MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rest0 Structured version   Unicode version

Theorem rest0 17225
Description: The subspace topology induced by the topology  J on the empty set. (Contributed by FL, 22-Dec-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 1-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
rest0  |-  ( J  e.  Top  ->  ( Jt  (/) )  =  { (/) } )

Proof of Theorem rest0
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0ex 4331 . . . 4  |-  (/)  e.  _V
2 restval 13646 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  (/) 
e.  _V )  ->  ( Jt  (/) )  =  ran  (
x  e.  J  |->  ( x  i^i  (/) ) ) )
31, 2mpan2 653 . . 3  |-  ( J  e.  Top  ->  ( Jt  (/) )  =  ran  (
x  e.  J  |->  ( x  i^i  (/) ) ) )
4 in0 3645 . . . . . . 7  |-  ( x  i^i  (/) )  =  (/)
51elsnc2 3835 . . . . . . 7  |-  ( ( x  i^i  (/) )  e. 
{ (/) }  <->  ( x  i^i  (/) )  =  (/) )
64, 5mpbir 201 . . . . . 6  |-  ( x  i^i  (/) )  e.  { (/)
}
76a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  J )  ->  ( x  i^i  (/) )  e. 
{ (/) } )
8 eqid 2435 . . . . 5  |-  ( x  e.  J  |->  ( x  i^i  (/) ) )  =  ( x  e.  J  |->  ( x  i^i  (/) ) )
97, 8fmptd 5885 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  ->  (
x  e.  J  |->  ( x  i^i  (/) ) ) : J --> { (/) } )
10 frn 5589 . . . 4  |-  ( ( x  e.  J  |->  ( x  i^i  (/) ) ) : J --> { (/) }  ->  ran  ( x  e.  J  |->  ( x  i^i  (/) ) )  C_  {
(/) } )
119, 10syl 16 . . 3  |-  ( J  e.  Top  ->  ran  ( x  e.  J  |->  ( x  i^i  (/) ) ) 
C_  { (/) } )
123, 11eqsstrd 3374 . 2  |-  ( J  e.  Top  ->  ( Jt  (/) )  C_  { (/) } )
13 resttop 17216 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  (/) 
e.  _V )  ->  ( Jt  (/) )  e.  Top )
141, 13mpan2 653 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  ->  ( Jt  (/) )  e.  Top )
15 0opn 16969 . . . 4  |-  ( ( Jt  (/) )  e.  Top  -> 
(/)  e.  ( Jt  (/) ) )
1614, 15syl 16 . . 3  |-  ( J  e.  Top  ->  (/)  e.  ( Jt  (/) ) )
1716snssd 3935 . 2  |-  ( J  e.  Top  ->  { (/) } 
C_  ( Jt  (/) ) )
1812, 17eqssd 3357 1  |-  ( J  e.  Top  ->  ( Jt  (/) )  =  { (/) } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   _Vcvv 2948    i^i cin 3311    C_ wss 3312   (/)c0 3620   {csn 3806    e. cmpt 4258   ran crn 4871   -->wf 5442  (class class class)co 6073   ↾t crest 13640   Topctop 16950
This theorem is referenced by:  fiuncmp  17459  xkouni  17623  icccmp  18848
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-oadd 6720  df-er 6897  df-en 7102  df-fin 7105  df-fi 7408  df-rest 13642  df-topgen 13659  df-top 16955  df-bases 16957
  Copyright terms: Public domain W3C validator