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Theorem restcls 17199
Description: A closure in a subspace topology. (Contributed by Jeff Hankins, 22-Jan-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Dec-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
restcls.1 |- X = U. J
restcls.2 |- K = ( J ↾t Y )
Assertion
Ref Expression
restcls |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> ( ( cls ` K ) ` S ) = ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y ) )
Proof of Theorem restcls
Dummy variable x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 957 . . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> J e. Top )
2 sstr 3316 . . . . . . . 8 |- ( ( S C_ Y /\ Y C_ X ) -> S C_ X )
32ancoms 440 . . . . . . 7 |- ( ( Y C_ X /\ S C_ Y ) -> S C_ X )
433adant1 975 . . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> S C_ X )
5 restcls.1 . . . . . . 7 |- X = U. J
65clscld 17066 . . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( ( cls ` J ) ` S ) e. ( Clsd ` J ) )
71, 4, 6syl2anc 643 . . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> ( ( cls ` J ) ` S ) e. ( Clsd ` J ) )
8 eqid 2404 . . . . 5 |- ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y ) = ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y )
9 ineq1 3495 . . . . . . 7 |- ( x = ( ( cls ` J ) ` S ) -> ( x i^i Y ) = ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y ) )
109eqeq2d 2415 . . . . . 6 |- ( x = ( ( cls ` J ) ` S ) -> ( ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y ) = ( x i^i Y ) <-> ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y ) = ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y ) ) )
1110rspcev 3012 . . . . 5 |- ( ( ( ( cls ` J ) ` S ) e. ( Clsd ` J ) /\ ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y ) = ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y ) ) -> E. x e. ( Clsd ` J ) ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y ) = ( x i^i Y ) )
127, 8, 11sylancl 644 . . . 4 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> E. x e. ( Clsd ` J ) ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y ) = ( x i^i Y ) )
13 restcls.2 . . . . . . 7 |- K = ( J ↾t Y )
1413fveq2i 5690 . . . . . 6 |- ( Clsd ` K ) = ( Clsd ` ( J ↾t Y ) )
1514eleq2i 2468 . . . . 5 |- ( ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y ) e. ( Clsd ` K ) <-> ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y ) e. ( Clsd ` ( J ↾t Y ) ) )
165restcld 17190 . . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X ) -> ( ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y ) e. ( Clsd ` ( J ↾t Y ) ) <-> E. x e. ( Clsd ` J ) ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y ) = ( x i^i Y ) ) )
17163adant3 977 . . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> ( ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y ) e. ( Clsd ` ( J ↾t Y ) ) <-> E. x e. ( Clsd ` J ) ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y ) = ( x i^i Y ) ) )
1815, 17syl5bb 249 . . . 4 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> ( ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y ) e. ( Clsd ` K ) <-> E. x e. ( Clsd ` J ) ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y ) = ( x i^i Y ) ) )
1912, 18mpbird 224 . . 3 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y ) e. ( Clsd ` K ) )
205sscls 17075 . . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> S C_ ( ( cls ` J ) ` S ) )
211, 4, 20syl2anc 643 . . . 4 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> S C_ ( ( cls ` J ) ` S ) )
22 simp3 959 . . . 4 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> S C_ Y )
2321, 22ssind 3525 . . 3 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> S C_ ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y ) )
24 eqid 2404 . . . 4 |- U. K = U. K
2524clsss2 17091 . . 3 |- ( ( ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y ) e. ( Clsd ` K ) /\ S C_ ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y ) ) -> ( ( cls ` K ) ` S ) C_ ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y ) )
2619, 23, 25syl2anc 643 . 2 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> ( ( cls ` K ) ` S ) C_ ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y ) )
2713fveq2i 5690 . . . . . 6 |- ( cls ` K ) = ( cls ` ( J ↾t Y ) )
2827fveq1i 5688 . . . . 5 |- ( ( cls ` K ) ` S ) = ( ( cls ` ( J ↾t Y ) ) ` S )
29 id 20 . . . . . . . . 9 |- ( Y C_ X -> Y C_ X )
305topopn 16934 . . . . . . . . 9 |- ( J e. Top -> X e. J )
31 ssexg 4309 . . . . . . . . 9 |- ( ( Y C_ X /\ X e. J ) -> Y e. _V )
3229, 30, 31syl2anr 465 . . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X ) -> Y e. _V )
33 resttop 17178 . . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ Y e. _V ) -> ( J ↾t Y ) e. Top )
3432, 33syldan 457 . . . . . . 7 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X ) -> ( J ↾t Y ) e. Top )
35343adant3 977 . . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> ( J ↾t Y ) e. Top )
365restuni 17180 . . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X ) -> Y = U. ( J ↾t Y ) )
37363adant3 977 . . . . . . 7 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> Y = U. ( J ↾t Y ) )
3822, 37sseqtrd 3344 . . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> S C_ U. ( J ↾t Y ) )
39 eqid 2404 . . . . . . 7 |- U. ( J ↾t Y ) = U. ( J ↾t Y )
4039clscld 17066 . . . . . 6 |- ( ( ( J ↾t Y ) e. Top /\ S C_ U. ( J ↾t Y ) ) -> ( ( cls ` ( J ↾t Y ) ) ` S ) e. ( Clsd ` ( J ↾t Y ) ) )
4135, 38, 40syl2anc 643 . . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> ( ( cls ` ( J ↾t Y ) ) ` S ) e. ( Clsd ` ( J ↾t Y ) ) )
4228, 41syl5eqel 2488 . . . 4 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> ( ( cls ` K ) ` S ) e. ( Clsd ` ( J ↾t Y ) ) )
435restcld 17190 . . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X ) -> ( ( ( cls ` K ) ` S ) e. ( Clsd ` ( J ↾t Y ) ) <-> E. x e. ( Clsd ` J ) ( ( cls ` K ) ` S ) = ( x i^i Y ) ) )
44433adant3 977 . . . 4 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> ( ( ( cls ` K ) ` S ) e. ( Clsd ` ( J ↾t Y ) ) <-> E. x e. ( Clsd ` J ) ( ( cls ` K ) ` S ) = ( x i^i Y ) ) )
4542, 44mpbid 202 . . 3 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> E. x e. ( Clsd ` J ) ( ( cls ` K ) ` S ) = ( x i^i Y ) )
4613, 34syl5eqel 2488 . . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X ) -> K e. Top )
47463adant3 977 . . . . . . 7 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> K e. Top )
4813unieqi 3985 . . . . . . . . 9 |- U. K = U. ( J ↾t Y )
4948eqcomi 2408 . . . . . . . 8 |- U. ( J ↾t Y ) = U. K
5049sscls 17075 . . . . . . 7 |- ( ( K e. Top /\ S C_ U. ( J ↾t Y ) ) -> S C_ ( ( cls ` K ) ` S ) )
5147, 38, 50syl2anc 643 . . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> S C_ ( ( cls ` K ) ` S ) )
5251adantr 452 . . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) /\ ( x e. ( Clsd ` J ) /\ ( ( cls ` K ) ` S ) = ( x i^i Y ) ) ) -> S C_ ( ( cls ` K ) ` S ) )
53 inss1 3521 . . . . . . 7 |- ( x i^i Y ) C_ x
54 sseq1 3329 . . . . . . 7 |- ( ( ( cls ` K ) ` S ) = ( x i^i Y ) -> ( ( ( cls ` K ) ` S ) C_ x <-> ( x i^i Y ) C_ x ) )
5553, 54mpbiri 225 . . . . . 6 |- ( ( ( cls ` K ) ` S ) = ( x i^i Y ) -> ( ( cls ` K ) ` S ) C_ x )
5655ad2antll 710 . . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) /\ ( x e. ( Clsd ` J ) /\ ( ( cls ` K ) ` S ) = ( x i^i Y ) ) ) -> ( ( cls ` K ) ` S ) C_ x )
5752, 56sstrd 3318 . . . 4 |- ( ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) /\ ( x e. ( Clsd ` J ) /\ ( ( cls ` K ) ` S ) = ( x i^i Y ) ) ) -> S C_ x )
585clsss2 17091 . . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ( Clsd ` J ) /\ S C_ x ) -> ( ( cls ` J ) ` S ) C_ x )
5958adantl 453 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) /\ ( x e. ( Clsd ` J ) /\ S C_ x ) ) -> ( ( cls ` J ) ` S ) C_ x )
60 ssrin 3526 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( cls ` J ) ` S ) C_ x -> ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y ) C_ ( x i^i Y ) )
6159, 60syl 16 . . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) /\ ( x e. ( Clsd ` J ) /\ S C_ x ) ) -> ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y ) C_ ( x i^i Y ) )
62 sseq2 3330 . . . . . . . 8 |- ( ( ( cls ` K ) ` S ) = ( x i^i Y ) -> ( ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y ) C_ ( ( cls ` K ) ` S ) <-> ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y ) C_ ( x i^i Y ) ) )
6361, 62syl5ibrcom 214 . . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) /\ ( x e. ( Clsd ` J ) /\ S C_ x ) ) -> ( ( ( cls ` K ) ` S ) = ( x i^i Y ) -> ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y ) C_ ( ( cls ` K ) ` S ) ) )
6463expr 599 . . . . . 6 |- ( ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) /\ x e. ( Clsd ` J ) ) -> ( S C_ x -> ( ( ( cls ` K ) ` S ) = ( x i^i Y ) -> ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y ) C_ ( ( cls ` K ) ` S ) ) ) )
6564com23 74 . . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) /\ x e. ( Clsd ` J ) ) -> ( ( ( cls ` K ) ` S ) = ( x i^i Y ) -> ( S C_ x -> ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y ) C_ ( ( cls ` K ) ` S ) ) ) )
6665impr 603 . . . 4 |- ( ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) /\ ( x e. ( Clsd ` J ) /\ ( ( cls ` K ) ` S ) = ( x i^i Y ) ) ) -> ( S C_ x -> ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y ) C_ ( ( cls ` K ) ` S ) ) )
6757, 66mpd 15 . . 3 |- ( ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) /\ ( x e. ( Clsd ` J ) /\ ( ( cls ` K ) ` S ) = ( x i^i Y ) ) ) -> ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y ) C_ ( ( cls ` K ) ` S ) )
6845, 67rexlimddv 2794 . 2 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y ) C_ ( ( cls ` K ) ` S ) )
6926, 68eqssd 3325 1 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> ( ( cls ` K ) ` S ) = ( ( ( cls ` J ) ` S ) i^i Y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 177   /\ wa 359   /\ w3a 936   = wceq 1649   e. wcel 1721   E.wrex 2667   _Vcvv 2916   i^i cin 3279   C_ wss 3280   U.cuni 3975   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   ↾t crest 13603   Topctop 16913   Clsdccld 17035   clsccl 17037
This theorem is referenced by:  restlp  17201  resscdrg  19265
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-oadd 6687  df-er 6864  df-en 7069  df-fin 7072  df-fi 7374  df-rest 13605  df-topgen 13622  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-cld 17038  df-cls 17040
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