MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  restid Structured version   Unicode version

Theorem restid 13653
Description: The subspace topology of the base set is the original topology. (Contributed by Jeff Hankins, 9-Jul-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
restid.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
restid  |-  ( J  e.  V  ->  ( Jt  X )  =  J )

Proof of Theorem restid
StepHypRef Expression
1 restid.1 . . 3  |-  X  = 
U. J
2 uniexg 4698 . . 3  |-  ( J  e.  V  ->  U. J  e.  _V )
31, 2syl5eqel 2519 . 2  |-  ( J  e.  V  ->  X  e.  _V )
41eqimss2i 3395 . . 3  |-  U. J  C_  X
5 sspwuni 4168 . . 3  |-  ( J 
C_  ~P X  <->  U. J  C_  X )
64, 5mpbir 201 . 2  |-  J  C_  ~P X
7 restid2 13650 . 2  |-  ( ( X  e.  _V  /\  J  C_  ~P X )  ->  ( Jt  X )  =  J )
83, 6, 7sylancl 644 1  |-  ( J  e.  V  ->  ( Jt  X )  =  J )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1652    e. wcel 1725   _Vcvv 2948    C_ wss 3312   ~Pcpw 3791   U.cuni 4007  (class class class)co 6073   ↾t crest 13640
This theorem is referenced by:  restin  17222  cnrmnrm  17417  cmpkgen  17575  xkopt  17679  xkoinjcn  17711  ussid  18282  tuslem  18289  cnperf  18843  retopcon  18852  cncfcn1  18932  cncfmpt2f  18936  cdivcncf  18939  abscncfALT  18942  cnmpt2pc  18945  cnrehmeo  18970  cnlimc  19767  recnperf  19784  dvidlem  19794  dvcnp2  19798  dvcn  19799  dvnres  19809  dvaddbr  19816  dvmulbr  19817  dvcobr  19824  dvcjbr  19827  dvrec  19833  dvexp3  19854  dveflem  19855  dvlipcn  19870  lhop1lem  19889  ftc1cn  19919  dvply1  20193  dvtaylp  20278  taylthlem2  20282  psercn  20334  pserdvlem2  20336  pserdv  20337  abelth  20349  logcn  20530  dvloglem  20531  dvlog  20534  dvlog2  20536  efopnlem2  20540  logtayl  20543  cxpcn  20621  cxpcn2  20622  cxpcn3  20624  resqrcn  20625  sqrcn  20626  dvatan  20767  ftalem3  20849  retopscon  24928  ftc1cnnc  26269  ivthALT  26329
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-rest 13642
  Copyright terms: Public domain W3C validator