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Theorem restcls 16911
Description: A closure in a subspace topology. (Contributed by Jeff Hankins, 22-Jan-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Dec-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
restcls.1  |-  X  = 
U. J
restcls.2  |-  K  =  ( Jt  Y )
Assertion
Ref Expression
restcls  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  ->  (
( cls `  K
) `  S )  =  ( ( ( cls `  J ) `
 S )  i^i 
Y ) )

Proof of Theorem restcls
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 955 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  ->  J  e.  Top )
2 sstr 3187 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  C_  Y  /\  Y  C_  X )  ->  S  C_  X )
32ancoms 439 . . . . . . 7  |-  ( ( Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  ->  S  C_  X )
433adant1 973 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  ->  S  C_  X )
5 restcls.1 . . . . . . 7  |-  X  = 
U. J
65clscld 16784 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( ( cls `  J
) `  S )  e.  ( Clsd `  J
) )
71, 4, 6syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  ->  (
( cls `  J
) `  S )  e.  ( Clsd `  J
) )
8 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( ( ( cls `  J
) `  S )  i^i  Y )  =  ( ( ( cls `  J
) `  S )  i^i  Y )
9 ineq1 3363 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( ( cls `  J ) `  S
)  ->  ( x  i^i  Y )  =  ( ( ( cls `  J
) `  S )  i^i  Y ) )
109eqeq2d 2294 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( ( cls `  J ) `  S
)  ->  ( (
( ( cls `  J
) `  S )  i^i  Y )  =  ( x  i^i  Y )  <-> 
( ( ( cls `  J ) `  S
)  i^i  Y )  =  ( ( ( cls `  J ) `
 S )  i^i 
Y ) ) )
1110rspcev 2884 . . . . 5  |-  ( ( ( ( cls `  J
) `  S )  e.  ( Clsd `  J
)  /\  ( (
( cls `  J
) `  S )  i^i  Y )  =  ( ( ( cls `  J
) `  S )  i^i  Y ) )  ->  E. x  e.  ( Clsd `  J ) ( ( ( cls `  J
) `  S )  i^i  Y )  =  ( x  i^i  Y ) )
127, 8, 11sylancl 643 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  ->  E. x  e.  ( Clsd `  J
) ( ( ( cls `  J ) `
 S )  i^i 
Y )  =  ( x  i^i  Y ) )
13 restcls.2 . . . . . . 7  |-  K  =  ( Jt  Y )
1413fveq2i 5528 . . . . . 6  |-  ( Clsd `  K )  =  (
Clsd `  ( Jt  Y
) )
1514eleq2i 2347 . . . . 5  |-  ( ( ( ( cls `  J
) `  S )  i^i  Y )  e.  (
Clsd `  K )  <->  ( ( ( cls `  J
) `  S )  i^i  Y )  e.  (
Clsd `  ( Jt  Y
) ) )
165restcld 16903 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X )  -> 
( ( ( ( cls `  J ) `
 S )  i^i 
Y )  e.  (
Clsd `  ( Jt  Y
) )  <->  E. x  e.  ( Clsd `  J
) ( ( ( cls `  J ) `
 S )  i^i 
Y )  =  ( x  i^i  Y ) ) )
17163adant3 975 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  ->  (
( ( ( cls `  J ) `  S
)  i^i  Y )  e.  ( Clsd `  ( Jt  Y ) )  <->  E. x  e.  ( Clsd `  J
) ( ( ( cls `  J ) `
 S )  i^i 
Y )  =  ( x  i^i  Y ) ) )
1815, 17syl5bb 248 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  ->  (
( ( ( cls `  J ) `  S
)  i^i  Y )  e.  ( Clsd `  K
)  <->  E. x  e.  (
Clsd `  J )
( ( ( cls `  J ) `  S
)  i^i  Y )  =  ( x  i^i 
Y ) ) )
1912, 18mpbird 223 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  ->  (
( ( cls `  J
) `  S )  i^i  Y )  e.  (
Clsd `  K )
)
205sscls 16793 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  ->  S  C_  ( ( cls `  J ) `  S
) )
211, 4, 20syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  ->  S  C_  ( ( cls `  J
) `  S )
)
22 simp3 957 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  ->  S  C_  Y )
2321, 22ssind 3393 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  ->  S  C_  ( ( ( cls `  J ) `  S
)  i^i  Y )
)
24 eqid 2283 . . . 4  |-  U. K  =  U. K
2524clsss2 16809 . . 3  |-  ( ( ( ( ( cls `  J ) `  S
)  i^i  Y )  e.  ( Clsd `  K
)  /\  S  C_  (
( ( cls `  J
) `  S )  i^i  Y ) )  -> 
( ( cls `  K
) `  S )  C_  ( ( ( cls `  J ) `  S
)  i^i  Y )
)
2619, 23, 25syl2anc 642 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  ->  (
( cls `  K
) `  S )  C_  ( ( ( cls `  J ) `  S
)  i^i  Y )
)
2713fveq2i 5528 . . . . . 6  |-  ( cls `  K )  =  ( cls `  ( Jt  Y ) )
2827fveq1i 5526 . . . . 5  |-  ( ( cls `  K ) `
 S )  =  ( ( cls `  ( Jt  Y ) ) `  S )
29 id 19 . . . . . . . . 9  |-  ( Y 
C_  X  ->  Y  C_  X )
305topopn 16652 . . . . . . . . 9  |-  ( J  e.  Top  ->  X  e.  J )
31 ssexg 4160 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Y  C_  X  /\  X  e.  J )  ->  Y  e.  _V )
3229, 30, 31syl2anr 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X )  ->  Y  e.  _V )
33 resttop 16891 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  e.  _V )  ->  ( Jt  Y )  e.  Top )
3432, 33syldan 456 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X )  -> 
( Jt  Y )  e.  Top )
35343adant3 975 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  ->  ( Jt  Y )  e.  Top )
365restuni 16893 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X )  ->  Y  =  U. ( Jt  Y ) )
37363adant3 975 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  ->  Y  =  U. ( Jt  Y ) )
3822, 37sseqtrd 3214 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  ->  S  C_ 
U. ( Jt  Y ) )
39 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  U. ( Jt  Y )  =  U. ( Jt  Y )
4039clscld 16784 . . . . . 6  |-  ( ( ( Jt  Y )  e.  Top  /\  S  C_  U. ( Jt  Y ) )  -> 
( ( cls `  ( Jt  Y ) ) `  S )  e.  (
Clsd `  ( Jt  Y
) ) )
4135, 38, 40syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  ->  (
( cls `  ( Jt  Y ) ) `  S )  e.  (
Clsd `  ( Jt  Y
) ) )
4228, 41syl5eqel 2367 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  ->  (
( cls `  K
) `  S )  e.  ( Clsd `  ( Jt  Y ) ) )
435restcld 16903 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X )  -> 
( ( ( cls `  K ) `  S
)  e.  ( Clsd `  ( Jt  Y ) )  <->  E. x  e.  ( Clsd `  J
) ( ( cls `  K ) `  S
)  =  ( x  i^i  Y ) ) )
44433adant3 975 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  ->  (
( ( cls `  K
) `  S )  e.  ( Clsd `  ( Jt  Y ) )  <->  E. x  e.  ( Clsd `  J
) ( ( cls `  K ) `  S
)  =  ( x  i^i  Y ) ) )
4542, 44mpbid 201 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  ->  E. x  e.  ( Clsd `  J
) ( ( cls `  K ) `  S
)  =  ( x  i^i  Y ) )
4613, 34syl5eqel 2367 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X )  ->  K  e.  Top )
47463adant3 975 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  ->  K  e.  Top )
4813unieqi 3837 . . . . . . . . . . 11  |-  U. K  =  U. ( Jt  Y )
4948eqcomi 2287 . . . . . . . . . 10  |-  U. ( Jt  Y )  =  U. K
5049sscls 16793 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Top  /\  S  C_  U. ( Jt  Y ) )  ->  S  C_  ( ( cls `  K
) `  S )
)
5147, 38, 50syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  ->  S  C_  ( ( cls `  K
) `  S )
)
5251adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  /\  ( x  e.  ( Clsd `  J )  /\  ( ( cls `  K
) `  S )  =  ( x  i^i 
Y ) ) )  ->  S  C_  (
( cls `  K
) `  S )
)
53 inss1 3389 . . . . . . . . 9  |-  ( x  i^i  Y )  C_  x
54 sseq1 3199 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( cls `  K
) `  S )  =  ( x  i^i 
Y )  ->  (
( ( cls `  K
) `  S )  C_  x  <->  ( x  i^i 
Y )  C_  x
) )
5553, 54mpbiri 224 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( cls `  K
) `  S )  =  ( x  i^i 
Y )  ->  (
( cls `  K
) `  S )  C_  x )
5655ad2antll 709 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  /\  ( x  e.  ( Clsd `  J )  /\  ( ( cls `  K
) `  S )  =  ( x  i^i 
Y ) ) )  ->  ( ( cls `  K ) `  S
)  C_  x )
5752, 56sstrd 3189 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  /\  ( x  e.  ( Clsd `  J )  /\  ( ( cls `  K
) `  S )  =  ( x  i^i 
Y ) ) )  ->  S  C_  x
)
585clsss2 16809 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( Clsd `  J )  /\  S  C_  x )  ->  (
( cls `  J
) `  S )  C_  x )
5958adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  /\  ( x  e.  ( Clsd `  J )  /\  S  C_  x ) )  ->  ( ( cls `  J ) `  S
)  C_  x )
60 ssrin 3394 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( cls `  J
) `  S )  C_  x  ->  ( (
( cls `  J
) `  S )  i^i  Y )  C_  (
x  i^i  Y )
)
6159, 60syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  /\  ( x  e.  ( Clsd `  J )  /\  S  C_  x ) )  ->  ( ( ( cls `  J ) `
 S )  i^i 
Y )  C_  (
x  i^i  Y )
)
62 sseq2 3200 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( cls `  K
) `  S )  =  ( x  i^i 
Y )  ->  (
( ( ( cls `  J ) `  S
)  i^i  Y )  C_  ( ( cls `  K
) `  S )  <->  ( ( ( cls `  J
) `  S )  i^i  Y )  C_  (
x  i^i  Y )
) )
6361, 62syl5ibrcom 213 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  /\  ( x  e.  ( Clsd `  J )  /\  S  C_  x ) )  ->  ( ( ( cls `  K ) `
 S )  =  ( x  i^i  Y
)  ->  ( (
( cls `  J
) `  S )  i^i  Y )  C_  (
( cls `  K
) `  S )
) )
6463expr 598 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  /\  x  e.  ( Clsd `  J ) )  -> 
( S  C_  x  ->  ( ( ( cls `  K ) `  S
)  =  ( x  i^i  Y )  -> 
( ( ( cls `  J ) `  S
)  i^i  Y )  C_  ( ( cls `  K
) `  S )
) ) )
6564com23 72 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  /\  x  e.  ( Clsd `  J ) )  -> 
( ( ( cls `  K ) `  S
)  =  ( x  i^i  Y )  -> 
( S  C_  x  ->  ( ( ( cls `  J ) `  S
)  i^i  Y )  C_  ( ( cls `  K
) `  S )
) ) )
6665impr 602 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  /\  ( x  e.  ( Clsd `  J )  /\  ( ( cls `  K
) `  S )  =  ( x  i^i 
Y ) ) )  ->  ( S  C_  x  ->  ( ( ( cls `  J ) `
 S )  i^i 
Y )  C_  (
( cls `  K
) `  S )
) )
6757, 66mpd 14 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  /\  ( x  e.  ( Clsd `  J )  /\  ( ( cls `  K
) `  S )  =  ( x  i^i 
Y ) ) )  ->  ( ( ( cls `  J ) `
 S )  i^i 
Y )  C_  (
( cls `  K
) `  S )
)
6867exp32 588 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  ->  (
x  e.  ( Clsd `  J )  ->  (
( ( cls `  K
) `  S )  =  ( x  i^i 
Y )  ->  (
( ( cls `  J
) `  S )  i^i  Y )  C_  (
( cls `  K
) `  S )
) ) )
6968rexlimdv 2666 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  ->  ( E. x  e.  ( Clsd `  J ) ( ( cls `  K
) `  S )  =  ( x  i^i 
Y )  ->  (
( ( cls `  J
) `  S )  i^i  Y )  C_  (
( cls `  K
) `  S )
) )
7045, 69mpd 14 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  ->  (
( ( cls `  J
) `  S )  i^i  Y )  C_  (
( cls `  K
) `  S )
)
7126, 70eqssd 3196 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  X  /\  S  C_  Y )  ->  (
( cls `  K
) `  S )  =  ( ( ( cls `  J ) `
 S )  i^i 
Y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   E.wrex 2544   _Vcvv 2788    i^i cin 3151    C_ wss 3152   U.cuni 3827   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   ↾t crest 13325   Topctop 16631   Clsdccld 16753   clsccl 16755
This theorem is referenced by:  restlp  16913  resscdrg  18775
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-fin 6867  df-fi 7165  df-rest 13327  df-topgen 13344  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-cld 16756  df-cls 16758
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