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Theorem restfpw 17245
Description: The restriction of the set of finite subsets of  A is the set of finite subsets of  B. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
restfpw  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  C_  A )  -> 
( ( ~P A  i^i  Fin )t  B )  =  ( ~P B  i^i  Fin ) )

Proof of Theorem restfpw
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pwexg 4385 . . . . . 6  |-  ( A  e.  V  ->  ~P A  e.  _V )
21adantr 453 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  C_  A )  ->  ~P A  e.  _V )
3 inex1g 4348 . . . . 5  |-  ( ~P A  e.  _V  ->  ( ~P A  i^i  Fin )  e.  _V )
42, 3syl 16 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  C_  A )  -> 
( ~P A  i^i  Fin )  e.  _V )
5 ssexg 4351 . . . . 5  |-  ( ( B  C_  A  /\  A  e.  V )  ->  B  e.  _V )
65ancoms 441 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  C_  A )  ->  B  e.  _V )
7 restval 13656 . . . 4  |-  ( ( ( ~P A  i^i  Fin )  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  ( ( ~P A  i^i  Fin )t  B )  =  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( x  i^i  B
) ) )
84, 6, 7syl2anc 644 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  C_  A )  -> 
( ( ~P A  i^i  Fin )t  B )  =  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( x  i^i  B
) ) )
9 inss2 3564 . . . . . . 7  |-  ( x  i^i  B )  C_  B
109a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  C_  A )  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  (
x  i^i  B )  C_  B )
11 elfpw 7410 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  <->  ( x  C_  A  /\  x  e. 
Fin ) )
1211simprbi 452 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  x  e.  Fin )
1312adantl 454 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  C_  A )  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  x  e.  Fin )
14 inss1 3563 . . . . . . 7  |-  ( x  i^i  B )  C_  x
15 ssfi 7331 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  Fin  /\  ( x  i^i  B ) 
C_  x )  -> 
( x  i^i  B
)  e.  Fin )
1613, 14, 15sylancl 645 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  C_  A )  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  (
x  i^i  B )  e.  Fin )
17 elfpw 7410 . . . . . 6  |-  ( ( x  i^i  B )  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  <->  ( (
x  i^i  B )  C_  B  /\  ( x  i^i  B )  e. 
Fin ) )
1810, 16, 17sylanbrc 647 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  C_  A )  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  (
x  i^i  B )  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) )
19 eqid 2438 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( x  i^i  B ) )  =  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( x  i^i 
B ) )
2018, 19fmptd 5895 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  C_  A )  -> 
( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( x  i^i 
B ) ) : ( ~P A  i^i  Fin ) --> ( ~P B  i^i  Fin ) )
21 frn 5599 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( x  i^i  B
) ) : ( ~P A  i^i  Fin )
--> ( ~P B  i^i  Fin )  ->  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( x  i^i  B ) ) 
C_  ( ~P B  i^i  Fin ) )
2220, 21syl 16 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  C_  A )  ->  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( x  i^i 
B ) )  C_  ( ~P B  i^i  Fin ) )
238, 22eqsstrd 3384 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  C_  A )  -> 
( ( ~P A  i^i  Fin )t  B )  C_  ( ~P B  i^i  Fin )
)
24 elfpw 7410 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  <->  ( x  C_  B  /\  x  e. 
Fin ) )
2524simplbi 448 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  ->  x  C_  B )
2625adantl 454 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  C_  A )  /\  x  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) )  ->  x  C_  B )
27 df-ss 3336 . . . . . 6  |-  ( x 
C_  B  <->  ( x  i^i  B )  =  x )
2826, 27sylib 190 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  C_  A )  /\  x  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) )  ->  (
x  i^i  B )  =  x )
294adantr 453 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  C_  A )  /\  x  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) )  ->  ( ~P A  i^i  Fin )  e.  _V )
306adantr 453 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  C_  A )  /\  x  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) )  ->  B  e.  _V )
31 simplr 733 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  C_  A )  /\  x  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) )  ->  B  C_  A )
3226, 31sstrd 3360 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  C_  A )  /\  x  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) )  ->  x  C_  A )
3324simprbi 452 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  ->  x  e.  Fin )
3433adantl 454 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  C_  A )  /\  x  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) )  ->  x  e.  Fin )
3532, 34, 11sylanbrc 647 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  C_  A )  /\  x  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) )  ->  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )
36 elrestr 13658 . . . . . 6  |-  ( ( ( ~P A  i^i  Fin )  e.  _V  /\  B  e.  _V  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  (
x  i^i  B )  e.  ( ( ~P A  i^i  Fin )t  B ) )
3729, 30, 35, 36syl3anc 1185 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  C_  A )  /\  x  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) )  ->  (
x  i^i  B )  e.  ( ( ~P A  i^i  Fin )t  B ) )
3828, 37eqeltrrd 2513 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  C_  A )  /\  x  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) )  ->  x  e.  ( ( ~P A  i^i  Fin )t  B ) )
3938ex 425 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  C_  A )  -> 
( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  ->  x  e.  ( ( ~P A  i^i  Fin )t  B ) ) )
4039ssrdv 3356 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  C_  A )  -> 
( ~P B  i^i  Fin )  C_  ( ( ~P A  i^i  Fin )t  B
) )
4123, 40eqssd 3367 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  C_  A )  -> 
( ( ~P A  i^i  Fin )t  B )  =  ( ~P B  i^i  Fin ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   _Vcvv 2958    i^i cin 3321    C_ wss 3322   ~Pcpw 3801    e. cmpt 4268   ran crn 4881   -->wf 5452  (class class class)co 6083   Fincfn 7111   ↾t crest 13650
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-er 6907  df-en 7112  df-fin 7115  df-rest 13652
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