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Theorem restidsing 25076
Description: Restriction of the identity to a singleton. (Contributed by FL, 2-Aug-2009.)
Assertion
Ref Expression
restidsing  |-  (  _I  |`  { A } )  =  ( { A }  X.  { A }
)

Proof of Theorem restidsing
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relres 4983 . 2  |-  Rel  (  _I  |`  { A }
)
2 relxp 4794 . 2  |-  Rel  ( { A }  X.  { A } )
3 df-br 4024 . . . . . 6  |-  ( x  _I  y  <->  <. x ,  y >.  e.  _I  )
43bicomi 193 . . . . 5  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  _I  <->  x  _I  y
)
54anbi1i 676 . . . 4  |-  ( (
<. x ,  y >.  e.  _I  /\  x  e. 
{ A } )  <-> 
( x  _I  y  /\  x  e.  { A } ) )
6 simpr 447 . . . . . 6  |-  ( ( x  _I  y  /\  x  e.  { A } )  ->  x  e.  { A } )
7 elsn 3655 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  { A }  <->  x  =  A )
8 vex 2791 . . . . . . . . . 10  |-  y  e. 
_V
9 ideqg 4835 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  _V  ->  (
x  _I  y  <->  x  =  y ) )
109biimpd 198 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  _V  ->  (
x  _I  y  ->  x  =  y )
)
118, 10ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( x  _I  y  ->  x  =  y )
12 eqtr2 2301 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  =  y  /\  x  =  A )  ->  y  =  A )
1312ex 423 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
x  =  A  -> 
y  =  A ) )
14 elsn 3655 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  { A }  <->  y  =  A )
1513, 14syl6ibr 218 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
x  =  A  -> 
y  e.  { A } ) )
1611, 15syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( x  _I  y  ->  (
x  =  A  -> 
y  e.  { A } ) )
177, 16syl5bi 208 . . . . . . 7  |-  ( x  _I  y  ->  (
x  e.  { A }  ->  y  e.  { A } ) )
1817imp 418 . . . . . 6  |-  ( ( x  _I  y  /\  x  e.  { A } )  ->  y  e.  { A } )
196, 18jca 518 . . . . 5  |-  ( ( x  _I  y  /\  x  e.  { A } )  ->  (
x  e.  { A }  /\  y  e.  { A } ) )
20 eqtr3 2302 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  =  A  /\  x  =  A )  ->  y  =  x )
218ideq 4836 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  _I  y  <->  x  =  y )
22 equcom 1647 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  y  <->  y  =  x )
2321, 22bitri 240 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  _I  y  <->  y  =  x )
2420, 23sylibr 203 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  =  A  /\  x  =  A )  ->  x  _I  y )
2524ex 423 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  A  ->  (
x  =  A  ->  x  _I  y )
)
2614, 25sylbi 187 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  { A }  ->  ( x  =  A  ->  x  _I  y
) )
2726com12 27 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  A  ->  (
y  e.  { A }  ->  x  _I  y
) )
287, 27sylbi 187 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  { A }  ->  ( y  e.  { A }  ->  x  _I  y ) )
2928imp 418 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  { A }  /\  y  e.  { A } )  ->  x  _I  y )
30 simpl 443 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  { A }  /\  y  e.  { A } )  ->  x  e.  { A } )
3129, 30jca 518 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  { A }  /\  y  e.  { A } )  ->  (
x  _I  y  /\  x  e.  { A } ) )
3219, 31impbii 180 . . . 4  |-  ( ( x  _I  y  /\  x  e.  { A } )  <->  ( x  e.  { A }  /\  y  e.  { A } ) )
335, 32bitri 240 . . 3  |-  ( (
<. x ,  y >.  e.  _I  /\  x  e. 
{ A } )  <-> 
( x  e.  { A }  /\  y  e.  { A } ) )
348opelres 4960 . . 3  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  (  _I  |`  { A } )  <->  ( <. x ,  y >.  e.  _I  /\  x  e.  { A } ) )
35 opelxp 4719 . . 3  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( { A }  X.  { A } )  <-> 
( x  e.  { A }  /\  y  e.  { A } ) )
3633, 34, 353bitr4i 268 . 2  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  (  _I  |`  { A } )  <->  <. x ,  y >.  e.  ( { A }  X.  { A } ) )
371, 2, 36eqrelriiv 4781 1  |-  (  _I  |`  { A } )  =  ( { A }  X.  { A }
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   _Vcvv 2788   {csn 3640   <.cop 3643   class class class wbr 4023    _I cid 4304    X. cxp 4687    |` cres 4691
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-br 4024  df-opab 4078  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-res 4701
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