MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  restid Unicode version

Theorem restid 13354
Description: The subspace topology of the base set is the original topology. (Contributed by Jeff Hankins, 9-Jul-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
restid.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
restid  |-  ( J  e.  V  ->  ( Jt  X )  =  J )

Proof of Theorem restid
StepHypRef Expression
1 restid.1 . . 3  |-  X  = 
U. J
2 uniexg 4533 . . 3  |-  ( J  e.  V  ->  U. J  e.  _V )
31, 2syl5eqel 2380 . 2  |-  ( J  e.  V  ->  X  e.  _V )
41eqimss2i 3246 . . 3  |-  U. J  C_  X
5 sspwuni 4003 . . 3  |-  ( J 
C_  ~P X  <->  U. J  C_  X )
64, 5mpbir 200 . 2  |-  J  C_  ~P X
7 restid2 13351 . 2  |-  ( ( X  e.  _V  /\  J  C_  ~P X )  ->  ( Jt  X )  =  J )
83, 6, 7sylancl 643 1  |-  ( J  e.  V  ->  ( Jt  X )  =  J )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1632    e. wcel 1696   _Vcvv 2801    C_ wss 3165   ~Pcpw 3638   U.cuni 3843  (class class class)co 5874   ↾t crest 13341
This theorem is referenced by:  restin  16913  cnrmnrm  17105  cmpkgen  17262  xkopt  17365  xkoinjcn  17397  cnperf  18341  retopcon  18350  cncfcn1  18430  cncfmpt2f  18434  cdivcncf  18436  abscncfALT  18439  cnmpt2pc  18442  cnrehmeo  18467  cnlimc  19254  recnperf  19271  dvidlem  19281  dvcnp2  19285  dvcn  19286  dvnres  19296  dvaddbr  19303  dvmulbr  19304  dvcobr  19311  dvcjbr  19314  dvrec  19320  dvexp3  19341  dveflem  19342  dvlipcn  19357  lhop1lem  19376  ftc1cn  19406  dvply1  19680  dvtaylp  19765  taylthlem2  19769  psercn  19818  pserdvlem2  19820  pserdv  19821  abelth  19833  logcn  20010  dvloglem  20011  dvlog  20014  dvlog2  20016  efopnlem2  20020  logtayl  20023  cxpcn  20101  cxpcn2  20102  cxpcn3  20104  resqrcn  20105  sqrcn  20106  dvatan  20247  ftalem3  20328  retopscon  23795  ftc1cnnc  25025  ivthALT  26361
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-rest 13343
  Copyright terms: Public domain W3C validator