Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  restlp Structured version   Unicode version

Theorem restlp 17239
 Description: The limit points of a subset restrict naturally in a subspace. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
restcls.1
restcls.2 t
Assertion
Ref Expression
restlp

Proof of Theorem restlp
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp3 959 . . . . . . 7
21ssdifssd 3477 . . . . . 6
3 restcls.1 . . . . . . 7
4 restcls.2 . . . . . . 7 t
53, 4restcls 17237 . . . . . 6
62, 5syld3an3 1229 . . . . 5
76eleq2d 2502 . . . 4
8 elin 3522 . . . 4
97, 8syl6bb 253 . . 3
10 simp1 957 . . . . . . . 8
113toptopon 16990 . . . . . . . 8 TopOn
1210, 11sylib 189 . . . . . . 7 TopOn
13 simp2 958 . . . . . . 7
14 resttopon 17217 . . . . . . 7 TopOn t TopOn
1512, 13, 14syl2anc 643 . . . . . 6 t TopOn
164, 15syl5eqel 2519 . . . . 5 TopOn
17 topontop 16983 . . . . 5 TopOn
1816, 17syl 16 . . . 4
19 toponuni 16984 . . . . . 6 TopOn
2016, 19syl 16 . . . . 5
211, 20sseqtrd 3376 . . . 4
22 eqid 2435 . . . . 5
2322islp 17196 . . . 4
2418, 21, 23syl2anc 643 . . 3
25 elin 3522 . . . 4
261, 13sstrd 3350 . . . . . 6
273islp 17196 . . . . . 6
2810, 26, 27syl2anc 643 . . . . 5
2928anbi1d 686 . . . 4
3025, 29syl5bb 249 . . 3
319, 24, 303bitr4d 277 . 2
3231eqrdv 2433 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725   cdif 3309   cin 3311   wss 3312  csn 3806  cuni 4007  cfv 5446  (class class class)co 6073   ↾t crest 13640  ctop 16950  TopOnctopon 16951  ccl 17074  clp 17190 This theorem is referenced by:  restperf  17240 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-oadd 6720  df-er 6897  df-en 7102  df-fin 7105  df-fi 7408  df-rest 13642  df-topgen 13659  df-top 16955  df-bases 16957  df-topon 16958  df-cld 17075  df-cls 17077  df-lp 17192
 Copyright terms: Public domain W3C validator