Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  restcls Structured version   Unicode version

Theorem restcls 17250
 Description: A closure in a subspace topology. (Contributed by Jeff Hankins, 22-Jan-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Dec-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
restcls.1
restcls.2 t
Assertion
Ref Expression
restcls

Proof of Theorem restcls
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 958 . . . . . 6
2 sstr 3358 . . . . . . . 8
32ancoms 441 . . . . . . 7
433adant1 976 . . . . . 6
5 restcls.1 . . . . . . 7
65clscld 17116 . . . . . 6
71, 4, 6syl2anc 644 . . . . 5
8 eqid 2438 . . . . 5
9 ineq1 3537 . . . . . . 7
109eqeq2d 2449 . . . . . 6
1110rspcev 3054 . . . . 5
127, 8, 11sylancl 645 . . . 4
13 restcls.2 . . . . . . 7 t
1413fveq2i 5734 . . . . . 6 t
1514eleq2i 2502 . . . . 5 t
165restcld 17241 . . . . . 6 t
17163adant3 978 . . . . 5 t
1815, 17syl5bb 250 . . . 4
1912, 18mpbird 225 . . 3
205sscls 17125 . . . . 5
211, 4, 20syl2anc 644 . . . 4
22 simp3 960 . . . 4
2321, 22ssind 3567 . . 3
24 eqid 2438 . . . 4
2524clsss2 17141 . . 3
2619, 23, 25syl2anc 644 . 2
2713fveq2i 5734 . . . . . 6 t
2827fveq1i 5732 . . . . 5 t
29 id 21 . . . . . . . . 9
305topopn 16984 . . . . . . . . 9
31 ssexg 4352 . . . . . . . . 9
3229, 30, 31syl2anr 466 . . . . . . . 8
33 resttop 17229 . . . . . . . 8 t
3432, 33syldan 458 . . . . . . 7 t
35343adant3 978 . . . . . 6 t
365restuni 17231 . . . . . . . 8 t
37363adant3 978 . . . . . . 7 t
3822, 37sseqtrd 3386 . . . . . 6 t
39 eqid 2438 . . . . . . 7 t t
4039clscld 17116 . . . . . 6 t t t t
4135, 38, 40syl2anc 644 . . . . 5 t t
4228, 41syl5eqel 2522 . . . 4 t
435restcld 17241 . . . . 5 t
44433adant3 978 . . . 4 t
4542, 44mpbid 203 . . 3
4613, 34syl5eqel 2522 . . . . . . . 8
47463adant3 978 . . . . . . 7
4813unieqi 4027 . . . . . . . . 9 t
4948eqcomi 2442 . . . . . . . 8 t
5049sscls 17125 . . . . . . 7 t
5147, 38, 50syl2anc 644 . . . . . 6
5251adantr 453 . . . . 5
53 inss1 3563 . . . . . . 7
54 sseq1 3371 . . . . . . 7
5553, 54mpbiri 226 . . . . . 6
5655ad2antll 711 . . . . 5
5752, 56sstrd 3360 . . . 4
585clsss2 17141 . . . . . . . . . 10
5958adantl 454 . . . . . . . . 9
60 ssrin 3568 . . . . . . . . 9
6159, 60syl 16 . . . . . . . 8
62 sseq2 3372 . . . . . . . 8
6361, 62syl5ibrcom 215 . . . . . . 7
6463expr 600 . . . . . 6
6564com23 75 . . . . 5
6665impr 604 . . . 4
6757, 66mpd 15 . . 3
6845, 67rexlimddv 2836 . 2
6926, 68eqssd 3367 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   w3a 937   wceq 1653   wcel 1726  wrex 2708  cvv 2958   cin 3321   wss 3322  cuni 4017  cfv 5457  (class class class)co 6084   ↾t crest 13653  ctop 16963  ccld 17085  ccl 17087 This theorem is referenced by:  restlp  17252  resscdrg  19317 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-oadd 6731  df-er 6908  df-en 7113  df-fin 7116  df-fi 7419  df-rest 13655  df-topgen 13672  df-top 16968  df-bases 16970  df-topon 16971  df-cld 17088  df-cls 17090
 Copyright terms: Public domain W3C validator