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Theorem restcls 17250
Description: A closure in a subspace topology. (Contributed by Jeff Hankins, 22-Jan-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Dec-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
restcls.1 |- X = U. J
restcls.2 |- K = ( J ↾t Y )
Assertion
Ref Expression
restcls |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> ( ( cls ` K ) ` S ) = ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y ) )
Proof of Theorem restcls
Dummy variable x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 958 . . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> J e. Top )
2 sstr 3358 . . . . . . . 8 |- ( ( S C_ Y /\ Y C_ X ) -> S C_ X )
32ancoms 441 . . . . . . 7 |- ( ( Y C_ X /\ S C_ Y ) -> S C_ X )
433adant1 976 . . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> S C_ X )
5 restcls.1 . . . . . . 7 |- X = U. J
65clscld 17116 . . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( ( cls ` J ) ` S ) e. ( Clsd ` J ) )
71, 4, 6syl2anc 644 . . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> ( ( cls ` J ) ` S ) e. ( Clsd ` J ) )
8 eqid 2438 . . . . 5 |- ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y ) = ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y )
9 ineq1 3537 . . . . . . 7 |- ( x = ( ( cls ` J ) ` S ) -> ( x i^i Y ) = ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y ) )
109eqeq2d 2449 . . . . . 6 |- ( x = ( ( cls ` J ) ` S ) -> ( ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y ) = ( x i^i Y ) <-> ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y ) = ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y ) ) )
1110rspcev 3054 . . . . 5 |- ( ( ( ( cls ` J ) ` S ) e. ( Clsd ` J ) /\ ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y ) = ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y ) ) -> E. x e. ( Clsd ` J ) ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y ) = ( x i^i Y ) )
127, 8, 11sylancl 645 . . . 4 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> E. x e. ( Clsd ` J ) ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y ) = ( x i^i Y ) )
13 restcls.2 . . . . . . 7 |- K = ( J ↾t Y )
1413fveq2i 5734 . . . . . 6 |- ( Clsd ` K ) = ( Clsd ` ( J ↾t Y ) )
1514eleq2i 2502 . . . . 5 |- ( ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y ) e. ( Clsd ` K ) <-> ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y ) e. ( Clsd ` ( J ↾t Y ) ) )
165restcld 17241 . . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X ) -> ( ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y ) e. ( Clsd ` ( J ↾t Y ) ) <-> E. x e. ( Clsd ` J ) ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y ) = ( x i^i Y ) ) )
17163adant3 978 . . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> ( ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y ) e. ( Clsd ` ( J ↾t Y ) ) <-> E. x e. ( Clsd ` J ) ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y ) = ( x i^i Y ) ) )
1815, 17syl5bb 250 . . . 4 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> ( ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y ) e. ( Clsd ` K ) <-> E. x e. ( Clsd ` J ) ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y ) = ( x i^i Y ) ) )
1912, 18mpbird 225 . . 3 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y ) e. ( Clsd ` K ) )
205sscls 17125 . . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> S C_ ( ( cls ` J ) ` S ) )
211, 4, 20syl2anc 644 . . . 4 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> S C_ ( ( cls ` J ) ` S ) )
22 simp3 960 . . . 4 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> S C_ Y )
2321, 22ssind 3567 . . 3 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> S C_ ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y ) )
24 eqid 2438 . . . 4 |- U. K = U. K
2524clsss2 17141 . . 3 |- ( ( ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y ) e. ( Clsd ` K ) /\ S C_ ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y ) ) -> ( ( cls ` K ) ` S ) C_ ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y ) )
2619, 23, 25syl2anc 644 . 2 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> ( ( cls ` K ) ` S ) C_ ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y ) )
2713fveq2i 5734 . . . . . 6 |- ( cls ` K ) = ( cls ` ( J ↾t Y ) )
2827fveq1i 5732 . . . . 5 |- ( ( cls ` K ) ` S ) = ( ( cls ` ( J ↾t Y ) ) ` S )
29 id 21 . . . . . . . . 9 |- ( Y C_ X -> Y C_ X )
305topopn 16984 . . . . . . . . 9 |- ( J e. Top -> X e. J )
31 ssexg 4352 . . . . . . . . 9 |- ( ( Y C_ X /\ X e. J ) -> Y e. _V )
3229, 30, 31syl2anr 466 . . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X ) -> Y e. _V )
33 resttop 17229 . . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ Y e. _V ) -> ( J ↾t Y ) e. Top )
3432, 33syldan 458 . . . . . . 7 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X ) -> ( J ↾t Y ) e. Top )
35343adant3 978 . . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> ( J ↾t Y ) e. Top )
365restuni 17231 . . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X ) -> Y = U. ( J ↾t Y ) )
37363adant3 978 . . . . . . 7 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> Y = U. ( J ↾t Y ) )
3822, 37sseqtrd 3386 . . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> S C_ U. ( J ↾t Y ) )
39 eqid 2438 . . . . . . 7 |- U. ( J ↾t Y ) = U. ( J ↾t Y )
4039clscld 17116 . . . . . 6 |- ( ( ( J ↾t Y ) e. Top /\ S C_ U. ( J ↾t Y ) ) -> ( ( cls ` ( J ↾t Y ) ) ` S ) e. ( Clsd ` ( J ↾t Y ) ) )
4135, 38, 40syl2anc 644 . . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> ( ( cls ` ( J ↾t Y ) ) ` S ) e. ( Clsd ` ( J ↾t Y ) ) )
4228, 41syl5eqel 2522 . . . 4 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> ( ( cls ` K ) ` S ) e. ( Clsd ` ( J ↾t Y ) ) )
435restcld 17241 . . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X ) -> ( ( ( cls ` K ) ` S ) e. ( Clsd ` ( J ↾t Y ) ) <-> E. x e. ( Clsd ` J ) ( ( cls ` K ) ` S ) = ( x i^i Y ) ) )
44433adant3 978 . . . 4 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> ( ( ( cls ` K ) ` S ) e. ( Clsd ` ( J ↾t Y ) ) <-> E. x e. ( Clsd ` J ) ( ( cls ` K ) ` S ) = ( x i^i Y ) ) )
4542, 44mpbid 203 . . 3 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> E. x e. ( Clsd ` J ) ( ( cls ` K ) ` S ) = ( x i^i Y ) )
4613, 34syl5eqel 2522 . . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X ) -> K e. Top )
47463adant3 978 . . . . . . 7 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> K e. Top )
4813unieqi 4027 . . . . . . . . 9 |- U. K = U. ( J ↾t Y )
4948eqcomi 2442 . . . . . . . 8 |- U. ( J ↾t Y ) = U. K
5049sscls 17125 . . . . . . 7 |- ( ( K e. Top /\ S C_ U. ( J ↾t Y ) ) -> S C_ ( ( cls ` K ) ` S ) )
5147, 38, 50syl2anc 644 . . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> S C_ ( ( cls ` K ) ` S ) )
5251adantr 453 . . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) /\ ( x e. ( Clsd ` J ) /\ ( ( cls ` K ) ` S ) = ( x i^i Y ) ) ) -> S C_ ( ( cls ` K ) ` S ) )
53 inss1 3563 . . . . . . 7 |- ( x i^i Y ) C_ x
54 sseq1 3371 . . . . . . 7 |- ( ( ( cls ` K ) ` S ) = ( x i^i Y ) -> ( ( ( cls ` K ) ` S ) C_ x <-> ( x i^i Y ) C_ x ) )
5553, 54mpbiri 226 . . . . . 6 |- ( ( ( cls ` K ) ` S ) = ( x i^i Y ) -> ( ( cls ` K ) ` S ) C_ x )
5655ad2antll 711 . . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) /\ ( x e. ( Clsd ` J ) /\ ( ( cls ` K ) ` S ) = ( x i^i Y ) ) ) -> ( ( cls ` K ) ` S ) C_ x )
5752, 56sstrd 3360 . . . 4 |- ( ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) /\ ( x e. ( Clsd ` J ) /\ ( ( cls ` K ) ` S ) = ( x i^i Y ) ) ) -> S C_ x )
585clsss2 17141 . . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ( Clsd ` J ) /\ S C_ x ) -> ( ( cls ` J ) ` S ) C_ x )
5958adantl 454 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) /\ ( x e. ( Clsd ` J ) /\ S C_ x ) ) -> ( ( cls ` J ) ` S ) C_ x )
60 ssrin 3568 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( cls ` J ) ` S ) C_ x -> ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y ) C_ ( x i^i Y ) )
6159, 60syl 16 . . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) /\ ( x e. ( Clsd ` J ) /\ S C_ x ) ) -> ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y ) C_ ( x i^i Y ) )
62 sseq2 3372 . . . . . . . 8 |- ( ( ( cls ` K ) ` S ) = ( x i^i Y ) -> ( ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y ) C_ ( ( cls ` K ) ` S ) <-> ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y ) C_ ( x i^i Y ) ) )
6361, 62syl5ibrcom 215 . . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) /\ ( x e. ( Clsd ` J ) /\ S C_ x ) ) -> ( ( ( cls ` K ) ` S ) = ( x i^i Y ) -> ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y ) C_ ( ( cls ` K ) ` S ) ) )
6463expr 600 . . . . . 6 |- ( ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) /\ x e. ( Clsd ` J ) ) -> ( S C_ x -> ( ( ( cls ` K ) ` S ) = ( x i^i Y ) -> ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y ) C_ ( ( cls ` K ) ` S ) ) ) )
6564com23 75 . . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) /\ x e. ( Clsd ` J ) ) -> ( ( ( cls ` K ) ` S ) = ( x i^i Y ) -> ( S C_ x -> ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y ) C_ ( ( cls ` K ) ` S ) ) ) )
6665impr 604 . . . 4 |- ( ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) /\ ( x e. ( Clsd ` J ) /\ ( ( cls ` K ) ` S ) = ( x i^i Y ) ) ) -> ( S C_ x -> ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y ) C_ ( ( cls ` K ) ` S ) ) )
6757, 66mpd 15 . . 3 |- ( ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) /\ ( x e. ( Clsd ` J ) /\ ( ( cls ` K ) ` S ) = ( x i^i Y ) ) ) -> ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y ) C_ ( ( cls ` K ) ` S ) )
6845, 67rexlimddv 2836 . 2 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y ) C_ ( ( cls ` K ) ` S ) )
6926, 68eqssd 3367 1 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> ( ( cls ` K ) ` S ) = ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 178   /\ wa 360   /\ w3a 937   = wceq 1653   e. wcel 1726   E.wrex 2708   _Vcvv 2958   i^i cin 3321   C_ wss 3322   U.cuni 4017   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   ↾t crest 13653   Topctop 16963   Clsdccld 17085   clsccl 17087
This theorem is referenced by:  restlp  17252  resscdrg  19317
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-oadd 6731  df-er 6908  df-en 7113  df-fin 7116  df-fi 7419  df-rest 13655  df-topgen 13672  df-top 16968  df-bases 16970  df-topon 16971  df-cld 17088  df-cls 17090
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