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Theorem restcnrm 17428
Description: A subspace of a completely normal space is completely normal. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
restcnrm  |-  ( ( J  e. CNrm  /\  A  e.  V )  ->  ( Jt  A )  e. CNrm )

Proof of Theorem restcnrm
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2438 . . 3  |-  U. J  =  U. J
21restin 17232 . 2  |-  ( ( J  e. CNrm  /\  A  e.  V )  ->  ( Jt  A )  =  ( Jt  ( A  i^i  U. J ) ) )
3 simpll 732 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e. CNrm  /\  A  e.  V )  /\  x  e.  ~P ( A  i^i  U. J
) )  ->  J  e. CNrm )
4 elpwi 3809 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ~P ( A  i^i  U. J )  ->  x  C_  ( A  i^i  U. J ) )
54adantl 454 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e. CNrm  /\  A  e.  V )  /\  x  e.  ~P ( A  i^i  U. J
) )  ->  x  C_  ( A  i^i  U. J ) )
6 inex1g 4348 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  V  ->  ( A  i^i  U. J )  e.  _V )
76ad2antlr 709 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e. CNrm  /\  A  e.  V )  /\  x  e.  ~P ( A  i^i  U. J
) )  ->  ( A  i^i  U. J )  e.  _V )
8 restabs 17231 . . . . . 6  |-  ( ( J  e. CNrm  /\  x  C_  ( A  i^i  U. J )  /\  ( A  i^i  U. J )  e.  _V )  -> 
( ( Jt  ( A  i^i  U. J ) )t  x )  =  ( Jt  x ) )
93, 5, 7, 8syl3anc 1185 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e. CNrm  /\  A  e.  V )  /\  x  e.  ~P ( A  i^i  U. J
) )  ->  (
( Jt  ( A  i^i  U. J ) )t  x )  =  ( Jt  x ) )
10 cnrmi 17426 . . . . . 6  |-  ( ( J  e. CNrm  /\  x  e.  ~P ( A  i^i  U. J ) )  -> 
( Jt  x )  e.  Nrm )
1110adantlr 697 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e. CNrm  /\  A  e.  V )  /\  x  e.  ~P ( A  i^i  U. J
) )  ->  ( Jt  x )  e.  Nrm )
129, 11eqeltrd 2512 . . . 4  |-  ( ( ( J  e. CNrm  /\  A  e.  V )  /\  x  e.  ~P ( A  i^i  U. J
) )  ->  (
( Jt  ( A  i^i  U. J ) )t  x )  e.  Nrm )
1312ralrimiva 2791 . . 3  |-  ( ( J  e. CNrm  /\  A  e.  V )  ->  A. x  e.  ~P  ( A  i^i  U. J ) ( ( Jt  ( A  i^i  U. J ) )t  x )  e.  Nrm )
14 cnrmtop 17403 . . . . . . 7  |-  ( J  e. CNrm  ->  J  e.  Top )
1514adantr 453 . . . . . 6  |-  ( ( J  e. CNrm  /\  A  e.  V )  ->  J  e.  Top )
161toptopon 17000 . . . . . 6  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
1715, 16sylib 190 . . . . 5  |-  ( ( J  e. CNrm  /\  A  e.  V )  ->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
18 inss2 3564 . . . . 5  |-  ( A  i^i  U. J ) 
C_  U. J
19 resttopon 17227 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  U. J )  /\  ( A  i^i  U. J ) 
C_  U. J )  -> 
( Jt  ( A  i^i  U. J ) )  e.  (TopOn `  ( A  i^i  U. J ) ) )
2017, 18, 19sylancl 645 . . . 4  |-  ( ( J  e. CNrm  /\  A  e.  V )  ->  ( Jt  ( A  i^i  U. J
) )  e.  (TopOn `  ( A  i^i  U. J ) ) )
21 iscnrm2 17404 . . . 4  |-  ( ( Jt  ( A  i^i  U. J ) )  e.  (TopOn `  ( A  i^i  U. J ) )  ->  ( ( Jt  ( A  i^i  U. J
) )  e. CNrm  <->  A. x  e.  ~P  ( A  i^i  U. J ) ( ( Jt  ( A  i^i  U. J ) )t  x )  e.  Nrm ) )
2220, 21syl 16 . . 3  |-  ( ( J  e. CNrm  /\  A  e.  V )  ->  (
( Jt  ( A  i^i  U. J ) )  e. CNrm  <->  A. x  e.  ~P  ( A  i^i  U. J ) ( ( Jt  ( A  i^i  U. J ) )t  x )  e.  Nrm ) )
2313, 22mpbird 225 . 2  |-  ( ( J  e. CNrm  /\  A  e.  V )  ->  ( Jt  ( A  i^i  U. J
) )  e. CNrm )
242, 23eqeltrd 2512 1  |-  ( ( J  e. CNrm  /\  A  e.  V )  ->  ( Jt  A )  e. CNrm )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   _Vcvv 2958    i^i cin 3321    C_ wss 3322   ~Pcpw 3801   U.cuni 4017   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   ↾t crest 13650   Topctop 16960  TopOnctopon 16961   Nrmcnrm 17376  CNrmccnrm 17377
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-oadd 6730  df-er 6907  df-en 7112  df-fin 7115  df-fi 7418  df-rest 13652  df-topgen 13669  df-top 16965  df-bases 16967  df-topon 16968  df-cnrm 17384
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