MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  restid Unicode version

Theorem restid 13588
Description: The subspace topology of the base set is the original topology. (Contributed by Jeff Hankins, 9-Jul-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
restid.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
restid  |-  ( J  e.  V  ->  ( Jt  X )  =  J )

Proof of Theorem restid
StepHypRef Expression
1 restid.1 . . 3  |-  X  = 
U. J
2 uniexg 4646 . . 3  |-  ( J  e.  V  ->  U. J  e.  _V )
31, 2syl5eqel 2471 . 2  |-  ( J  e.  V  ->  X  e.  _V )
41eqimss2i 3346 . . 3  |-  U. J  C_  X
5 sspwuni 4117 . . 3  |-  ( J 
C_  ~P X  <->  U. J  C_  X )
64, 5mpbir 201 . 2  |-  J  C_  ~P X
7 restid2 13585 . 2  |-  ( ( X  e.  _V  /\  J  C_  ~P X )  ->  ( Jt  X )  =  J )
83, 6, 7sylancl 644 1  |-  ( J  e.  V  ->  ( Jt  X )  =  J )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1649    e. wcel 1717   _Vcvv 2899    C_ wss 3263   ~Pcpw 3742   U.cuni 3957  (class class class)co 6020   ↾t crest 13575
This theorem is referenced by:  restin  17152  cnrmnrm  17347  cmpkgen  17504  xkopt  17608  xkoinjcn  17640  ussid  18211  tuslem  18218  cnperf  18722  retopcon  18731  cncfcn1  18811  cncfmpt2f  18815  cdivcncf  18818  abscncfALT  18821  cnmpt2pc  18824  cnrehmeo  18849  cnlimc  19642  recnperf  19659  dvidlem  19669  dvcnp2  19673  dvcn  19674  dvnres  19684  dvaddbr  19691  dvmulbr  19692  dvcobr  19699  dvcjbr  19702  dvrec  19708  dvexp3  19729  dveflem  19730  dvlipcn  19745  lhop1lem  19764  ftc1cn  19794  dvply1  20068  dvtaylp  20153  taylthlem2  20157  psercn  20209  pserdvlem2  20211  pserdv  20212  abelth  20224  logcn  20405  dvloglem  20406  dvlog  20409  dvlog2  20411  efopnlem2  20415  logtayl  20418  cxpcn  20496  cxpcn2  20497  cxpcn3  20499  resqrcn  20500  sqrcn  20501  dvatan  20642  ftalem3  20724  retopscon  24715  ftc1cnnc  25979  ivthALT  26029
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-op 3766  df-uni 3958  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-id 4439  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-rest 13577
  Copyright terms: Public domain W3C validator