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Theorem restfpw 16926
Description: The restriction of the set of finite subsets of  A is the set of finite subsets of  B. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
restfpw  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  C_  A )  -> 
( ( ~P A  i^i  Fin )t  B )  =  ( ~P B  i^i  Fin ) )

Proof of Theorem restfpw
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pwexg 4210 . . . . . 6  |-  ( A  e.  V  ->  ~P A  e.  _V )
21adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  C_  A )  ->  ~P A  e.  _V )
3 inex1g 4173 . . . . 5  |-  ( ~P A  e.  _V  ->  ( ~P A  i^i  Fin )  e.  _V )
42, 3syl 15 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  C_  A )  -> 
( ~P A  i^i  Fin )  e.  _V )
5 ssexg 4176 . . . . 5  |-  ( ( B  C_  A  /\  A  e.  V )  ->  B  e.  _V )
65ancoms 439 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  C_  A )  ->  B  e.  _V )
7 restval 13347 . . . 4  |-  ( ( ( ~P A  i^i  Fin )  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  ( ( ~P A  i^i  Fin )t  B )  =  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( x  i^i  B
) ) )
84, 6, 7syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  C_  A )  -> 
( ( ~P A  i^i  Fin )t  B )  =  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( x  i^i  B
) ) )
9 inss2 3403 . . . . . . 7  |-  ( x  i^i  B )  C_  B
109a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  C_  A )  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  (
x  i^i  B )  C_  B )
11 elfpw 7173 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  <->  ( x  C_  A  /\  x  e. 
Fin ) )
1211simprbi 450 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  x  e.  Fin )
1312adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  C_  A )  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  x  e.  Fin )
14 inss1 3402 . . . . . . 7  |-  ( x  i^i  B )  C_  x
15 ssfi 7099 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  Fin  /\  ( x  i^i  B ) 
C_  x )  -> 
( x  i^i  B
)  e.  Fin )
1613, 14, 15sylancl 643 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  C_  A )  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  (
x  i^i  B )  e.  Fin )
17 elfpw 7173 . . . . . 6  |-  ( ( x  i^i  B )  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  <->  ( (
x  i^i  B )  C_  B  /\  ( x  i^i  B )  e. 
Fin ) )
1810, 16, 17sylanbrc 645 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  C_  A )  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  (
x  i^i  B )  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) )
19 eqid 2296 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( x  i^i  B ) )  =  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( x  i^i 
B ) )
2018, 19fmptd 5700 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  C_  A )  -> 
( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( x  i^i 
B ) ) : ( ~P A  i^i  Fin ) --> ( ~P B  i^i  Fin ) )
21 frn 5411 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( x  i^i  B
) ) : ( ~P A  i^i  Fin )
--> ( ~P B  i^i  Fin )  ->  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( x  i^i  B ) ) 
C_  ( ~P B  i^i  Fin ) )
2220, 21syl 15 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  C_  A )  ->  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( x  i^i 
B ) )  C_  ( ~P B  i^i  Fin ) )
238, 22eqsstrd 3225 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  C_  A )  -> 
( ( ~P A  i^i  Fin )t  B )  C_  ( ~P B  i^i  Fin )
)
24 elfpw 7173 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  <->  ( x  C_  B  /\  x  e. 
Fin ) )
2524simplbi 446 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  ->  x  C_  B )
2625adantl 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  C_  A )  /\  x  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) )  ->  x  C_  B )
27 df-ss 3179 . . . . . 6  |-  ( x 
C_  B  <->  ( x  i^i  B )  =  x )
2826, 27sylib 188 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  C_  A )  /\  x  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) )  ->  (
x  i^i  B )  =  x )
294adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  C_  A )  /\  x  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) )  ->  ( ~P A  i^i  Fin )  e.  _V )
306adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  C_  A )  /\  x  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) )  ->  B  e.  _V )
31 simplr 731 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  C_  A )  /\  x  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) )  ->  B  C_  A )
3226, 31sstrd 3202 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  C_  A )  /\  x  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) )  ->  x  C_  A )
3324simprbi 450 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  ->  x  e.  Fin )
3433adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  C_  A )  /\  x  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) )  ->  x  e.  Fin )
3532, 34, 11sylanbrc 645 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  C_  A )  /\  x  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) )  ->  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )
36 elrestr 13349 . . . . . 6  |-  ( ( ( ~P A  i^i  Fin )  e.  _V  /\  B  e.  _V  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  (
x  i^i  B )  e.  ( ( ~P A  i^i  Fin )t  B ) )
3729, 30, 35, 36syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  C_  A )  /\  x  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) )  ->  (
x  i^i  B )  e.  ( ( ~P A  i^i  Fin )t  B ) )
3828, 37eqeltrrd 2371 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  C_  A )  /\  x  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) )  ->  x  e.  ( ( ~P A  i^i  Fin )t  B ) )
3938ex 423 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  C_  A )  -> 
( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  ->  x  e.  ( ( ~P A  i^i  Fin )t  B ) ) )
4039ssrdv 3198 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  C_  A )  -> 
( ~P B  i^i  Fin )  C_  ( ( ~P A  i^i  Fin )t  B
) )
4123, 40eqssd 3209 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  C_  A )  -> 
( ( ~P A  i^i  Fin )t  B )  =  ( ~P B  i^i  Fin ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   _Vcvv 2801    i^i cin 3164    C_ wss 3165   ~Pcpw 3638    e. cmpt 4093   ran crn 4706   -->wf 5267  (class class class)co 5874   Fincfn 6879   ↾t crest 13341
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-er 6676  df-en 6880  df-fin 6883  df-rest 13343
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