MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  restcldr Unicode version

Theorem restcldr 16905
Description: A set which is closed in the subspace topology induced by a closed set is closed in the original topology. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
restcldr  |-  ( ( A  e.  ( Clsd `  J )  /\  B  e.  ( Clsd `  ( Jt  A ) ) )  ->  B  e.  (
Clsd `  J )
)

Proof of Theorem restcldr
Dummy variable  v is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cldrcl 16763 . . . 4  |-  ( A  e.  ( Clsd `  J
)  ->  J  e.  Top )
2 eqid 2283 . . . . 5  |-  U. J  =  U. J
32cldss 16766 . . . 4  |-  ( A  e.  ( Clsd `  J
)  ->  A  C_  U. J
)
42restcld 16903 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  U. J )  ->  ( B  e.  ( Clsd `  ( Jt  A ) )  <->  E. v  e.  ( Clsd `  J
) B  =  ( v  i^i  A ) ) )
51, 3, 4syl2anc 642 . . 3  |-  ( A  e.  ( Clsd `  J
)  ->  ( B  e.  ( Clsd `  ( Jt  A ) )  <->  E. v  e.  ( Clsd `  J
) B  =  ( v  i^i  A ) ) )
6 incld 16780 . . . . . 6  |-  ( ( v  e.  ( Clsd `  J )  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  (
v  i^i  A )  e.  ( Clsd `  J
) )
76ancoms 439 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( Clsd `  J )  /\  v  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  (
v  i^i  A )  e.  ( Clsd `  J
) )
8 eleq1 2343 . . . . 5  |-  ( B  =  ( v  i^i 
A )  ->  ( B  e.  ( Clsd `  J )  <->  ( v  i^i  A )  e.  (
Clsd `  J )
) )
97, 8syl5ibrcom 213 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( Clsd `  J )  /\  v  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( B  =  ( v  i^i  A )  ->  B  e.  ( Clsd `  J
) ) )
109rexlimdva 2667 . . 3  |-  ( A  e.  ( Clsd `  J
)  ->  ( E. v  e.  ( Clsd `  J ) B  =  ( v  i^i  A
)  ->  B  e.  ( Clsd `  J )
) )
115, 10sylbid 206 . 2  |-  ( A  e.  ( Clsd `  J
)  ->  ( B  e.  ( Clsd `  ( Jt  A ) )  ->  B  e.  ( Clsd `  J ) ) )
1211imp 418 1  |-  ( ( A  e.  ( Clsd `  J )  /\  B  e.  ( Clsd `  ( Jt  A ) ) )  ->  B  e.  (
Clsd `  J )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   E.wrex 2544    i^i cin 3151    C_ wss 3152   U.cuni 3827   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   ↾t crest 13325   Topctop 16631   Clsdccld 16753
This theorem is referenced by:  paste  17022  qtoprest  17408  zcld2  18321  logdmopn  19996
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-fin 6867  df-fi 7165  df-rest 13327  df-topgen 13344  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-cld 16756
  Copyright terms: Public domain W3C validator