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Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > restcls | Unicode version |
Description: A closure in a subspace topology. (Contributed by Jeff Hankins, 22-Jan-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Dec-2013.) |
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restcls.1 |
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restcls.2 |
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restcls |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | simp1 957 |
. . . . . 6
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2 | sstr 3316 |
. . . . . . . 8
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3 | 2 | ancoms 440 |
. . . . . . 7
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4 | 3 | 3adant1 975 |
. . . . . 6
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5 | restcls.1 |
. . . . . . 7
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6 | 5 | clscld 17066 |
. . . . . 6
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7 | 1, 4, 6 | syl2anc 643 |
. . . . 5
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8 | eqid 2404 |
. . . . 5
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9 | ineq1 3495 |
. . . . . . 7
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10 | 9 | eqeq2d 2415 |
. . . . . 6
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11 | 10 | rspcev 3012 |
. . . . 5
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12 | 7, 8, 11 | sylancl 644 |
. . . 4
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13 | restcls.2 |
. . . . . . 7
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14 | 13 | fveq2i 5690 |
. . . . . 6
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15 | 14 | eleq2i 2468 |
. . . . 5
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16 | 5 | restcld 17190 |
. . . . . 6
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17 | 16 | 3adant3 977 |
. . . . 5
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18 | 15, 17 | syl5bb 249 |
. . . 4
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19 | 12, 18 | mpbird 224 |
. . 3
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20 | 5 | sscls 17075 |
. . . . 5
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21 | 1, 4, 20 | syl2anc 643 |
. . . 4
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22 | simp3 959 |
. . . 4
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23 | 21, 22 | ssind 3525 |
. . 3
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24 | eqid 2404 |
. . . 4
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25 | 24 | clsss2 17091 |
. . 3
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26 | 19, 23, 25 | syl2anc 643 |
. 2
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27 | 13 | fveq2i 5690 |
. . . . . 6
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28 | 27 | fveq1i 5688 |
. . . . 5
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29 | id 20 |
. . . . . . . . 9
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30 | 5 | topopn 16934 |
. . . . . . . . 9
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31 | ssexg 4309 |
. . . . . . . . 9
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32 | 29, 30, 31 | syl2anr 465 |
. . . . . . . 8
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33 | resttop 17178 |
. . . . . . . 8
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34 | 32, 33 | syldan 457 |
. . . . . . 7
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35 | 34 | 3adant3 977 |
. . . . . 6
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36 | 5 | restuni 17180 |
. . . . . . . 8
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37 | 36 | 3adant3 977 |
. . . . . . 7
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38 | 22, 37 | sseqtrd 3344 |
. . . . . 6
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39 | eqid 2404 |
. . . . . . 7
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40 | 39 | clscld 17066 |
. . . . . 6
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41 | 35, 38, 40 | syl2anc 643 |
. . . . 5
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42 | 28, 41 | syl5eqel 2488 |
. . . 4
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43 | 5 | restcld 17190 |
. . . . 5
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44 | 43 | 3adant3 977 |
. . . 4
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45 | 42, 44 | mpbid 202 |
. . 3
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46 | 13, 34 | syl5eqel 2488 |
. . . . . . . 8
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47 | 46 | 3adant3 977 |
. . . . . . 7
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48 | 13 | unieqi 3985 |
. . . . . . . . 9
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49 | 48 | eqcomi 2408 |
. . . . . . . 8
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50 | 49 | sscls 17075 |
. . . . . . 7
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51 | 47, 38, 50 | syl2anc 643 |
. . . . . 6
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52 | 51 | adantr 452 |
. . . . 5
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53 | inss1 3521 |
. . . . . . 7
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54 | sseq1 3329 |
. . . . . . 7
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55 | 53, 54 | mpbiri 225 |
. . . . . 6
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56 | 55 | ad2antll 710 |
. . . . 5
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57 | 52, 56 | sstrd 3318 |
. . . 4
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58 | 5 | clsss2 17091 |
. . . . . . . . . 10
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59 | 58 | adantl 453 |
. . . . . . . . 9
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60 | ssrin 3526 |
. . . . . . . . 9
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61 | 59, 60 | syl 16 |
. . . . . . . 8
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62 | sseq2 3330 |
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63 | 61, 62 | syl5ibrcom 214 |
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64 | 63 | expr 599 |
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65 | 64 | com23 74 |
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66 | 65 | impr 603 |
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67 | 57, 66 | mpd 15 |
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68 | 45, 67 | rexlimddv 2794 |
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69 | 26, 68 | eqssd 3325 |
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem is referenced by: restlp 17201 resscdrg 19265 |
This theorem was proved from axioms: ax-1 5 ax-2 6 ax-3 7 ax-mp 8 ax-gen 1552 ax-5 1563 ax-17 1623 ax-9 1662 ax-8 1683 ax-13 1723 ax-14 1725 ax-6 1740 ax-7 1745 ax-11 1757 ax-12 1946 ax-ext 2385 ax-rep 4280 ax-sep 4290 ax-nul 4298 ax-pow 4337 ax-pr 4363 ax-un 4660 |
This theorem depends on definitions: df-bi 178 df-or 360 df-an 361 df-3or 937 df-3an 938 df-tru 1325 df-ex 1548 df-nf 1551 df-sb 1656 df-eu 2258 df-mo 2259 df-clab 2391 df-cleq 2397 df-clel 2400 df-nfc 2529 df-ne 2569 df-ral 2671 df-rex 2672 df-reu 2673 df-rab 2675 df-v 2918 df-sbc 3122 df-csb 3212 df-dif 3283 df-un 3285 df-in 3287 df-ss 3294 df-pss 3296 df-nul 3589 df-if 3700 df-pw 3761 df-sn 3780 df-pr 3781 df-tp 3782 df-op 3783 df-uni 3976 df-int 4011 df-iun 4055 df-iin 4056 df-br 4173 df-opab 4227 df-mpt 4228 df-tr 4263 df-eprel 4454 df-id 4458 df-po 4463 df-so 4464 df-fr 4501 df-we 4503 df-ord 4544 df-on 4545 df-lim 4546 df-suc 4547 df-om 4805 df-xp 4843 df-rel 4844 df-cnv 4845 df-co 4846 df-dm 4847 df-rn 4848 df-res 4849 df-ima 4850 df-iota 5377 df-fun 5415 df-fn 5416 df-f 5417 df-f1 5418 df-fo 5419 df-f1o 5420 df-fv 5421 df-ov 6043 df-oprab 6044 df-mpt2 6045 df-1st 6308 df-2nd 6309 df-recs 6592 df-rdg 6627 df-oadd 6687 df-er 6864 df-en 7069 df-fin 7072 df-fi 7374 df-rest 13605 df-topgen 13622 df-top 16918 df-bases 16920 df-topon 16921 df-cld 17038 df-cls 17040 |
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