  _V  /\  ( Base `  K )  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  ( ( (TopSet `  K )t  ( Base `  K
) )t  A )  =  ( (TopSet `  K )t  (
( Base `  K )  i^i  A ) ) )
41, 2, 3mp3an12 1267 . . . 4  |-  ( A  e.  _V  ->  (
( (TopSet `  K
)t  ( Base `  K
) )t  A )  =  ( (TopSet `  K )t  (
( Base `  K )  i^i  A ) ) )
5 resstopn.1 . . . . . 6  |-  H  =  ( Ks  A )
6 eqid 2283 . . . . . 6  |-  (TopSet `  K )  =  (TopSet `  K )
75, 6resstset 13299 . . . . 5  |-  ( A  e.  _V  ->  (TopSet `  K )  =  (TopSet `  H ) )
8 incom 3361 . . . . . 6  |-  ( (
Base `  K )  i^i  A )  =  ( A  i^i  ( Base `  K ) )
9 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
105, 9ressbas 13198 . . . . . 6  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A  i^i  ( Base `  K
) )  =  (
Base `  H )
)
118, 10syl5eq 2327 . . . . 5  |-  ( A  e.  _V  ->  (
( Base `  K )  i^i  A )  =  (
Base `  H )
)
127, 11oveq12d 5876 . . . 4  |-  ( A  e.  _V  ->  (
(TopSet `  K )t  (
( Base `  K )  i^i  A ) )  =  ( (TopSet `  H
)t  ( Base `  H
) ) )
134, 12eqtrd 2315 . . 3  |-  ( A  e.  _V  ->  (
( (TopSet `  K
)t  ( Base `  K
) )t  A )  =  ( (TopSet `  H )t  ( Base `  H ) ) )
149, 6topnval 13339 . . . . 5  |-  ( (TopSet `  K )t  ( Base `  K
) )  =  (
TopOpen `  K )
15 resstopn.2 . . . . 5  |-  J  =  ( TopOpen `  K )
1614, 15eqtr4i 2306 . . . 4  |-  ( (TopSet `  K )t  ( Base `  K
) )  =  J
1716oveq1i 5868 . . 3  |-  ( ( (TopSet `  K )t  ( Base `  K ) )t  A )  =  ( Jt  A )
18 eqid 2283 . . . 4  |-  ( Base `  H )  =  (
Base `  H )
19 eqid 2283 . . . 4  |-  (TopSet `  H )  =  (TopSet `  H )
2018, 19topnval 13339 . . 3  |-  ( (TopSet `  H )t  ( Base `  H
) )  =  (
TopOpen `  H )
2113, 17, 203eqtr3g 2338 . 2  |-  ( A  e.  _V  ->  ( Jt  A )  =  (
TopOpen `  H ) )
22 simpr 447 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  A  e.  _V )
2322con3i 127 . . . 4  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  -.  ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )
)
24 restfn 13329 . . . . . 6  |-t  Fn  ( _V  X.  _V )
25 fndm 5343 . . . . . 6  |-  (t  Fn  ( _V  X.  _V )  ->  domt  =  ( _V  X.  _V ) )
2624, 25ax-mp 8 . . . . 5  |-  domt  =  ( _V  X.  _V )
2726ndmov 6004 . . . 4  |-  ( -.  ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  ( Jt  A )  =  (/) )
2823, 27syl 15 . . 3  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( Jt  A )  =  (/) )
29 reldmress 13194 . . . . . . . . 9  |-  Rel  doms
3029ovprc2 5887 . . . . . . . 8  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( Ks  A )  =  (/) )
315, 30syl5eq 2327 . . . . . . 7  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  H  =  (/) )
3231fveq2d 5529 . . . . . 6  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  (TopSet `  H )  =  (TopSet `  (/) ) )
33 df-tset 13227 . . . . . . 7  |- TopSet  = Slot  9
3433str0 13184 . . . . . 6  |-  (/)  =  (TopSet `  (/) )
3532, 34syl6eqr 2333 . . . . 5  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  (TopSet `  H )  =  (/) )
3635oveq1d 5873 . . . 4  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( (TopSet `  H )t  ( Base `  H ) )  =  ( (/)t  ( Base `  H
) ) )
37 0rest 13334 . . . 4  |-  ( (/)t  ( Base `  H ) )  =  (/)
3836, 20, 373eqtr3g 2338 . . 3  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  (
TopOpen `  H )  =  (/) )
3928, 38eqtr4d 2318 . 2  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( Jt  A )  =  (
TopOpen `  H ) )
4021, 39pm2.61i 156 1  |-  ( Jt  A )  =  ( TopOpen `  H )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   _Vcvv 2788    i^i cin 3151   (/)c0 3455    X. cxp 4687   dom cdm 4689    Fn wfn 5250   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   9c9 9802   Basecbs 13148   ↾s cress 13149  TopSetcts 13214   ↾t crest 13325   TopOpenctopn 13326
This theorem is referenced by:  resstps  16917  submtmd  17787  subgtgp  17788  tsmssubm  17825  invrcn2  17862  ressxms  18071  ressms  18072  nrgtdrg  18203  tgioo3  18311  dfii4  18388  xrge0topn  23325  lmxrge0  23375
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-tset 13227  df-rest 13327  df-topn 13328
  Copyright terms: Public domain W3C validator