Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  restntr Structured version   Unicode version

Theorem restntr 17246
 Description: An interior in a subspace topology. Willard in General Topology says that there is no analog of restcls 17245 for interiors. In some sense, that is true. (Contributed by Jeff Hankins, 23-Jan-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Dec-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
restcls.1
restcls.2 t
Assertion
Ref Expression
restntr

Proof of Theorem restntr
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 restcls.2 . . . . . . 7 t
21fveq2i 5731 . . . . . 6 t
32fveq1i 5729 . . . . 5 t
4 restcls.1 . . . . . . . . . 10
54topopn 16979 . . . . . . . . 9
6 ssexg 4349 . . . . . . . . . 10
76ancoms 440 . . . . . . . . 9
85, 7sylan 458 . . . . . . . 8
9 resttop 17224 . . . . . . . 8 t
108, 9syldan 457 . . . . . . 7 t
11103adant3 977 . . . . . 6 t
124restuni 17226 . . . . . . . 8 t
1312sseq2d 3376 . . . . . . 7 t
1413biimp3a 1283 . . . . . 6 t
15 eqid 2436 . . . . . . 7 t t
1615ntropn 17113 . . . . . 6 t t t t
1711, 14, 16syl2anc 643 . . . . 5 t t
183, 17syl5eqel 2520 . . . 4 t
19 simp1 957 . . . . 5
20 uniexg 4706 . . . . . . . . 9
214, 20syl5eqel 2520 . . . . . . . 8
22 ssexg 4349 . . . . . . . 8
2321, 22sylan2 461 . . . . . . 7
2423ancoms 440 . . . . . 6
25243adant3 977 . . . . 5
26 elrest 13655 . . . . 5 t
2719, 25, 26syl2anc 643 . . . 4 t
2818, 27mpbid 202 . . 3
294eltopss 16980 . . . . . . . . . . 11
3029sseld 3347 . . . . . . . . . 10
3130adantrr 698 . . . . . . . . 9
32313ad2antl1 1119 . . . . . . . 8
33 eldif 3330 . . . . . . . . . 10
3433simplbi2 609 . . . . . . . . 9
3534orrd 368 . . . . . . . 8
3632, 35syl6 31 . . . . . . 7
37 elin 3530 . . . . . . . . . . 11
38 eleq2 2497 . . . . . . . . . . . . 13
39 elun1 3514 . . . . . . . . . . . . 13
4038, 39syl6bir 221 . . . . . . . . . . . 12
4140ad2antll 710 . . . . . . . . . . 11
4237, 41syl5bir 210 . . . . . . . . . 10
4342expdimp 427 . . . . . . . . 9
44 elun2 3515 . . . . . . . . . 10
4544a1i 11 . . . . . . . . 9
4643, 45jaod 370 . . . . . . . 8
4746ex 424 . . . . . . 7
4836, 47mpdd 38 . . . . . 6
4948ssrdv 3354 . . . . 5
5011adantr 452 . . . . . . . 8 t
511, 50syl5eqel 2520 . . . . . . 7
5214adantr 452 . . . . . . 7 t
531unieqi 4025 . . . . . . . . 9 t
5453eqcomi 2440 . . . . . . . 8 t
5554ntrss2 17121 . . . . . . 7 t
5651, 52, 55syl2anc 643 . . . . . 6
57 unss1 3516 . . . . . 6
5856, 57syl 16 . . . . 5
5949, 58sstrd 3358 . . . 4
60 simpl1 960 . . . . . . . . . 10
61 sstr 3356 . . . . . . . . . . . . . . 15
6261ancoms 440 . . . . . . . . . . . . . 14
63623adant1 975 . . . . . . . . . . . . 13
6463adantr 452 . . . . . . . . . . . 12
65 difss 3474 . . . . . . . . . . . 12
6664, 65jctir 525 . . . . . . . . . . 11
67 unss 3521 . . . . . . . . . . 11
6866, 67sylib 189 . . . . . . . . . 10
69 simprl 733 . . . . . . . . . 10
70 simprr 734 . . . . . . . . . 10
714ssntr 17122 . . . . . . . . . 10
7260, 68, 69, 70, 71syl22anc 1185 . . . . . . . . 9
73 ssrin 3566 . . . . . . . . 9
7472, 73syl 16 . . . . . . . 8
75 sseq1 3369 . . . . . . . 8
7674, 75syl5ibrcom 214 . . . . . . 7
7776expr 599 . . . . . 6
7877com23 74 . . . . 5
7978impr 603 . . . 4
8059, 79mpd 15 . . 3
8128, 80rexlimddv 2834 . 2
821, 11syl5eqel 2520 . . 3
8383adant3 977 . . . . 5
8463, 65jctir 525 . . . . . . 7
8584, 67sylib 189 . . . . . 6
864ntropn 17113 . . . . . 6
8719, 85, 86syl2anc 643 . . . . 5
88 elrestr 13656 . . . . 5 t
8919, 83, 87, 88syl3anc 1184 . . . 4 t
9089, 1syl6eleqr 2527 . . 3
914ntrss2 17121 . . . . . 6
9219, 85, 91syl2anc 643 . . . . 5
93 ssrin 3566 . . . . 5
9492, 93syl 16 . . . 4
95 elin 3530 . . . . . . 7
96 elun 3488 . . . . . . . . 9
97 orcom 377 . . . . . . . . . 10
98 df-or 360 . . . . . . . . . 10
9997, 98bitri 241 . . . . . . . . 9
10096, 99bitri 241 . . . . . . . 8
101100anbi1i 677 . . . . . . 7
10295, 101bitri 241 . . . . . 6
103 elndif 3471 . . . . . . . . 9
104 pm2.27 37 . . . . . . . . 9
105103, 104syl 16 . . . . . . . 8
106105impcom 420 . . . . . . 7
107106a1i 11 . . . . . 6
108102, 107syl5bi 209 . . . . 5
109108ssrdv 3354 . . . 4
11094, 109sstrd 3358 . . 3
11154ssntr 17122 . . 3 t
11282, 14, 90, 110, 111syl22anc 1185 . 2
11381, 112eqssd 3365 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 177   wo 358   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725  wrex 2706  cvv 2956   cdif 3317   cun 3318   cin 3319   wss 3320  cuni 4015  cfv 5454  (class class class)co 6081   ↾t crest 13648  ctop 16958  cnt 17081 This theorem is referenced by:  llycmpkgen2  17582  dvreslem  19796  dvres2lem  19797  dvaddbr  19824  dvmulbr  19825  dvcnvrelem2  19902 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-oadd 6728  df-er 6905  df-en 7110  df-fin 7113  df-fi 7416  df-rest 13650  df-topgen 13667  df-top 16963  df-bases 16965  df-topon 16966  df-ntr 17084
 Copyright terms: Public domain W3C validator