Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  restcls Unicode version

Theorem restcls 17017
 Description: A closure in a subspace topology. (Contributed by Jeff Hankins, 22-Jan-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Dec-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
restcls.1
restcls.2 t
Assertion
Ref Expression
restcls

Proof of Theorem restcls
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 955 . . . . . 6
2 sstr 3263 . . . . . . . 8
32ancoms 439 . . . . . . 7
433adant1 973 . . . . . 6
5 restcls.1 . . . . . . 7
65clscld 16890 . . . . . 6
71, 4, 6syl2anc 642 . . . . 5
8 eqid 2358 . . . . 5
9 ineq1 3439 . . . . . . 7
109eqeq2d 2369 . . . . . 6
1110rspcev 2960 . . . . 5
127, 8, 11sylancl 643 . . . 4
13 restcls.2 . . . . . . 7 t
1413fveq2i 5611 . . . . . 6 t
1514eleq2i 2422 . . . . 5 t
165restcld 17009 . . . . . 6 t
17163adant3 975 . . . . 5 t
1815, 17syl5bb 248 . . . 4
1912, 18mpbird 223 . . 3
205sscls 16899 . . . . 5
211, 4, 20syl2anc 642 . . . 4
22 simp3 957 . . . 4
2321, 22ssind 3469 . . 3
24 eqid 2358 . . . 4
2524clsss2 16915 . . 3
2619, 23, 25syl2anc 642 . 2
2713fveq2i 5611 . . . . . 6 t
2827fveq1i 5609 . . . . 5 t
29 id 19 . . . . . . . . 9
305topopn 16758 . . . . . . . . 9
31 ssexg 4241 . . . . . . . . 9
3229, 30, 31syl2anr 464 . . . . . . . 8
33 resttop 16997 . . . . . . . 8 t
3432, 33syldan 456 . . . . . . 7 t
35343adant3 975 . . . . . 6 t
365restuni 16999 . . . . . . . 8 t
37363adant3 975 . . . . . . 7 t
3822, 37sseqtrd 3290 . . . . . 6 t
39 eqid 2358 . . . . . . 7 t t
4039clscld 16890 . . . . . 6 t t t t
4135, 38, 40syl2anc 642 . . . . 5 t t
4228, 41syl5eqel 2442 . . . 4 t
435restcld 17009 . . . . 5 t
44433adant3 975 . . . 4 t
4542, 44mpbid 201 . . 3
4613, 34syl5eqel 2442 . . . . . . . . . 10
47463adant3 975 . . . . . . . . 9
4813unieqi 3918 . . . . . . . . . . 11 t
4948eqcomi 2362 . . . . . . . . . 10 t
5049sscls 16899 . . . . . . . . 9 t
5147, 38, 50syl2anc 642 . . . . . . . 8
5251adantr 451 . . . . . . 7
53 inss1 3465 . . . . . . . . 9
54 sseq1 3275 . . . . . . . . 9
5553, 54mpbiri 224 . . . . . . . 8
5655ad2antll 709 . . . . . . 7
5752, 56sstrd 3265 . . . . . 6
585clsss2 16915 . . . . . . . . . . . 12
5958adantl 452 . . . . . . . . . . 11
60 ssrin 3470 . . . . . . . . . . 11
6159, 60syl 15 . . . . . . . . . 10
62 sseq2 3276 . . . . . . . . . 10
6361, 62syl5ibrcom 213 . . . . . . . . 9
6463expr 598 . . . . . . . 8
6564com23 72 . . . . . . 7
6665impr 602 . . . . . 6
6757, 66mpd 14 . . . . 5
6867exp32 588 . . . 4
6968rexlimdv 2742 . . 3
7045, 69mpd 14 . 2
7126, 70eqssd 3272 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   w3a 934   wceq 1642   wcel 1710  wrex 2620  cvv 2864   cin 3227   wss 3228  cuni 3908  cfv 5337  (class class class)co 5945   ↾t crest 13424  ctop 16737  ccld 16859  ccl 16861 This theorem is referenced by:  restlp  17019  resscdrg  18879 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4212  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3909  df-int 3944  df-iun 3988  df-iin 3989  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-tr 4195  df-eprel 4387  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-fr 4434  df-we 4436  df-ord 4477  df-on 4478  df-lim 4479  df-suc 4480  df-om 4739  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-1st 6209  df-2nd 6210  df-recs 6475  df-rdg 6510  df-oadd 6570  df-er 6747  df-en 6952  df-fin 6955  df-fi 7255  df-rest 13426  df-topgen 13443  df-top 16742  df-bases 16744  df-topon 16745  df-cld 16862  df-cls 16864
 Copyright terms: Public domain W3C validator