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Theorem restcld 16903
Description: A closed set of a subspace topology is a closed set of the original topology intersected with the subset. (Contributed by FL, 11-Jul-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 15-Dec-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
restcld.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
restcld  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( A  e.  (
Clsd `  ( Jt  S
) )  <->  E. x  e.  ( Clsd `  J
) A  =  ( x  i^i  S ) ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, J    x, S    x, X

Proof of Theorem restcld
Dummy variable  o is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 19 . . . . 5  |-  ( S 
C_  X  ->  S  C_  X )
2 restcld.1 . . . . . 6  |-  X  = 
U. J
32topopn 16652 . . . . 5  |-  ( J  e.  Top  ->  X  e.  J )
4 ssexg 4160 . . . . 5  |-  ( ( S  C_  X  /\  X  e.  J )  ->  S  e.  _V )
51, 3, 4syl2anr 464 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  ->  S  e.  _V )
6 resttop 16891 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  e.  _V )  ->  ( Jt  S )  e.  Top )
75, 6syldan 456 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( Jt  S )  e.  Top )
8 eqid 2283 . . . 4  |-  U. ( Jt  S )  =  U. ( Jt  S )
98iscld 16764 . . 3  |-  ( ( Jt  S )  e.  Top  ->  ( A  e.  (
Clsd `  ( Jt  S
) )  <->  ( A  C_ 
U. ( Jt  S )  /\  ( U. ( Jt  S )  \  A
)  e.  ( Jt  S ) ) ) )
107, 9syl 15 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( A  e.  (
Clsd `  ( Jt  S
) )  <->  ( A  C_ 
U. ( Jt  S )  /\  ( U. ( Jt  S )  \  A
)  e.  ( Jt  S ) ) ) )
112restuni 16893 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  ->  S  =  U. ( Jt  S ) )
1211sseq2d 3206 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( A  C_  S  <->  A 
C_  U. ( Jt  S ) ) )
1311difeq1d 3293 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( S  \  A
)  =  ( U. ( Jt  S )  \  A
) )
1413eleq1d 2349 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( ( S  \  A )  e.  ( Jt  S )  <->  ( U. ( Jt  S )  \  A
)  e.  ( Jt  S ) ) )
1512, 14anbi12d 691 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( ( A  C_  S  /\  ( S  \  A )  e.  ( Jt  S ) )  <->  ( A  C_ 
U. ( Jt  S )  /\  ( U. ( Jt  S )  \  A
)  e.  ( Jt  S ) ) ) )
16 elrest 13332 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  e.  _V )  ->  ( ( S  \  A )  e.  ( Jt  S )  <->  E. o  e.  J  ( S  \  A )  =  ( o  i^i  S ) ) )
175, 16syldan 456 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( ( S  \  A )  e.  ( Jt  S )  <->  E. o  e.  J  ( S  \  A )  =  ( o  i^i  S ) ) )
1817anbi2d 684 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( ( A  C_  S  /\  ( S  \  A )  e.  ( Jt  S ) )  <->  ( A  C_  S  /\  E. o  e.  J  ( S  \  A )  =  ( o  i^i  S ) ) ) )
192opncld 16770 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  Top  /\  o  e.  J )  ->  ( X  \  o
)  e.  ( Clsd `  J ) )
2019adantlr 695 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  o  e.  J
)  ->  ( X  \  o )  e.  (
Clsd `  J )
)
2120adantlr 695 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  A  C_  S
)  /\  o  e.  J )  ->  ( X  \  o )  e.  ( Clsd `  J
) )
2221adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  A  C_  S )  /\  o  e.  J )  /\  ( S  \  A )  =  ( o  i^i  S
) )  ->  ( X  \  o )  e.  ( Clsd `  J
) )
23 incom 3361 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( X  i^i  S )  =  ( S  i^i  X
)
24 df-ss 3166 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( S 
C_  X  <->  ( S  i^i  X )  =  S )
2524biimpi 186 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( S 
C_  X  ->  ( S  i^i  X )  =  S )
2623, 25syl5eq 2327 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( S 
C_  X  ->  ( X  i^i  S )  =  S )
2726ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  A  C_  S )  ->  ( X  i^i  S )  =  S )
2827ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  A  C_  S )  /\  o  e.  J )  /\  ( S  \  A )  =  ( o  i^i  S
) )  ->  ( X  i^i  S )  =  S )
2928difeq1d 3293 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  A  C_  S )  /\  o  e.  J )  /\  ( S  \  A )  =  ( o  i^i  S
) )  ->  (
( X  i^i  S
)  \  o )  =  ( S  \ 
o ) )
30 difeq2 3288 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  \  A )  =  ( o  i^i 
S )  ->  ( S  \  ( S  \  A ) )  =  ( S  \  (
o  i^i  S )
) )
31 difindi 3423 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( S 
\  ( o  i^i 
S ) )  =  ( ( S  \ 
o )  u.  ( S  \  S ) )
32 difid 3522 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( S 
\  S )  =  (/)
3332uneq2i 3326 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S  \  o )  u.  ( S  \  S ) )  =  ( ( S  \ 
o )  u.  (/) )
34 un0 3479 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S  \  o )  u.  (/) )  =  ( S  \  o )
3531, 33, 343eqtri 2307 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( S 
\  ( o  i^i 
S ) )  =  ( S  \  o
)
3630, 35syl6eq 2331 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  \  A )  =  ( o  i^i 
S )  ->  ( S  \  ( S  \  A ) )  =  ( S  \  o
) )
3736adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  A  C_  S )  /\  o  e.  J )  /\  ( S  \  A )  =  ( o  i^i  S
) )  ->  ( S  \  ( S  \  A ) )  =  ( S  \  o
) )
38 dfss4 3403 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A 
C_  S  <->  ( S  \  ( S  \  A
) )  =  A )
3938biimpi 186 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A 
C_  S  ->  ( S  \  ( S  \  A ) )  =  A )
4039adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  A  C_  S )  ->  ( S  \ 
( S  \  A
) )  =  A )
4140ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  A  C_  S )  /\  o  e.  J )  /\  ( S  \  A )  =  ( o  i^i  S
) )  ->  ( S  \  ( S  \  A ) )  =  A )
4229, 37, 413eqtr2rd 2322 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  A  C_  S )  /\  o  e.  J )  /\  ( S  \  A )  =  ( o  i^i  S
) )  ->  A  =  ( ( X  i^i  S )  \ 
o ) )
4323difeq1i 3290 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  i^i  S ) 
\  o )  =  ( ( S  i^i  X )  \  o )
44 indif2 3412 . . . . . . . . . 10  |-  ( S  i^i  ( X  \ 
o ) )  =  ( ( S  i^i  X )  \  o )
45 incom 3361 . . . . . . . . . 10  |-  ( S  i^i  ( X  \ 
o ) )  =  ( ( X  \ 
o )  i^i  S
)
4643, 44, 453eqtr2i 2309 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  i^i  S ) 
\  o )  =  ( ( X  \ 
o )  i^i  S
)
4742, 46syl6eq 2331 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  A  C_  S )  /\  o  e.  J )  /\  ( S  \  A )  =  ( o  i^i  S
) )  ->  A  =  ( ( X 
\  o )  i^i 
S ) )
48 ineq1 3363 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( X  \ 
o )  ->  (
x  i^i  S )  =  ( ( X 
\  o )  i^i 
S ) )
4948eqeq2d 2294 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( X  \ 
o )  ->  ( A  =  ( x  i^i  S )  <->  A  =  ( ( X  \ 
o )  i^i  S
) ) )
5049rspcev 2884 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  \  o
)  e.  ( Clsd `  J )  /\  A  =  ( ( X 
\  o )  i^i 
S ) )  ->  E. x  e.  ( Clsd `  J ) A  =  ( x  i^i 
S ) )
5122, 47, 50syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  A  C_  S )  /\  o  e.  J )  /\  ( S  \  A )  =  ( o  i^i  S
) )  ->  E. x  e.  ( Clsd `  J
) A  =  ( x  i^i  S ) )
5251ex 423 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  A  C_  S
)  /\  o  e.  J )  ->  (
( S  \  A
)  =  ( o  i^i  S )  ->  E. x  e.  ( Clsd `  J ) A  =  ( x  i^i 
S ) ) )
5352rexlimdva 2667 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  A  C_  S )  ->  ( E. o  e.  J  ( S  \  A )  =  ( o  i^i  S )  ->  E. x  e.  (
Clsd `  J ) A  =  ( x  i^i  S ) ) )
5453expimpd 586 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( ( A  C_  S  /\  E. o  e.  J  ( S  \  A )  =  ( o  i^i  S ) )  ->  E. x  e.  ( Clsd `  J
) A  =  ( x  i^i  S ) ) )
5518, 54sylbid 206 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( ( A  C_  S  /\  ( S  \  A )  e.  ( Jt  S ) )  ->  E. x  e.  ( Clsd `  J ) A  =  ( x  i^i 
S ) ) )
56 difindi 3423 . . . . . . . . . 10  |-  ( S 
\  ( x  i^i 
S ) )  =  ( ( S  \  x )  u.  ( S  \  S ) )
5732uneq2i 3326 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  \  x )  u.  ( S  \  S ) )  =  ( ( S  \  x )  u.  (/) )
58 un0 3479 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  \  x )  u.  (/) )  =  ( S  \  x )
5956, 57, 583eqtri 2307 . . . . . . . . 9  |-  ( S 
\  ( x  i^i 
S ) )  =  ( S  \  x
)
60 difin2 3430 . . . . . . . . . 10  |-  ( S 
C_  X  ->  ( S  \  x )  =  ( ( X  \  x )  i^i  S
) )
6160adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( S  \  x
)  =  ( ( X  \  x )  i^i  S ) )
6259, 61syl5eq 2327 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( S  \  (
x  i^i  S )
)  =  ( ( X  \  x )  i^i  S ) )
6362adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  x  e.  ( Clsd `  J ) )  ->  ( S  \ 
( x  i^i  S
) )  =  ( ( X  \  x
)  i^i  S )
)
64 simpll 730 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  x  e.  ( Clsd `  J ) )  ->  J  e.  Top )
655adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  x  e.  ( Clsd `  J ) )  ->  S  e.  _V )
662cldopn 16768 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( Clsd `  J
)  ->  ( X  \  x )  e.  J
)
6766adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  x  e.  ( Clsd `  J ) )  ->  ( X  \  x )  e.  J
)
68 elrestr 13333 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  e.  _V  /\  ( X  \  x )  e.  J )  ->  (
( X  \  x
)  i^i  S )  e.  ( Jt  S ) )
6964, 65, 67, 68syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  x  e.  ( Clsd `  J ) )  ->  ( ( X 
\  x )  i^i 
S )  e.  ( Jt  S ) )
7063, 69eqeltrd 2357 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  x  e.  ( Clsd `  J ) )  ->  ( S  \ 
( x  i^i  S
) )  e.  ( Jt  S ) )
71 inss2 3390 . . . . . 6  |-  ( x  i^i  S )  C_  S
7270, 71jctil 523 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  x  e.  ( Clsd `  J ) )  ->  ( ( x  i^i  S )  C_  S  /\  ( S  \ 
( x  i^i  S
) )  e.  ( Jt  S ) ) )
73 sseq1 3199 . . . . . 6  |-  ( A  =  ( x  i^i 
S )  ->  ( A  C_  S  <->  ( x  i^i  S )  C_  S
) )
74 difeq2 3288 . . . . . . 7  |-  ( A  =  ( x  i^i 
S )  ->  ( S  \  A )  =  ( S  \  (
x  i^i  S )
) )
7574eleq1d 2349 . . . . . 6  |-  ( A  =  ( x  i^i 
S )  ->  (
( S  \  A
)  e.  ( Jt  S )  <->  ( S  \ 
( x  i^i  S
) )  e.  ( Jt  S ) ) )
7673, 75anbi12d 691 . . . . 5  |-  ( A  =  ( x  i^i 
S )  ->  (
( A  C_  S  /\  ( S  \  A
)  e.  ( Jt  S ) )  <->  ( (
x  i^i  S )  C_  S  /\  ( S 
\  ( x  i^i 
S ) )  e.  ( Jt  S ) ) ) )
7772, 76syl5ibrcom 213 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  x  e.  ( Clsd `  J ) )  ->  ( A  =  ( x  i^i  S
)  ->  ( A  C_  S  /\  ( S 
\  A )  e.  ( Jt  S ) ) ) )
7877rexlimdva 2667 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( E. x  e.  ( Clsd `  J
) A  =  ( x  i^i  S )  ->  ( A  C_  S  /\  ( S  \  A )  e.  ( Jt  S ) ) ) )
7955, 78impbid 183 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( ( A  C_  S  /\  ( S  \  A )  e.  ( Jt  S ) )  <->  E. x  e.  ( Clsd `  J
) A  =  ( x  i^i  S ) ) )
8010, 15, 793bitr2d 272 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( A  e.  (
Clsd `  ( Jt  S
) )  <->  E. x  e.  ( Clsd `  J
) A  =  ( x  i^i  S ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   E.wrex 2544   _Vcvv 2788    \ cdif 3149    u. cun 3150    i^i cin 3151    C_ wss 3152   (/)c0 3455   U.cuni 3827   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   ↾t crest 13325   Topctop 16631   Clsdccld 16753
This theorem is referenced by:  restcldi  16904  restcldr  16905  restcls  16911  consubclo  17150  cldllycmp  17221
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
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