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Theorem restbas 16905
Description: A subspace topology basis is a basis.  Y is normally a subset of the base set of  J. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
restbas  |-  ( B  e.  TopBases  ->  ( Bt  A )  e.  TopBases )

Proof of Theorem restbas
Dummy variables  a 
b  c  u  v  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elrest 13348 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  A  e.  _V )  ->  (
a  e.  ( Bt  A )  <->  E. u  e.  B  a  =  ( u  i^i  A ) ) )
2 elrest 13348 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  A  e.  _V )  ->  (
b  e.  ( Bt  A )  <->  E. v  e.  B  b  =  ( v  i^i  A ) ) )
31, 2anbi12d 691 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  A  e.  _V )  ->  (
( a  e.  ( Bt  A )  /\  b  e.  ( Bt  A ) )  <->  ( E. u  e.  B  a  =  ( u  i^i 
A )  /\  E. v  e.  B  b  =  ( v  i^i 
A ) ) ) )
4 reeanv 2720 . . . . . 6  |-  ( E. u  e.  B  E. v  e.  B  (
a  =  ( u  i^i  A )  /\  b  =  ( v  i^i  A ) )  <->  ( E. u  e.  B  a  =  ( u  i^i 
A )  /\  E. v  e.  B  b  =  ( v  i^i 
A ) ) )
53, 4syl6bbr 254 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  A  e.  _V )  ->  (
( a  e.  ( Bt  A )  /\  b  e.  ( Bt  A ) )  <->  E. u  e.  B  E. v  e.  B  ( a  =  ( u  i^i 
A )  /\  b  =  ( v  i^i 
A ) ) ) )
6 simplll 734 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( B  e.  TopBases 
/\  A  e.  _V )  /\  ( u  e.  B  /\  v  e.  B ) )  /\  c  e.  ( (
u  i^i  v )  i^i  A ) )  ->  B  e.  TopBases )
7 simplrl 736 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( B  e.  TopBases 
/\  A  e.  _V )  /\  ( u  e.  B  /\  v  e.  B ) )  /\  c  e.  ( (
u  i^i  v )  i^i  A ) )  ->  u  e.  B )
8 simplrr 737 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( B  e.  TopBases 
/\  A  e.  _V )  /\  ( u  e.  B  /\  v  e.  B ) )  /\  c  e.  ( (
u  i^i  v )  i^i  A ) )  -> 
v  e.  B )
9 inss1 3402 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( u  i^i  v )  i^i  A )  C_  ( u  i^i  v
)
10 simpr 447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( B  e.  TopBases 
/\  A  e.  _V )  /\  ( u  e.  B  /\  v  e.  B ) )  /\  c  e.  ( (
u  i^i  v )  i^i  A ) )  -> 
c  e.  ( ( u  i^i  v )  i^i  A ) )
119, 10sseldi 3191 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( B  e.  TopBases 
/\  A  e.  _V )  /\  ( u  e.  B  /\  v  e.  B ) )  /\  c  e.  ( (
u  i^i  v )  i^i  A ) )  -> 
c  e.  ( u  i^i  v ) )
12 basis2 16705 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  e.  TopBases  /\  u  e.  B )  /\  ( v  e.  B  /\  c  e.  (
u  i^i  v )
) )  ->  E. z  e.  B  ( c  e.  z  /\  z  C_  ( u  i^i  v
) ) )
136, 7, 8, 11, 12syl22anc 1183 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( B  e.  TopBases 
/\  A  e.  _V )  /\  ( u  e.  B  /\  v  e.  B ) )  /\  c  e.  ( (
u  i^i  v )  i^i  A ) )  ->  E. z  e.  B  ( c  e.  z  /\  z  C_  (
u  i^i  v )
) )
14 simplll 734 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( B  e.  TopBases  /\  A  e.  _V )  /\  (
u  e.  B  /\  v  e.  B )
)  /\  c  e.  ( ( u  i^i  v )  i^i  A
) )  /\  (
z  e.  B  /\  ( c  e.  z  /\  z  C_  (
u  i^i  v )
) ) )  -> 
( B  e.  TopBases  /\  A  e.  _V )
)
1514simpld 445 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( B  e.  TopBases  /\  A  e.  _V )  /\  (
u  e.  B  /\  v  e.  B )
)  /\  c  e.  ( ( u  i^i  v )  i^i  A
) )  /\  (
z  e.  B  /\  ( c  e.  z  /\  z  C_  (
u  i^i  v )
) ) )  ->  B  e.  TopBases )
1614simprd 449 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( B  e.  TopBases  /\  A  e.  _V )  /\  (
u  e.  B  /\  v  e.  B )
)  /\  c  e.  ( ( u  i^i  v )  i^i  A
) )  /\  (
z  e.  B  /\  ( c  e.  z  /\  z  C_  (
u  i^i  v )
) ) )  ->  A  e.  _V )
17 simprl 732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( B  e.  TopBases  /\  A  e.  _V )  /\  (
u  e.  B  /\  v  e.  B )
)  /\  c  e.  ( ( u  i^i  v )  i^i  A
) )  /\  (
z  e.  B  /\  ( c  e.  z  /\  z  C_  (
u  i^i  v )
) ) )  -> 
z  e.  B )
18 elrestr 13349 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  A  e.  _V  /\  z  e.  B )  ->  (
z  i^i  A )  e.  ( Bt  A ) )
1915, 16, 17, 18syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( B  e.  TopBases  /\  A  e.  _V )  /\  (
u  e.  B  /\  v  e.  B )
)  /\  c  e.  ( ( u  i^i  v )  i^i  A
) )  /\  (
z  e.  B  /\  ( c  e.  z  /\  z  C_  (
u  i^i  v )
) ) )  -> 
( z  i^i  A
)  e.  ( Bt  A ) )
20 simprrl 740 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( B  e.  TopBases  /\  A  e.  _V )  /\  (
u  e.  B  /\  v  e.  B )
)  /\  c  e.  ( ( u  i^i  v )  i^i  A
) )  /\  (
z  e.  B  /\  ( c  e.  z  /\  z  C_  (
u  i^i  v )
) ) )  -> 
c  e.  z )
21 inss2 3403 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( u  i^i  v )  i^i  A )  C_  A
22 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( B  e.  TopBases  /\  A  e.  _V )  /\  (
u  e.  B  /\  v  e.  B )
)  /\  c  e.  ( ( u  i^i  v )  i^i  A
) )  /\  (
z  e.  B  /\  ( c  e.  z  /\  z  C_  (
u  i^i  v )
) ) )  -> 
c  e.  ( ( u  i^i  v )  i^i  A ) )
2321, 22sseldi 3191 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( B  e.  TopBases  /\  A  e.  _V )  /\  (
u  e.  B  /\  v  e.  B )
)  /\  c  e.  ( ( u  i^i  v )  i^i  A
) )  /\  (
z  e.  B  /\  ( c  e.  z  /\  z  C_  (
u  i^i  v )
) ) )  -> 
c  e.  A )
24 elin 3371 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( c  e.  ( z  i^i 
A )  <->  ( c  e.  z  /\  c  e.  A ) )
2520, 23, 24sylanbrc 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( B  e.  TopBases  /\  A  e.  _V )  /\  (
u  e.  B  /\  v  e.  B )
)  /\  c  e.  ( ( u  i^i  v )  i^i  A
) )  /\  (
z  e.  B  /\  ( c  e.  z  /\  z  C_  (
u  i^i  v )
) ) )  -> 
c  e.  ( z  i^i  A ) )
26 simprrr 741 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( B  e.  TopBases  /\  A  e.  _V )  /\  (
u  e.  B  /\  v  e.  B )
)  /\  c  e.  ( ( u  i^i  v )  i^i  A
) )  /\  (
z  e.  B  /\  ( c  e.  z  /\  z  C_  (
u  i^i  v )
) ) )  -> 
z  C_  ( u  i^i  v ) )
27 ssrin 3407 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z 
C_  ( u  i^i  v )  ->  (
z  i^i  A )  C_  ( ( u  i^i  v )  i^i  A
) )
2826, 27syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( B  e.  TopBases  /\  A  e.  _V )  /\  (
u  e.  B  /\  v  e.  B )
)  /\  c  e.  ( ( u  i^i  v )  i^i  A
) )  /\  (
z  e.  B  /\  ( c  e.  z  /\  z  C_  (
u  i^i  v )
) ) )  -> 
( z  i^i  A
)  C_  ( (
u  i^i  v )  i^i  A ) )
29 eleq2 2357 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  ( z  i^i 
A )  ->  (
c  e.  w  <->  c  e.  ( z  i^i  A
) ) )
30 sseq1 3212 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  ( z  i^i 
A )  ->  (
w  C_  ( (
u  i^i  v )  i^i  A )  <->  ( z  i^i  A )  C_  (
( u  i^i  v
)  i^i  A )
) )
3129, 30anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  ( z  i^i 
A )  ->  (
( c  e.  w  /\  w  C_  ( ( u  i^i  v )  i^i  A ) )  <-> 
( c  e.  ( z  i^i  A )  /\  ( z  i^i 
A )  C_  (
( u  i^i  v
)  i^i  A )
) ) )
3231rspcev 2897 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( z  i^i  A
)  e.  ( Bt  A )  /\  ( c  e.  ( z  i^i 
A )  /\  (
z  i^i  A )  C_  ( ( u  i^i  v )  i^i  A
) ) )  ->  E. w  e.  ( Bt  A ) ( c  e.  w  /\  w  C_  ( ( u  i^i  v )  i^i  A
) ) )
3319, 25, 28, 32syl12anc 1180 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( B  e.  TopBases  /\  A  e.  _V )  /\  (
u  e.  B  /\  v  e.  B )
)  /\  c  e.  ( ( u  i^i  v )  i^i  A
) )  /\  (
z  e.  B  /\  ( c  e.  z  /\  z  C_  (
u  i^i  v )
) ) )  ->  E. w  e.  ( Bt  A ) ( c  e.  w  /\  w  C_  ( ( u  i^i  v )  i^i  A
) ) )
3433expr 598 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( B  e.  TopBases  /\  A  e.  _V )  /\  (
u  e.  B  /\  v  e.  B )
)  /\  c  e.  ( ( u  i^i  v )  i^i  A
) )  /\  z  e.  B )  ->  (
( c  e.  z  /\  z  C_  (
u  i^i  v )
)  ->  E. w  e.  ( Bt  A ) ( c  e.  w  /\  w  C_  ( ( u  i^i  v )  i^i  A
) ) ) )
3534rexlimdva 2680 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( B  e.  TopBases 
/\  A  e.  _V )  /\  ( u  e.  B  /\  v  e.  B ) )  /\  c  e.  ( (
u  i^i  v )  i^i  A ) )  -> 
( E. z  e.  B  ( c  e.  z  /\  z  C_  ( u  i^i  v
) )  ->  E. w  e.  ( Bt  A ) ( c  e.  w  /\  w  C_  ( ( u  i^i  v )  i^i  A
) ) ) )
3613, 35mpd 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( B  e.  TopBases 
/\  A  e.  _V )  /\  ( u  e.  B  /\  v  e.  B ) )  /\  c  e.  ( (
u  i^i  v )  i^i  A ) )  ->  E. w  e.  ( Bt  A ) ( c  e.  w  /\  w  C_  ( ( u  i^i  v )  i^i  A
) ) )
3736ralrimiva 2639 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  e.  TopBases  /\  A  e.  _V )  /\  ( u  e.  B  /\  v  e.  B
) )  ->  A. c  e.  ( ( u  i^i  v )  i^i  A
) E. w  e.  ( Bt  A ) ( c  e.  w  /\  w  C_  ( ( u  i^i  v )  i^i  A
) ) )
38 ineq12 3378 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  =  ( u  i^i  A )  /\  b  =  ( v  i^i  A ) )  -> 
( a  i^i  b
)  =  ( ( u  i^i  A )  i^i  ( v  i^i 
A ) ) )
39 inindir 3400 . . . . . . . . 9  |-  ( ( u  i^i  v )  i^i  A )  =  ( ( u  i^i 
A )  i^i  (
v  i^i  A )
)
4038, 39syl6eqr 2346 . . . . . . . 8  |-  ( ( a  =  ( u  i^i  A )  /\  b  =  ( v  i^i  A ) )  -> 
( a  i^i  b
)  =  ( ( u  i^i  v )  i^i  A ) )
4140sseq2d 3219 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( a  =  ( u  i^i  A )  /\  b  =  ( v  i^i  A ) )  -> 
( w  C_  (
a  i^i  b )  <->  w 
C_  ( ( u  i^i  v )  i^i 
A ) ) )
4241anbi2d 684 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  =  ( u  i^i  A )  /\  b  =  ( v  i^i  A ) )  -> 
( ( c  e.  w  /\  w  C_  ( a  i^i  b
) )  <->  ( c  e.  w  /\  w  C_  ( ( u  i^i  v )  i^i  A
) ) ) )
4342rexbidv 2577 . . . . . . . 8  |-  ( ( a  =  ( u  i^i  A )  /\  b  =  ( v  i^i  A ) )  -> 
( E. w  e.  ( Bt  A ) ( c  e.  w  /\  w  C_  ( a  i^i  b
) )  <->  E. w  e.  ( Bt  A ) ( c  e.  w  /\  w  C_  ( ( u  i^i  v )  i^i  A
) ) ) )
4440, 43raleqbidv 2761 . . . . . . 7  |-  ( ( a  =  ( u  i^i  A )  /\  b  =  ( v  i^i  A ) )  -> 
( A. c  e.  ( a  i^i  b
) E. w  e.  ( Bt  A ) ( c  e.  w  /\  w  C_  ( a  i^i  b
) )  <->  A. c  e.  ( ( u  i^i  v )  i^i  A
) E. w  e.  ( Bt  A ) ( c  e.  w  /\  w  C_  ( ( u  i^i  v )  i^i  A
) ) ) )
4537, 44syl5ibrcom 213 . . . . . 6  |-  ( ( ( B  e.  TopBases  /\  A  e.  _V )  /\  ( u  e.  B  /\  v  e.  B
) )  ->  (
( a  =  ( u  i^i  A )  /\  b  =  ( v  i^i  A ) )  ->  A. c  e.  ( a  i^i  b
) E. w  e.  ( Bt  A ) ( c  e.  w  /\  w  C_  ( a  i^i  b
) ) ) )
4645rexlimdvva 2687 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  A  e.  _V )  ->  ( E. u  e.  B  E. v  e.  B  ( a  =  ( u  i^i  A )  /\  b  =  ( v  i^i  A ) )  ->  A. c  e.  ( a  i^i  b
) E. w  e.  ( Bt  A ) ( c  e.  w  /\  w  C_  ( a  i^i  b
) ) ) )
475, 46sylbid 206 . . . 4  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  A  e.  _V )  ->  (
( a  e.  ( Bt  A )  /\  b  e.  ( Bt  A ) )  ->  A. c  e.  (
a  i^i  b ) E. w  e.  ( Bt  A ) ( c  e.  w  /\  w  C_  ( a  i^i  b
) ) ) )
4847ralrimivv 2647 . . 3  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  A  e.  _V )  ->  A. a  e.  ( Bt  A ) A. b  e.  ( Bt  A ) A. c  e.  ( a  i^i  b
) E. w  e.  ( Bt  A ) ( c  e.  w  /\  w  C_  ( a  i^i  b
) ) )
49 ovex 5899 . . . 4  |-  ( Bt  A )  e.  _V
50 isbasis2g 16702 . . . 4  |-  ( ( Bt  A )  e.  _V  ->  ( ( Bt  A )  e.  TopBases 
<-> 
A. a  e.  ( Bt  A ) A. b  e.  ( Bt  A ) A. c  e.  ( a  i^i  b
) E. w  e.  ( Bt  A ) ( c  e.  w  /\  w  C_  ( a  i^i  b
) ) ) )
5149, 50ax-mp 8 . . 3  |-  ( ( Bt  A )  e.  TopBases  <->  A. a  e.  ( Bt  A ) A. b  e.  ( Bt  A ) A. c  e.  ( a  i^i  b
) E. w  e.  ( Bt  A ) ( c  e.  w  /\  w  C_  ( a  i^i  b
) ) )
5248, 51sylibr 203 . 2  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  A  e.  _V )  ->  ( Bt  A )  e.  TopBases )
53 relxp 4810 . . . . . 6  |-  Rel  ( _V  X.  _V )
54 restfn 13345 . . . . . . . 8  |-t  Fn  ( _V  X.  _V )
55 fndm 5359 . . . . . . . 8  |-  (t  Fn  ( _V  X.  _V )  ->  domt  =  ( _V  X.  _V ) )
5654, 55ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  domt  =  ( _V  X.  _V )
5756releqi 4788 . . . . . 6  |-  ( Rel 
domt  <->  Rel  ( _V  X.  _V ) )
5853, 57mpbir 200 . . . . 5  |-  Rel  domt
5958ovprc2 5903 . . . 4  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( Bt  A )  =  (/) )
6059adantl 452 . . 3  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  -.  A  e.  _V )  ->  ( Bt  A )  =  (/) )
61 fi0 7189 . . . 4  |-  ( fi
`  (/) )  =  (/)
62 fibas 16731 . . . 4  |-  ( fi
`  (/) )  e.  TopBases
6361, 62eqeltrri 2367 . . 3  |-  (/)  e.  TopBases
6460, 63syl6eqel 2384 . 2  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  -.  A  e.  _V )  ->  ( Bt  A )  e.  TopBases )
6552, 64pm2.61dan 766 1  |-  ( B  e.  TopBases  ->  ( Bt  A )  e.  TopBases )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557   _Vcvv 2801    i^i cin 3164    C_ wss 3165   (/)c0 3468    X. cxp 4703   dom cdm 4705   Rel wrel 4710    Fn wfn 5266   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   ficfi 7180   ↾t crest 13341   TopBasesctb 16651
This theorem is referenced by:  resttop  16907  2ndcrest  17196
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-oadd 6499  df-er 6676  df-en 6880  df-fin 6883  df-fi 7181  df-rest 13343  df-bases 16654
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