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Theorem resstos 24180
Description: The restriction of a Toset is a Toset. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
resstos  |-  ( ( F  e. Toset  /\  A  e.  V )  ->  ( Fs  A )  e. Toset )

Proof of Theorem resstos
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tospos 24178 . . 3  |-  ( F  e. Toset  ->  F  e.  Poset )
2 resspos 24179 . . 3  |-  ( ( F  e.  Poset  /\  A  e.  V )  ->  ( Fs  A )  e.  Poset )
31, 2sylan 458 . 2  |-  ( ( F  e. Toset  /\  A  e.  V )  ->  ( Fs  A )  e.  Poset )
4 eqid 2435 . . . . . . 7  |-  ( Fs  A )  =  ( Fs  A )
5 eqid 2435 . . . . . . 7  |-  ( Base `  F )  =  (
Base `  F )
64, 5ressbas 13511 . . . . . 6  |-  ( A  e.  V  ->  ( A  i^i  ( Base `  F
) )  =  (
Base `  ( Fs  A
) ) )
7 inss2 3554 . . . . . 6  |-  ( A  i^i  ( Base `  F
) )  C_  ( Base `  F )
86, 7syl6eqssr 3391 . . . . 5  |-  ( A  e.  V  ->  ( Base `  ( Fs  A ) )  C_  ( Base `  F ) )
98adantl 453 . . . 4  |-  ( ( F  e. Toset  /\  A  e.  V )  ->  ( Base `  ( Fs  A ) )  C_  ( Base `  F ) )
10 eqid 2435 . . . . . . 7  |-  ( le
`  F )  =  ( le `  F
)
115, 10istos 14456 . . . . . 6  |-  ( F  e. Toset 
<->  ( F  e.  Poset  /\ 
A. x  e.  (
Base `  F ) A. y  e.  ( Base `  F ) ( x ( le `  F ) y  \/  y ( le `  F ) x ) ) )
1211simprbi 451 . . . . 5  |-  ( F  e. Toset  ->  A. x  e.  (
Base `  F ) A. y  e.  ( Base `  F ) ( x ( le `  F ) y  \/  y ( le `  F ) x ) )
1312adantr 452 . . . 4  |-  ( ( F  e. Toset  /\  A  e.  V )  ->  A. x  e.  ( Base `  F
) A. y  e.  ( Base `  F
) ( x ( le `  F ) y  \/  y ( le `  F ) x ) )
14 ssralv 3399 . . . . 5  |-  ( (
Base `  ( Fs  A
) )  C_  ( Base `  F )  -> 
( A. x  e.  ( Base `  F
) A. y  e.  ( Base `  F
) ( x ( le `  F ) y  \/  y ( le `  F ) x )  ->  A. x  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) A. y  e.  ( Base `  F ) ( x ( le `  F
) y  \/  y
( le `  F
) x ) ) )
15 ssralv 3399 . . . . . 6  |-  ( (
Base `  ( Fs  A
) )  C_  ( Base `  F )  -> 
( A. y  e.  ( Base `  F
) ( x ( le `  F ) y  \/  y ( le `  F ) x )  ->  A. y  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) ( x ( le `  F ) y  \/  y ( le `  F ) x ) ) )
1615ralimdv 2777 . . . . 5  |-  ( (
Base `  ( Fs  A
) )  C_  ( Base `  F )  -> 
( A. x  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) A. y  e.  ( Base `  F ) ( x ( le `  F
) y  \/  y
( le `  F
) x )  ->  A. x  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) A. y  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) ( x ( le `  F ) y  \/  y ( le `  F ) x ) ) )
1714, 16syld 42 . . . 4  |-  ( (
Base `  ( Fs  A
) )  C_  ( Base `  F )  -> 
( A. x  e.  ( Base `  F
) A. y  e.  ( Base `  F
) ( x ( le `  F ) y  \/  y ( le `  F ) x )  ->  A. x  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) A. y  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) ( x ( le `  F ) y  \/  y ( le `  F ) x ) ) )
189, 13, 17sylc 58 . . 3  |-  ( ( F  e. Toset  /\  A  e.  V )  ->  A. x  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) A. y  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) ( x ( le `  F ) y  \/  y ( le `  F ) x ) )
194, 10ressle 13619 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  V  ->  ( le `  F )  =  ( le `  ( Fs  A ) ) )
2019breqd 4215 . . . . . 6  |-  ( A  e.  V  ->  (
x ( le `  F ) y  <->  x ( le `  ( Fs  A ) ) y ) )
2119breqd 4215 . . . . . 6  |-  ( A  e.  V  ->  (
y ( le `  F ) x  <->  y ( le `  ( Fs  A ) ) x ) )
2220, 21orbi12d 691 . . . . 5  |-  ( A  e.  V  ->  (
( x ( le
`  F ) y  \/  y ( le
`  F ) x )  <->  ( x ( le `  ( Fs  A ) ) y  \/  y ( le `  ( Fs  A ) ) x ) ) )
23222ralbidv 2739 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  ( A. x  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) A. y  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) ( x ( le `  F ) y  \/  y ( le `  F ) x )  <->  A. x  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) A. y  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) ( x ( le `  ( Fs  A ) ) y  \/  y ( le
`  ( Fs  A ) ) x ) ) )
2423adantl 453 . . 3  |-  ( ( F  e. Toset  /\  A  e.  V )  ->  ( A. x  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) A. y  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) ( x ( le `  F ) y  \/  y ( le `  F ) x )  <->  A. x  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) A. y  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) ( x ( le `  ( Fs  A ) ) y  \/  y ( le
`  ( Fs  A ) ) x ) ) )
2518, 24mpbid 202 . 2  |-  ( ( F  e. Toset  /\  A  e.  V )  ->  A. x  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) A. y  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) ( x ( le `  ( Fs  A ) ) y  \/  y ( le
`  ( Fs  A ) ) x ) )
26 eqid 2435 . . 3  |-  ( Base `  ( Fs  A ) )  =  ( Base `  ( Fs  A ) )
27 eqid 2435 . . 3  |-  ( le
`  ( Fs  A ) )  =  ( le
`  ( Fs  A ) )
2826, 27istos 14456 . 2  |-  ( ( Fs  A )  e. Toset  <->  ( ( Fs  A )  e.  Poset  /\ 
A. x  e.  (
Base `  ( Fs  A
) ) A. y  e.  ( Base `  ( Fs  A ) ) ( x ( le `  ( Fs  A ) ) y  \/  y ( le
`  ( Fs  A ) ) x ) ) )
293, 25, 28sylanbrc 646 1  |-  ( ( F  e. Toset  /\  A  e.  V )  ->  ( Fs  A )  e. Toset )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    e. wcel 1725   A.wral 2697    i^i cin 3311    C_ wss 3312   class class class wbr 4204   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   Basecbs 13461   ↾s cress 13462   lecple 13528   Posetcpo 14389  Tosetctos 14454
This theorem is referenced by:  subofld  24237
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-10 10058  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-ple 13541  df-poset 14395  df-toset 14455
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