MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rest0 Unicode version

Theorem rest0 17156
Description: The subspace topology induced by the topology  J on the empty set. (Contributed by FL, 22-Dec-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 1-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
rest0  |-  ( J  e.  Top  ->  ( Jt  (/) )  =  { (/) } )

Proof of Theorem rest0
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0ex 4281 . . . 4  |-  (/)  e.  _V
2 restval 13582 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  (/) 
e.  _V )  ->  ( Jt  (/) )  =  ran  (
x  e.  J  |->  ( x  i^i  (/) ) ) )
31, 2mpan2 653 . . 3  |-  ( J  e.  Top  ->  ( Jt  (/) )  =  ran  (
x  e.  J  |->  ( x  i^i  (/) ) ) )
4 in0 3597 . . . . . . 7  |-  ( x  i^i  (/) )  =  (/)
51elsnc2 3787 . . . . . . 7  |-  ( ( x  i^i  (/) )  e. 
{ (/) }  <->  ( x  i^i  (/) )  =  (/) )
64, 5mpbir 201 . . . . . 6  |-  ( x  i^i  (/) )  e.  { (/)
}
76a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  J )  ->  ( x  i^i  (/) )  e. 
{ (/) } )
8 eqid 2388 . . . . 5  |-  ( x  e.  J  |->  ( x  i^i  (/) ) )  =  ( x  e.  J  |->  ( x  i^i  (/) ) )
97, 8fmptd 5833 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  ->  (
x  e.  J  |->  ( x  i^i  (/) ) ) : J --> { (/) } )
10 frn 5538 . . . 4  |-  ( ( x  e.  J  |->  ( x  i^i  (/) ) ) : J --> { (/) }  ->  ran  ( x  e.  J  |->  ( x  i^i  (/) ) )  C_  {
(/) } )
119, 10syl 16 . . 3  |-  ( J  e.  Top  ->  ran  ( x  e.  J  |->  ( x  i^i  (/) ) ) 
C_  { (/) } )
123, 11eqsstrd 3326 . 2  |-  ( J  e.  Top  ->  ( Jt  (/) )  C_  { (/) } )
13 resttop 17147 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  (/) 
e.  _V )  ->  ( Jt  (/) )  e.  Top )
141, 13mpan2 653 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  ->  ( Jt  (/) )  e.  Top )
15 0opn 16901 . . . 4  |-  ( ( Jt  (/) )  e.  Top  -> 
(/)  e.  ( Jt  (/) ) )
1614, 15syl 16 . . 3  |-  ( J  e.  Top  ->  (/)  e.  ( Jt  (/) ) )
1716snssd 3887 . 2  |-  ( J  e.  Top  ->  { (/) } 
C_  ( Jt  (/) ) )
1812, 17eqssd 3309 1  |-  ( J  e.  Top  ->  ( Jt  (/) )  =  { (/) } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   _Vcvv 2900    i^i cin 3263    C_ wss 3264   (/)c0 3572   {csn 3758    e. cmpt 4208   ran crn 4820   -->wf 5391  (class class class)co 6021   ↾t crest 13576   Topctop 16882
This theorem is referenced by:  fiuncmp  17390  xkouni  17553  icccmp  18728
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-rep 4262  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-int 3994  df-iun 4038  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-1st 6289  df-2nd 6290  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-oadd 6665  df-er 6842  df-en 7047  df-fin 7050  df-fi 7352  df-rest 13578  df-topgen 13595  df-top 16887  df-bases 16889
  Copyright terms: Public domain W3C validator