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Theorem restcld 17190
Description: A closed set of a subspace topology is a closed set of the original topology intersected with the subset. (Contributed by FL, 11-Jul-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 15-Dec-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
restcld.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
restcld  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( A  e.  (
Clsd `  ( Jt  S
) )  <->  E. x  e.  ( Clsd `  J
) A  =  ( x  i^i  S ) ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, J    x, S    x, X

Proof of Theorem restcld
Dummy variable  o is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 20 . . . . 5  |-  ( S 
C_  X  ->  S  C_  X )
2 restcld.1 . . . . . 6  |-  X  = 
U. J
32topopn 16934 . . . . 5  |-  ( J  e.  Top  ->  X  e.  J )
4 ssexg 4309 . . . . 5  |-  ( ( S  C_  X  /\  X  e.  J )  ->  S  e.  _V )
51, 3, 4syl2anr 465 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  ->  S  e.  _V )
6 resttop 17178 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  e.  _V )  ->  ( Jt  S )  e.  Top )
75, 6syldan 457 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( Jt  S )  e.  Top )
8 eqid 2404 . . . 4  |-  U. ( Jt  S )  =  U. ( Jt  S )
98iscld 17046 . . 3  |-  ( ( Jt  S )  e.  Top  ->  ( A  e.  (
Clsd `  ( Jt  S
) )  <->  ( A  C_ 
U. ( Jt  S )  /\  ( U. ( Jt  S )  \  A
)  e.  ( Jt  S ) ) ) )
107, 9syl 16 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( A  e.  (
Clsd `  ( Jt  S
) )  <->  ( A  C_ 
U. ( Jt  S )  /\  ( U. ( Jt  S )  \  A
)  e.  ( Jt  S ) ) ) )
112restuni 17180 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  ->  S  =  U. ( Jt  S ) )
1211sseq2d 3336 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( A  C_  S  <->  A 
C_  U. ( Jt  S ) ) )
1311difeq1d 3424 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( S  \  A
)  =  ( U. ( Jt  S )  \  A
) )
1413eleq1d 2470 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( ( S  \  A )  e.  ( Jt  S )  <->  ( U. ( Jt  S )  \  A
)  e.  ( Jt  S ) ) )
1512, 14anbi12d 692 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( ( A  C_  S  /\  ( S  \  A )  e.  ( Jt  S ) )  <->  ( A  C_ 
U. ( Jt  S )  /\  ( U. ( Jt  S )  \  A
)  e.  ( Jt  S ) ) ) )
16 elrest 13610 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  e.  _V )  ->  ( ( S  \  A )  e.  ( Jt  S )  <->  E. o  e.  J  ( S  \  A )  =  ( o  i^i  S ) ) )
175, 16syldan 457 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( ( S  \  A )  e.  ( Jt  S )  <->  E. o  e.  J  ( S  \  A )  =  ( o  i^i  S ) ) )
1817anbi2d 685 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( ( A  C_  S  /\  ( S  \  A )  e.  ( Jt  S ) )  <->  ( A  C_  S  /\  E. o  e.  J  ( S  \  A )  =  ( o  i^i  S ) ) ) )
192opncld 17052 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  Top  /\  o  e.  J )  ->  ( X  \  o
)  e.  ( Clsd `  J ) )
2019adantlr 696 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  o  e.  J
)  ->  ( X  \  o )  e.  (
Clsd `  J )
)
2120adantlr 696 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  A  C_  S
)  /\  o  e.  J )  ->  ( X  \  o )  e.  ( Clsd `  J
) )
2221adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  A  C_  S )  /\  o  e.  J )  /\  ( S  \  A )  =  ( o  i^i  S
) )  ->  ( X  \  o )  e.  ( Clsd `  J
) )
23 incom 3493 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( X  i^i  S )  =  ( S  i^i  X
)
24 df-ss 3294 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( S 
C_  X  <->  ( S  i^i  X )  =  S )
2524biimpi 187 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( S 
C_  X  ->  ( S  i^i  X )  =  S )
2623, 25syl5eq 2448 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( S 
C_  X  ->  ( X  i^i  S )  =  S )
2726ad4antlr 714 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  A  C_  S )  /\  o  e.  J )  /\  ( S  \  A )  =  ( o  i^i  S
) )  ->  ( X  i^i  S )  =  S )
2827difeq1d 3424 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  A  C_  S )  /\  o  e.  J )  /\  ( S  \  A )  =  ( o  i^i  S
) )  ->  (
( X  i^i  S
)  \  o )  =  ( S  \ 
o ) )
29 difeq2 3419 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  \  A )  =  ( o  i^i 
S )  ->  ( S  \  ( S  \  A ) )  =  ( S  \  (
o  i^i  S )
) )
30 difindi 3555 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( S 
\  ( o  i^i 
S ) )  =  ( ( S  \ 
o )  u.  ( S  \  S ) )
31 difid 3656 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( S 
\  S )  =  (/)
3231uneq2i 3458 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S  \  o )  u.  ( S  \  S ) )  =  ( ( S  \ 
o )  u.  (/) )
33 un0 3612 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S  \  o )  u.  (/) )  =  ( S  \  o )
3430, 32, 333eqtri 2428 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( S 
\  ( o  i^i 
S ) )  =  ( S  \  o
)
3529, 34syl6eq 2452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  \  A )  =  ( o  i^i 
S )  ->  ( S  \  ( S  \  A ) )  =  ( S  \  o
) )
3635adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  A  C_  S )  /\  o  e.  J )  /\  ( S  \  A )  =  ( o  i^i  S
) )  ->  ( S  \  ( S  \  A ) )  =  ( S  \  o
) )
37 dfss4 3535 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A 
C_  S  <->  ( S  \  ( S  \  A
) )  =  A )
3837biimpi 187 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A 
C_  S  ->  ( S  \  ( S  \  A ) )  =  A )
3938ad3antlr 712 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  A  C_  S )  /\  o  e.  J )  /\  ( S  \  A )  =  ( o  i^i  S
) )  ->  ( S  \  ( S  \  A ) )  =  A )
4028, 36, 393eqtr2rd 2443 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  A  C_  S )  /\  o  e.  J )  /\  ( S  \  A )  =  ( o  i^i  S
) )  ->  A  =  ( ( X  i^i  S )  \ 
o ) )
4123difeq1i 3421 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  i^i  S ) 
\  o )  =  ( ( S  i^i  X )  \  o )
42 indif2 3544 . . . . . . . . . 10  |-  ( S  i^i  ( X  \ 
o ) )  =  ( ( S  i^i  X )  \  o )
43 incom 3493 . . . . . . . . . 10  |-  ( S  i^i  ( X  \ 
o ) )  =  ( ( X  \ 
o )  i^i  S
)
4441, 42, 433eqtr2i 2430 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  i^i  S ) 
\  o )  =  ( ( X  \ 
o )  i^i  S
)
4540, 44syl6eq 2452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  A  C_  S )  /\  o  e.  J )  /\  ( S  \  A )  =  ( o  i^i  S
) )  ->  A  =  ( ( X 
\  o )  i^i 
S ) )
46 ineq1 3495 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( X  \ 
o )  ->  (
x  i^i  S )  =  ( ( X 
\  o )  i^i 
S ) )
4746eqeq2d 2415 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( X  \ 
o )  ->  ( A  =  ( x  i^i  S )  <->  A  =  ( ( X  \ 
o )  i^i  S
) ) )
4847rspcev 3012 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  \  o
)  e.  ( Clsd `  J )  /\  A  =  ( ( X 
\  o )  i^i 
S ) )  ->  E. x  e.  ( Clsd `  J ) A  =  ( x  i^i 
S ) )
4922, 45, 48syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  A  C_  S )  /\  o  e.  J )  /\  ( S  \  A )  =  ( o  i^i  S
) )  ->  E. x  e.  ( Clsd `  J
) A  =  ( x  i^i  S ) )
5049ex 424 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  A  C_  S
)  /\  o  e.  J )  ->  (
( S  \  A
)  =  ( o  i^i  S )  ->  E. x  e.  ( Clsd `  J ) A  =  ( x  i^i 
S ) ) )
5150rexlimdva 2790 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  A  C_  S )  ->  ( E. o  e.  J  ( S  \  A )  =  ( o  i^i  S )  ->  E. x  e.  (
Clsd `  J ) A  =  ( x  i^i  S ) ) )
5251expimpd 587 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( ( A  C_  S  /\  E. o  e.  J  ( S  \  A )  =  ( o  i^i  S ) )  ->  E. x  e.  ( Clsd `  J
) A  =  ( x  i^i  S ) ) )
5318, 52sylbid 207 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( ( A  C_  S  /\  ( S  \  A )  e.  ( Jt  S ) )  ->  E. x  e.  ( Clsd `  J ) A  =  ( x  i^i 
S ) ) )
54 difindi 3555 . . . . . . . . . 10  |-  ( S 
\  ( x  i^i 
S ) )  =  ( ( S  \  x )  u.  ( S  \  S ) )
5531uneq2i 3458 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  \  x )  u.  ( S  \  S ) )  =  ( ( S  \  x )  u.  (/) )
56 un0 3612 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  \  x )  u.  (/) )  =  ( S  \  x )
5754, 55, 563eqtri 2428 . . . . . . . . 9  |-  ( S 
\  ( x  i^i 
S ) )  =  ( S  \  x
)
58 difin2 3563 . . . . . . . . . 10  |-  ( S 
C_  X  ->  ( S  \  x )  =  ( ( X  \  x )  i^i  S
) )
5958adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( S  \  x
)  =  ( ( X  \  x )  i^i  S ) )
6057, 59syl5eq 2448 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( S  \  (
x  i^i  S )
)  =  ( ( X  \  x )  i^i  S ) )
6160adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  x  e.  ( Clsd `  J ) )  ->  ( S  \ 
( x  i^i  S
) )  =  ( ( X  \  x
)  i^i  S )
)
62 simpll 731 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  x  e.  ( Clsd `  J ) )  ->  J  e.  Top )
635adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  x  e.  ( Clsd `  J ) )  ->  S  e.  _V )
642cldopn 17050 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( Clsd `  J
)  ->  ( X  \  x )  e.  J
)
6564adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  x  e.  ( Clsd `  J ) )  ->  ( X  \  x )  e.  J
)
66 elrestr 13611 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  e.  _V  /\  ( X  \  x )  e.  J )  ->  (
( X  \  x
)  i^i  S )  e.  ( Jt  S ) )
6762, 63, 65, 66syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  x  e.  ( Clsd `  J ) )  ->  ( ( X 
\  x )  i^i 
S )  e.  ( Jt  S ) )
6861, 67eqeltrd 2478 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  x  e.  ( Clsd `  J ) )  ->  ( S  \ 
( x  i^i  S
) )  e.  ( Jt  S ) )
69 inss2 3522 . . . . . 6  |-  ( x  i^i  S )  C_  S
7068, 69jctil 524 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  x  e.  ( Clsd `  J ) )  ->  ( ( x  i^i  S )  C_  S  /\  ( S  \ 
( x  i^i  S
) )  e.  ( Jt  S ) ) )
71 sseq1 3329 . . . . . 6  |-  ( A  =  ( x  i^i 
S )  ->  ( A  C_  S  <->  ( x  i^i  S )  C_  S
) )
72 difeq2 3419 . . . . . . 7  |-  ( A  =  ( x  i^i 
S )  ->  ( S  \  A )  =  ( S  \  (
x  i^i  S )
) )
7372eleq1d 2470 . . . . . 6  |-  ( A  =  ( x  i^i 
S )  ->  (
( S  \  A
)  e.  ( Jt  S )  <->  ( S  \ 
( x  i^i  S
) )  e.  ( Jt  S ) ) )
7471, 73anbi12d 692 . . . . 5  |-  ( A  =  ( x  i^i 
S )  ->  (
( A  C_  S  /\  ( S  \  A
)  e.  ( Jt  S ) )  <->  ( (
x  i^i  S )  C_  S  /\  ( S 
\  ( x  i^i 
S ) )  e.  ( Jt  S ) ) ) )
7570, 74syl5ibrcom 214 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  x  e.  ( Clsd `  J ) )  ->  ( A  =  ( x  i^i  S
)  ->  ( A  C_  S  /\  ( S 
\  A )  e.  ( Jt  S ) ) ) )
7675rexlimdva 2790 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( E. x  e.  ( Clsd `  J
) A  =  ( x  i^i  S )  ->  ( A  C_  S  /\  ( S  \  A )  e.  ( Jt  S ) ) ) )
7753, 76impbid 184 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( ( A  C_  S  /\  ( S  \  A )  e.  ( Jt  S ) )  <->  E. x  e.  ( Clsd `  J
) A  =  ( x  i^i  S ) ) )
7810, 15, 773bitr2d 273 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( A  e.  (
Clsd `  ( Jt  S
) )  <->  E. x  e.  ( Clsd `  J
) A  =  ( x  i^i  S ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   E.wrex 2667   _Vcvv 2916    \ cdif 3277    u. cun 3278    i^i cin 3279    C_ wss 3280   (/)c0 3588   U.cuni 3975   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   ↾t crest 13603   Topctop 16913   Clsdccld 17035
This theorem is referenced by:  restcldi  17191  restcldr  17192  restcls  17199  consubclo  17440  cldllycmp  17511
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
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